数字逻辑第一章PPT课件

1、模拟方式，人们习惯的观察、表示方式，方便、直观。物理量的初始形态、最终的表示方法往往使用模拟方式数字方式，适合计算机的分析处理的方式。易于处理，抗干扰性强第1页/共122页模拟向数字转换的年代音乐：音乐：传统的磁带录音传统的磁带录音CD、MP3照相：照相：胶片照相机数码相机胶片照相机数码相机电视：电视：模拟电视数字电视、模拟电视数字电视、DVD录像录像机机时钟：时钟：模拟机械数字石英模拟机械数字石英交换机：交换机：步进、纵横步进、纵横PAM、PCM数字数字程控程控第2页/共122页模拟电子电路：数字电路的基础数字逻辑电路：计算机及数字系统的基础第3页/共122页模拟应用无处不在：收音机：音量放

2、大及功率放大无线通信：功率控制手表显示：准模拟显示方式数字电路中：噪声、干扰的控制（电路板中分布电容和分布电感）第4页/共122页数字电路与数字系统更是越来越普及第5页/共122页模拟电路的设计工程师稀缺资源扎实的理论，丰富的经验数字电路的设计工程师？第6页/共122页数字电路与逻辑设计数字电路与逻辑设计2011年2月-5月第7页/共122页课程介绍 本课程是电子、通信类专业的专业基础课。 主要学习数字电路的基础知识、组合逻辑电路和时序逻辑电路的分析、设计方法。 达到在具有较扎实的数字电路和数字系统理论知识的基础上，独立使用可编程逻辑器件和其它中小规模器件进行逻辑设计的能力。第8页/共122页

3、课程的主要内容： 逻辑代数基础、组合逻辑电路及时序电路分析与设计、常用中规模组合逻辑及时序逻辑电路应用、可编程逻辑器件、硬件设计描述语言VHDL、数模、模数转换等。课程介绍第9页/共122页学习方法：重点掌握基本概念、基本电路电路的分析方法、设计方法成绩组成： 平时作业 20 %； 期中考试：20； 期末考试：60 %参考书： 马金明、吕铁军、杨紫珊，“数字系统与逻辑设计”（北京航空航天大学出版社） 徐惠民、安德宁，“数字逻辑设计与VHDL描述”（机械工业出版社） 阎石，“数字电子技术基础”（高等教育出版社）课程介绍第10页/共122页第第1 1章章 数字技术基础数字技术基础1.0 1.0 数

4、字信号和数字电路数字信号和数字电路1.1 1.1 数字数制与编码数字数制与编码1.2 1.2 逻辑代数基础逻辑代数基础 1.3 1.3 逻辑函数及表示方法逻辑函数及表示方法1.4 1.4 逻辑函数的化简逻辑函数的化简第11页/共122页1.0 数字信号和数字电路数字信号和数字电路 数字信号和模拟信号数字信号和模拟信号电电子子电电路路中中的的信信号号模拟信号模拟信号数字信号数字信号幅度随时间连续变化幅度随时间连续变化的信号的信号例：正弦波信号、锯齿波信号等。例：正弦波信号、锯齿波信号等。幅度不随时间连续变幅度不随时间连续变化化,而是跳跃变化而是跳跃变化计算机处理的信号：时间和幅度都不连计算机处理

5、的信号：时间和幅度都不连续续,称为离散变量称为离散变量第12页/共122页模拟信号模拟信号tV(t)tV(t)数字信号数字信号高电平高电平低电平低电平上升沿上升沿下降沿下降沿第13页/共122页模拟电路与数字电路的区别模拟电路与数字电路的区别1 1、工作任务不同：、工作任务不同： 模拟电路研究的是输出与输入信号之间的大小、模拟电路研究的是输出与输入信号之间的大小、相位、失真等方面的关系；相位、失真等方面的关系；数字电路主要研究的数字电路主要研究的是输出与输入间的逻辑关系是输出与输入间的逻辑关系（因果关系）。（因果关系）。 模拟电路中的三极管模拟电路中的三极管多多工作在线性放大区工作在线性放大区

6、, ,是一个放大元件；是一个放大元件；数字电路中的三极管数字电路中的三极管一般一般工工作在饱和或截止状态作在饱和或截止状态, ,起开关作用起开关作用。 因此，基本单元电路、分析方法及研究的范因此，基本单元电路、分析方法及研究的范围均不同。围均不同。2 2、三极管的工作状态不同：、三极管的工作状态不同：第14页/共122页模拟电路研究的问题模拟电路研究的问题基本电路元件基本电路元件: :基本模拟电路基本模拟电路: :晶体三极管晶体三极管场效应管场效应管集成运算放大器集成运算放大器 信号放大及运算信号放大及运算 ( (信号放大、功率放大）信号放大、功率放大） 信号处理（采样保持、电压比较、有源滤波

7、）信号处理（采样保持、电压比较、有源滤波） 信号发生（正弦波发生器、三角波发生器、信号发生（正弦波发生器、三角波发生器、）第15页/共122页数字电路研究的问题数字电路研究的问题基本电路元件基本电路元件基本数字电路基本数字电路逻辑门电路逻辑门电路触发器触发器 组合逻辑电路组合逻辑电路 时序电路（寄存器、计数器、脉冲发生器、时序电路（寄存器、计数器、脉冲发生器、脉冲整形电路）脉冲整形电路） A/DA/D转换器、转换器、D/AD/A转换器转换器数字集成电路数字集成电路第16页/共122页1.1 1.1 数字数制与编码数字数制与编码数制的权和基数数制的权和基数 数制是进位记数制的简称。记数符号的个数

8、称为基数。常用进制：2、8、10、16不同位置上的数码有不同的权值：例如：892110012310)101102109108()8921(进制数系数权值第17页/共122页十进制二进制八进制十六进制十进制二进制八进制十六进制十进制二进制八进制十六进制0000000601106612110014C1000111701117713110115D20010228100010814111016E30011339100111915111117F401004410101012A16100002010501015511101113B 十进制对应的二进制、八进制、十六进制 第18页/共122页10110011

9、221110)101010101010()(mmnnnnaaaaaaN十进制数的一般表达式：十进制数的一般表达式：其它进制数的表达式相似：例：其它进制数的表达式相似：例：16进制：进制：12161210110110( )(161616161616)nnnnmmNaaaaaa第19页/共122页 二进制各位的权二进制位数1110987654321权21029282726252423222120十进制表示1024 512 256 1286432168421二进制位数-1-2-3-4-5-6权2-12-22-32-42-52-6十进制表示0.50.50.250.250.1250.1250.06250

10、.06250.03120.03125 50.01560.01562525 第20页/共122页例二进制数（10101.01）2按权值展开：2432101210(10101.01)(1 2021 2021 2021 2) 第21页/共122页可将进位制的规律推广到任意进位制R，表达如下：n位整数、m位小数的R进制数：以R为基数，逢R进1，按权展开式为： 1221100112211nmiiimmnnnnRRkRkRkRkRkRkRkRkN第22页/共122页数制转换数制转换1.二进制数和八进制数之间的转换二进制数和八进制数之间的转换 八进制的基数是八进制的基数是2的幂，因此二进制和八进制的幂，因此

11、二进制和八进制的互换非常容易。二进制要转换为八进制时，只的互换非常容易。二进制要转换为八进制时，只需要将其以小数点为中心，向两边每三位分成一需要将其以小数点为中心，向两边每三位分成一组，不足三位时补组，不足三位时补0即可。再把每三位二进制数即可。再把每三位二进制数对应的八进制数码写出即可。对应的八进制数码写出即可。例例 将将(11 101.110 1)2转换成八进制转换成八进制 解：二进制数解：二进制数=(011 101.110 100)2 八进制数八进制数= (3 5 . 6 4 )8 第23页/共122页若要将八进制转换成二进制数，只要写若要将八进制转换成二进制数，只要写出每八进制数码对应

12、的二进制数，依次出每八进制数码对应的二进制数，依次排好即可。排好即可。例例 将将(234.567)8转换成二进制数：转换成二进制数： 解：八进制数解：八进制数= ( 2 3 4 . 5 6 7)8 二进制数二进制数= (010 011 100 . 101 110 111)2 第24页/共122页2. 二进制数和十六进制之间的转换二进制数和十六进制之间的转换 用四位二进制数可表示用四位二进制数可表示015十六个十六个16进制数。进制数。只需要将其以小数点为中心，向两边每四位分成一组，只需要将其以小数点为中心，向两边每四位分成一组，不足四位时补不足四位时补0即可。即可。 例例 将将(1 1101.

13、1101)2转换成十六进制数转换成十六进制数 解：二进制数解：二进制数=(0001 1101.1101)2 十六进制数十六进制数=( 1 D . D )16例例 将将(A F . 2 6)16转换成二进制转换成二进制 解：十六进制数解：十六进制数= ( A F . 2 6 )16 二进制数二进制数= (1010 1111.0010 0110)2 第25页/共122页1)(nmiiirraN10321012342)375.26( 0.1250.250.00208162121202021202121)011.11010(3.非十进制数转换为十进制数任何一个数都可用其权展开式表示为 只需将一非十进制

14、数按权展开相加求和即可。例例 将将(11010.011)2转换成十进制数转换成十进制数解：解：第26页/共122页1021012316)703125.4783( 0.0156250.6875151605124096 164161116151610162161)4.12(BAF例 将(12AF.B4)16转换成十进制数解：第27页/共122页4. 十进制数转换为非十进制数 整数部分的转换 转换采用基数除法。基数除法是用目的数制的基数去除十进制整数，第一次除所得的余数作为目的数的最低位，得到的商再除以该基数，所得的余数作为目的数的次低位，依次类推，直到商为0，所得的余数为目的数的最高位。第28页/

15、共122页例 将(53)10转换成二进制数解：2 53 余数2 26 1 最低位（LSB）2 13 02 6 12 3 02 1 1 1最高位（MSB）即即：(53)10=(110101)2 0 第29页/共122页 小数部分的转换 小数部分的转换是采用基数乘法进行的。即：用该小数乘目的数制的基数，第一次乘的结果的整数部分为目的数小数的最高位，其小数部分再乘基数，所得结果的整数部分为目的数小数的次高位，依次类推，直到小数部分为0或达到要求精度为止例 将(0.6875)10十进制小数转换成二进制数解： 0.68752=1.3750 1 最高位 0.37502=0.75 0 0.7502=1.5

16、1 0.52=1 1 最低位所以210)1011. 0()6785. 0(第30页/共122页当规定小数后的精度较高时，应在后面补零。例如上题中要求小数后8位：210)10110000. 0()6785. 0(第31页/共122页编码 编码：用若干特定的二进制码来表示自然数、字母、符号和状态的过程。这些特定的二进制数码称为字符代码。二进制码不一定表示二进制数。.二二十六进制编码十六进制编码（1）自然二进制编码:自然二进制编码是用00001111来表示十进制数的015共16种不同的信息，为有权码。（）格雷码（循环码）（16进制） 格雷码的特点是任何相邻的两个码字中，仅有一位代码不同，其他代码是一

17、样的，又叫单位距离码。它的这一单位距离性，能避免在码组的转换过渡过程中产生瞬时误码。因此格雷码在通信和测量技术中得到了广泛的应用。格雷码是一种无权码。 第32页/共122页格雷码0000010001200113001040110501116010170100格雷码8110091101101111111110121010131011141001151000第33页/共122页十进制数自然二进制码二进制格雷码十进制数自然二进制码二进制格雷码00000000081000110010001000191001110120010001110101011113001100101110111110401000

18、1101211001010501010111131101101160110010114111010017011101001511111000表两种四位二进制编码表第34页/共122页.二十进制编码 将十进制的十个数，分别用不少于4位的特定二进制数码表示，我们称为二十进制编码（BCD码）。 常用的二十进制编码8421BCD码 8421BCD码：用00001001来表示十进制的09。由高到低权值分别为8、4、2、1。这种每位二进制有确定权值的编码叫做有权码。例 BCD842110011062421码 2421码是一种有权码，其四位二进制由高到低分别代表2、4、2、1。例 ： 24211011006

19、第35页/共122页 210113. 余3码 余3码也有四位，但每位的权是不固定的，故是无权码。它可以由每个8421BCD码加上3的。（）. 余3格雷码 余3格雷码是无权码，它的特点也是在任意两个相邻的数之间（包括0与9），仅有一位不同。例：例：. 格雷码（十进制） 在十六进制格雷码码的基础上，将最后一个编码换为与只有一位不同的编码，是无权码，它的特点是在任意两个相邻的数之间（包括0与9），仅有一位不同。第36页/共122页 常见的十进制编码8421BCD码2421码余3码余3格雷码格雷码00000000000110010000010001000101000110000120010001001

20、0101110011300110011011001010010401000100011101000110501011011100011000111601101100100111010101701111101101011110100810001110101111101100910011111110010101000第37页/共122页1.2 1.2 逻辑代数基础逻辑代数基础 逻辑代数（Logic Algebra）又名布尔代数（Boolean Algebra），它是按逻辑规律、处理逻辑运算的代数，是逻辑分析和逻辑设计的理论基础。基本概念基本概念1. 逻辑变量逻辑变量 逻辑变量：多用大写字母A，B，

21、C 等表示，它有两种取值，即逻辑0和逻辑1。0和1称为逻辑常量。这种只有两个逻辑变量的逻辑代数是二元布尔代数。本课程中的逻辑代数一般是指二值逻辑。 在这里，0和1是表示事物矛盾双方的符号。例如，命题的真假，信号的有无，电位的高低。所以逻辑0和逻辑1本身没有数值的意义。第38页/共122页2. 基本逻辑运算基本逻辑运算 基本的逻辑运算有与与、或或、非非三种，任何复杂的运算都可由这三种基本逻辑运算来实现。基本逻辑关系基本逻辑关系 与与 ( and ) 或或 (or ) 非非 ( not )第39页/共122页与逻辑关系与逻辑关系VABF 真值表真值表A B F0 0 00 1 01 0 01 1

22、1规定规定: 开关合为逻辑开关合为逻辑“1” 开关断为逻辑开关断为逻辑“0” 灯亮为逻辑灯亮为逻辑“1” 灯灭为逻辑灯灭为逻辑“0” 真值表特点真值表特点: 任任0 则则0, 全全1则则1一、一、“与与”逻辑关系和与门逻辑关系和与门与逻辑与逻辑：决定事件发生的各条件中，：决定事件发生的各条件中，所有条件都具备，事件才会发生所有条件都具备，事件才会发生（成立）。（成立）。第40页/共122页二极管组成的与门电路二极管组成的与门电路+5VVAVBVO输入输出电平对应表输入输出电平对应表 (忽略二极管压降忽略二极管压降) VA VB VO 0.3 0.3 0.3 0.3 3 0.3 3 0.3 0.

23、3 3 3 30.3V=逻辑逻辑0, 3V=逻辑逻辑1 此电路实现此电路实现“与与”逻辑关系逻辑关系与门符号:&ABF第41页/共122页与逻辑运算规则与逻辑运算规则 逻辑乘逻辑乘与逻辑关系表示式与逻辑关系表示式F= AF= AB = ABB = AB 与门符号与门符号: :& &A AB BF F0 0 00 0 00 1 00 1 01 0 01 0 01 1 11 1 1A B FA B F与逻辑真值表与逻辑真值表0 0=0 0 1=01 0=0 1 1=1公理第42页/共122页二、二、“或或”逻辑关系和或门逻辑关系和或门或逻辑或逻辑：决定事件发生的各条件中，有

24、一个或一个：决定事件发生的各条件中，有一个或一个以上的条件具备，事件就会发生（成立）。以上的条件具备，事件就会发生（成立）。 “或或”逻辑关系逻辑关系VABY0 0 00 0 00 1 10 1 11 0 11 0 11 1 11 1 1A B FA B F开关合为逻辑开关合为逻辑“1 1”，开关断为逻辑开关断为逻辑“0 0”；灯亮为逻辑灯亮为逻辑“1 1”， 灯灭为逻辑灯灭为逻辑“0 0” 。设：设：特点特点: :任任1 1 则则1, 1, 全全0 0则则0 0真值表真值表第43页/共122页二极管组成的“或或”门电路门电路0.3V =0.3V =逻辑逻辑0, 3V =0, 3V =逻辑逻辑

25、1 1此电路实现此电路实现“或或”逻辑关系。逻辑关系。 VA VB VO 0.3 0.3 0.3 0.3 3 3 3 0.3 3 3 3 3输入输出电平对应表输入输出电平对应表 ( (忽略二极管压降忽略二极管压降) )0 0 00 0 00 1 10 1 11 0 11 0 11 1 11 1 1V VA AV VB BV VO OR R-5V-5V或门符号或门符号: :A AB BF F11第44页/共122页或逻辑运算规则或逻辑运算规则 逻辑加逻辑加或逻辑关系表示式或逻辑关系表示式 F=A B 或门符号或门符号: :A AB BF F110 0 00 0 00 1 10 1 11 0 11

26、 0 11 1 11 1 1A B FA B F或逻辑真值表或逻辑真值表0+0=0 0+1=11+0=1 1+1=1公理第45页/共122页三、三、“非非”逻辑关系与非门逻辑关系与非门“非非”逻辑逻辑：决定事件发生的条件只有一个，条件不决定事件发生的条件只有一个，条件不具备时事件发生（成立），条件具备时事件不发生。具备时事件发生（成立），条件具备时事件不发生。特点特点: 1: 1则则0, 00, 0则则1 1真值表真值表0 10 11 01 0A FA FFRAV“非非”逻辑关系逻辑关系第46页/共122页非门电路非门电路-三极管反相器三极管反相器三极管反相器电路实现三极管反相器电路实现“非非

27、”逻辑关系。逻辑关系。非门表示符号非门表示符号: :1 1F FA A 输入输出电平对应表输入输出电平对应表 VA VO 0 1 ( (三极管截止三极管截止) ) 1 0 ( (三极管饱和三极管饱和) )+E+Ec cV VA AV VO OR Rc cR R1 1第47页/共122页非逻辑非逻辑 逻辑反逻辑反非逻辑真值表非逻辑真值表 A F 0 1 1 0 运算规则：运算规则： 0 1 1 0 非逻辑关系表示式非逻辑关系表示式非逻辑关系表非逻辑关系表示式示式: 公理FA第48页/共122页复合逻辑运算( (基本逻辑关系的扩展) ) 将基本逻辑门加以组合，可构成将基本逻辑门加以组合，可构成“与

28、非与非”、“或或非非”、“异或异或”等门电路。等门电路。1.1.与非门（与非逻辑运算）与非门（与非逻辑运算）表示式表示式： 真值表真值表 A B AB F 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0多个逻辑变量时多个逻辑变量时: :& &A AB BF F符号：符号：FABFABC第49页/共122页2.2.或非门（或非逻辑运算）或非门（或非逻辑运算）表示式表示式： F= A+B 真值表真值表 A B A+B F 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0多个逻辑变量时多个逻辑变量时: :F= A+B+CA AB BF F11符号：符号：

29、第50页/共122页CDABF3.“3.“与或非与或非” ” 逻辑运算逻辑运算 “与或非”逻辑运算就是实现先“与”后“或”再“非”的逻辑运算。其函数表达式可表示为：第51页/共122页与或非”逻辑的真值表ABCDF00001000110010100110010010101101101011101000110011101011011011000110101110011110第52页/共122页真值表特点真值表特点: : 相同则相同则0,0, 不同则不同则1 1 真值表真值表 A B AB AB F 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 04.异或异或门门(

30、(异或逻辑运算）异或逻辑运算）=1=1A AB BF F符号：符号：BABABAF表达式：第53页/共122页用基本逻辑门组成异或门用基本逻辑门组成异或门11&1ABABABABF=AB + ABBABABAF表达式：第54页/共122页真值表特点真值表特点: : 相同则相同则1,1, 不同则不同则0 0 真值表真值表 A B AB F 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 15.同或同或门门( (同或逻辑）同或逻辑）表达式：FA BABBAFBA=1=1A AB BF F符号：符号：第55页/共122页第56页/共122页&第57页/共1

31、22页逻辑代数的基本定律和规则逻辑代数的基本定律和规则以下逻辑代数的基本定律可以由基本运算推导得以下逻辑代数的基本定律可以由基本运算推导得到或用真值表验证。到或用真值表验证。 交换律交换律A+B=B+AAB=BA结合律结合律A+(B+C)=(A+B)+CA(BC)=(AB) C分配律分配律A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)吸收律吸收律A+AB=AA (A+B)=A0-1律律A+1=1； A+0=AA0=0； A1=A互补律互补律重叠律重叠律 A+A=AAA=A对合律对合律反演律反演律1 AA0 AAAA BABABABA第58页/共122页求证求证: : （分配律第（分配律

32、第2 2条）条） A+BC=(A+B)(A+C)A+BC=(A+B)(A+C)证明证明: :右边右边 =(A+B)(A+C)=(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC ; =AA+AB+AC+BC ; 分配律分配律=A +A(B+C)+BC ; =A +A(B+C)+BC ; 结合律结合律,AA=A,AA=A=A(1+B+C)+BC ; =A(1+B+C)+BC ; 结合律结合律=A =A 1+BC ; 1+B+C=1 1+BC ; 1+B+C=1=A+BC ; A =A+BC ; A 1=1 1=1= =左边左边例：证明例：证明第59页/共122页逻辑代数的运算规则和普通代数运算规则相比

33、，逻辑代数的运算规则和普通代数运算规则相比，既有许多相似的地方，又有很大的本质差别。如既有许多相似的地方，又有很大的本质差别。如分配律分配律的两个表达式中，与的两个表达式中，与(乘乘)对或对或(加加)的分配律的分配律与普通代数一样，而或与普通代数一样，而或(加加)对与对与(乘乘) 的分配律则不的分配律则不符合普通代数规则，对此需要特别予以注意。符合普通代数规则，对此需要特别予以注意。（分配律第（分配律第2 2条）条） A+BC=(A+B)(A+C)A+BC=(A+B)(A+C)第60页/共122页反演定理（反演定理（荻荻摩根定理摩根定理）证明：）证明：AB =A+B A+B = AB( (用真

34、值表证明用真值表证明) )A B AB A+B 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 证明证明: :AB =A+B第61页/共122页2. 常用规则常用规则逻辑代数有三个重要规则：逻辑代数有三个重要规则： 代入规则代入规则 任何一个含有逻辑变量任何一个含有逻辑变量X的逻辑表达式中的逻辑表达式中,如果将如果将函数式中所有出现函数式中所有出现X的位置的位置,都代之以一个逻辑表达都代之以一个逻辑表达式式F,则等式依然成立。则等式依然成立。 由于任何一个逻辑由于任何一个逻辑函数函数也和任何一个逻辑也和任何一个逻辑变量变量一一样，只有样，只有0和和1两种取值，所以，代入规则是成

35、立的。两种取值，所以，代入规则是成立的。例：例： 已知已知 ，F=B+C，若用，若用F代替等式代替等式中的中的B，则有，则有等式依然成立。用此规则可以将等式依然成立。用此规则可以将基本定律基本定律从两变量从两变量扩展为扩展为3变量、变量、4变量。变量。BABACBACBA)(第62页/共122页 反演规则反演规则 反演律反演律又称为荻又称为荻摩根定理，将其推广可获得摩根定理，将其推广可获得反演反演规则规则：对于一个逻辑表达式：对于一个逻辑表达式F，如果将，如果将F中的所有中的所有“”变为变为“+”，“+”变为变为“”，“1”变为变为“0”，“0”变变为为“1”，原变量变为反变量，反变量变为原变

36、量，原变量变为反变量，反变量变为原变量，运算顺序保持不变，即可得到原表达式的运算顺序保持不变，即可得到原表达式的反表达式反表达式。例：例： 若若 则则 直接利用反演律很容易求得一个表达式的反，但直接利用反演律很容易求得一个表达式的反，但需要特别注意的是，需要特别注意的是，不能在运用规则时破坏原表达不能在运用规则时破坏原表达式的运算次序式的运算次序。)()(DCBAF)()(DCBAF第63页/共122页 对偶规则对偶规则 将逻辑表达式F中的所有“”变为“+”，“+”变为“”，“1”变为“0”，“0”变为“1”，得到一个新的逻辑表达式F* 。F*即称为F的对偶式。例例 若 则 对偶规则和反演规则

37、的区别在于：对偶规则变量不做取反操作。DCBAF)()(*DCBAF当函数当函数G和函数和函数F相等时，其对偶式相等时，其对偶式G*和和F*也相等也相等第64页/共122页ABABABABAACABACBCABABACACABA)()(BABABABABCACABA)()(3.常用公式运用逻辑代数的基本定律和规则，可以得出以下常用公式： （吸收规则） （用结合率证明）第65页/共122页例：证明：例：证明：例：证明例：证明: :A+AB=A+BA+AB =A+AB+AB =A+(A+A)B =A+ 1B ; A+A=1 =A+BA+AB =A证证: :证：证：A+AB=A(1+B) =A1 =

38、A()()1 ()AABAA ABABAB 分配率第66页/共122页混合变量吸收规则混合变量吸收规则: :AB+AC+BC=AB+AC+(A+A)BC =AB+AC+ABC+ABC =AB(1+C) +AC(1+B) =AB +ACAB+AB =AAB+AC+BC =AB+AC证明证明: :第67页/共122页1.3 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法 逻辑变量之间只进行逻辑变量之间只进行逻辑乘逻辑乘运算的表达式称为运算的表达式称为“与与”项。项。“与与”项之间只进行项之间只进行逻辑加逻辑加运算的表达运算的表达式称为式称为“与与或或”表达式。表达式。例如：例如： 逻辑变量之间只进行逻辑

39、变量之间只进行逻辑加逻辑加运算的表达式称为运算的表达式称为“或或”项。项。“或或”项之间只进行项之间只进行逻辑乘逻辑乘运算的表达运算的表达式称为式称为“或或与与”表达式。表达式。例如：例如：CBAABCBAF),()()(),(CBABACBAF第68页/共122页最小项最小项 n个逻辑变量，组成有个逻辑变量，组成有n个变量的个变量的“与与”项。与项。与项中，每个变量以原变量或反变量的形式出现一次，项中，每个变量以原变量或反变量的形式出现一次，则称这个则称这个“与与”项为最小项。项为最小项。n个变量的表达式，个变量的表达式，可有可有2n 个最小项。个最小项。CBA0CBACBABCACBACB

40、ACABABCABC最小项最小项m000m0001m1010m2011m3100m4101m5110m6111m7当变量为“0”时，最小项的对应变量名取反变量第69页/共122页 最小项的三个性质：最小项的三个性质： 当当变量值变量值确定时，所有最小项中，只有一组变量确定时，所有最小项中，只有一组变量值使最小项取值为值使最小项取值为1。 任意两个不同的最小项之积必为任意两个不同的最小项之积必为0。 n个变量的所有最小项之和必为个变量的所有最小项之和必为1。 任何任何一个逻辑表达式均可表示成为唯一的一组最小一个逻辑表达式均可表示成为唯一的一组最小项之和，称为项之和，称为标准标准“与或与或”表达式

41、表达式。jimmji0即：1201niim即：第70页/共122页CBABCBACBAF),(CBABCAACCBA)()(CBAABCCBABCA4723mmmm)7 , 4 , 3 , 2(m例 ：最小项的标准表达式： （表示方法1 ）（表示方法（表示方法2 ）（表示方法（表示方法3）CBABCAABCCBABCA与或表达式（非标准）第71页/共122页例：设计一个例：设计一个3人表决函数，当两人或两人以上同人表决函数，当两人或两人以上同意时输出为意时输出为1，否则为，否则为0ABCF00000010010001111000101111011111)7 , 6 , 5 , 3(7653mm

42、mmmABCCABCBABCAF同意为“1”通过为“1”输出为”1”的最小项之和第72页/共122页最大项最大项 有有n个逻辑变量，由它们组成具有个逻辑变量，由它们组成具有n个变量的个变量的”或或”项项, 每个变量以原变量或反变量的形式只出现每个变量以原变量或反变量的形式只出现一次，则称这个一次，则称这个”或或”项为最大项。三个变量有项为最大项。三个变量有23个最大项。个最大项。ABC最大项最大项M000M0001M1010M2011M3100M4101M5110M6111m7CBACBACBACBACBACBACBACBA当输入变当输入变量为量为“0”时，最大时，最大项的对应项的对应变量名取

43、变量名取原变量原变量第73页/共122页1jiMMji 1200niiM 最大项的性质： 对于任意一个最大项，只有一组变量取值可使 其值为0。（在变量值确定时） 任意两个最大项之和必为1。 即： n个变量的所有2n个最大项之积必为0。即 : 任何一个逻辑表达式均可表示成为唯一的一组最 大项之积，称为标准“或与”表达式。第74页/共122页CBABACBAF, CBACCBA CBACBACBA410MMM4 , 1 , 0M例 ： 第75页/共122页例：设计一个例：设计一个3人表决函数，当两人或两人以上同人表决函数，当两人或两人以上同意时输出为意时输出为1，否则为，否则为0ABCF00000

44、010010001111000101111011111)4 , 2 , 1 , 0()()()()(4210MMMMMCBACBACBACBAF输出为”0”的最大项之积第76页/共122页F 以M个最小项之和表示的一个N个变量的函数F，其反函数 可用M个最大项之积表示。这M个最大项的编号与M个最小项的编号完全相同。iiiiiiMmmMMm,) 1 (互补，即和7 , 4 , 3 , 2mF7432mmmmF7432MMMM7432MMMM7 , 4 , 3 , 2M最大项和最小项之间的关系 00MCBACBAm 例如: 例如：例如：第77页/共122页1.4 1.4 逻辑函数的化简逻辑函数的化

45、简 同一个逻辑表达式可以有多种函数的表达形式，虽然逻辑功能相同，但有繁有简。因而造成实现的逻辑电路不相同。因此，我们需要对逻辑代数化简。 在函数的各种表达式中，“与或”表达式和“或与”表达式是最基本的表达形式。利用对偶规则很容易将“与或”表达式变为“或与”表达式。 一般最简的“与或”表达式满足如下要求： 与与项的个数最少。 与与项中所包含的变量个数最少。 逻辑函数的化简有多种方法：代数法、卡诺图法、QM法等，本课着重介绍前两种。第78页/共122页CBCBACBBCAF例：化简CBCBACBBCAF解：CBACABCBAABCBAAB ABAAB1.4.1 代数化简法 合并项法：利用公式将两项

46、合并 A第79页/共122页ABDDCABCCDBAACF例：化简DCACBADDCACADABDDCACABDDCABCCDBAACF) 1(增加项）解：CAABBCCAAB 吸收法：利用公式A+AB=A和消去多余项.推论第80页/共122页CBCAABF例：简化CBCAABF解：CABABCABBABAA 消去法: 利用公式,消去多余因子.CBAAB第81页/共122页BACBCBBAF例：化简BACBCBBAF解：CCBAAACBCBBACBABCACBACBACBBACACBBAAABCCAABCAAB 配项法: 为求最简结果,可将某一乘积项乘以将一项展开为两项,或利用增加BC项,再与

47、其它乘积项进行合并化简,以达到最简结果的目的. 第82页/共122页卡诺图化简法第83页/共122页四种四种表示方法表示方法F=AB + ABF=AB + AB逻辑代数式逻辑代数式( (逻辑表示式逻辑表示式, , 逻辑函数式逻辑函数式) )1 11 1& & &11A AB BF F 逻辑电路图逻辑电路图: :卡诺图卡诺图 将逻辑函数输入变量取值的不同组合与将逻辑函数输入变量取值的不同组合与所对应的输出变量值用列表的方式一一对应列出所对应的输出变量值用列表的方式一一对应列出的表格。的表格。n2n n个输入变量个输入变量 种组合种组合。真值表：真值表： 逻辑函数的表示法逻

48、辑函数的表示法第84页/共122页真值真值表表 A B F 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0A B C F0 0 0 0 0 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 10 10 11 01 0A FA F一输入变一输入变量，二种量，二种组合组合二输入变二输入变量，四种量，四种组合组合三输入变三输入变量，八种量，八种组合组合第85页/共122页真值表真值表（四输入变量）（四输入变量）A B C D Y0 0 0 0 1 0 0 0 1 00 0 1 0 10 0 1 1 10 1 0 0 00 1 0 1 10 1 1 0 00

49、1 1 1 1A B C D Y1 0 0 0 1 1 0 0 1 11 0 1 0 11 0 1 1 11 1 0 0 11 1 0 1 11 1 1 0 11 1 1 1 1四输入变四输入变量，量，16种种组合组合第86页/共122页1.卡诺图的构成：卡诺图的构成： 卡诺图是真值表的图形表示,通过把函数变量分为两组纵横排列, 变量的组合按照循环码(格雷码）的规则组合，n个变量组成2n个方格,每个方格对应一个最小项或最大项的编号。循环码(格雷码），是指相邻的两组之间只有一个不同的编码。 当输入变量小于五时,采用卡诺图法来化简逻辑代数非常简便。第87页/共122页 将真值表或标准逻辑函数式用一

50、个特定的方将真值表或标准逻辑函数式用一个特定的方格图表示，称为卡诺图。格图表示，称为卡诺图。最小项最小项: : 输入变量的每一种组合。输入变量的每一种组合。 卡诺图的画法：卡诺图的画法：（二输入变量）（二输入变量） A B F 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0BA01010111输出变量输出变量F F的值的值输入变量输入变量卡诺图卡诺图第88页/共122页AB 0 101m0 m1m2m3ABCm0 m1m2m300 01 11 1001m6 m4 m7 m5 变量以循环码排列第89页/共122页ABCD00 01 11 1000011110m0 m1 m3m2m4m5m7m6m

51、8m9m10m11m12m13m15m14第90页/共122页ABCDE000 001 011 010 110 111 101 10000011110m0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m10m24m25m27m26m28m29m31m30m20m21m23m22m16m17m19m18第91页/共122页卡诺图具有如下结构特点： 卡诺图中几何位置相邻的最小项，它们的变量仅有一个值不同。如：四变量中的m14和m15只有“D”取值不同。, 纵横坐标中，以高位变量0、1取值作为分界线，则两个相重叠位置的对称项，它们之间也只有一个变量取值不同。如：四变量图中，横坐标

52、以A的0、1作为分界m11和m3是对称项，它们之间只有变量A取值不同，五变量图中，m23和m7是对称项，它们之间只有变量A取值不同。 n变量的卡诺图包含了2n个所有最小项（或最大）项。n变量的卡诺图的每个最小项（或最大项）有n个相邻最小项（或最大项）第92页/共122页7 , 6 , 5 , 3,mCBAF000111100111001001A AB BC C图图 1 1. .5 5. .2 22.逻辑函数的卡诺图表示： （1）三变量的标准逻辑函数填入卡诺图：标准最小项表达式，在最小项的真值表中，3、5、6、7项为真，所以在三变量的卡诺图中将这四项填1，其余项填0。第93页/共122页（2 2

53、）由真值表填写卡诺图）由真值表填写卡诺图（三输入变量）（三输入变量）逻辑相邻：相邻单逻辑相邻：相邻单元输入变量的取值元输入变量的取值只能有一位不同。只能有一位不同。0 01 10000010111111010 C CABAB0 00 01 10 00 00 01 11 1输入变量输入变量输出变量输出变量F F的值的值A B C F0 0 0 0 0 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1第94页/共122页对于一个非标准的逻辑表达式（即，不是最小项表达式），可以将逻辑函数变换成最小项表达式再填（通常不是这样做）。例如： 15,14,13,

54、12,11,10, 7 , 5mABCDDABCCDBADCBABCDADCBADCABDCABACBDACABF0010011001110011ABCD00 01 11 1000011110（3）非标准与或逻辑函数表达式填入卡诺图）非标准与或逻辑函数表达式填入卡诺图第95页/共122页根据ABBABBAA)(可以推知，在非最小项表示的逻辑函数中的某个与项缺少某一变量，无论所缺变量取值为1或0，只要乘积项现有变量因子能满足使该乘积项为1的条件，该乘积项便为1。 BACDBABCDF)(例如：111111ABCD00 01 11 1000011110ACDBCDABAACDBCDB)(:因为第9

55、6页/共122页ACBDACABF前一个例题：0010011001110011ABCD00 01 11 1000011110第97页/共122页BDDCCBAF例：0100111101100000ABCD00 01 11 1000011110第98页/共122页ABAABABABA)()(3.用卡诺图合并最小项依据 吸收律 :或即：如果一个变量分别以原变量和反变量的形式出现在两个乘积项中，而这两个乘积项的其余部分完全相同，那么，这两个乘积项可以合并为一项，它由相同部分的变量组成。可以看出，卡诺图中函数值相同（例如输出为1）的两个相邻逻辑项就符合以上的公式，合并为一项，消去取值不同的那个变量，保

56、留相同的变量组成“与”项或者“或”项。第99页/共122页DBADCBADCBAmm20DBADCBADCBAmm108同理：DBmmmm10820i2在图中m0和m2是两个函数值同为1的相邻项，组成一个合并项:消去了变量C。，由于m0、m2和m8、m10也是逻辑相邻项，可以组成更大的合并项，即:第100页/共122页以要获得“与或”式为例： 2n个相邻项（格内均为1，构成方阵或矩形阵列)，可消去n个变量，得到一个简化的“与”项。 简化项所含变量就是各最小项中取固定值的变量。因此，用卡诺图化简逻辑函数，就是在卡诺图上圈画彼此相邻项，而且一个圈要尽量圈尽量多的“1”（构成方阵或矩形阵列) ，组成

57、最大合并项。 注意，由重叠律可以看出，卡诺图中的格可重复使用，另外首尾相接的项也属于相邻项，在画圈时要特别注意。第101页/共122页4.利用卡诺图化简逻辑函数利用卡诺图化简逻辑函数 卡诺图化简逻辑函数的几个概念。主要项（本原蕴含项）主要项（本原蕴含项）：在卡诺图中，把2n个相邻1格进行合并，如果合并的圈不能再扩大（再扩大就会包括0格）。这样的圈得到的合并乘积项称为主要项（本原蕴含项）。如m0m1, m0m2m8m10, m13。0001111011111100011110CDCDABAB图 1.5.5图 1.5.5第102页/共122页多余项（多余项（冗余项）：一个主要项圈中的所有1格均被其它的主要项圈覆盖，这个主要项就是多余项（冗余项）。000111105139371514400011110CDCDABAB图 1.5.7图 1.5.7 （a) （a)000111105139371514400011110CDCDABAB （b) （b)第103页/共122页卡诺图化简逻辑函数的步骤：卡诺图化简逻辑函数的步骤： 作出所要化简函数的卡诺图。找出只有一种圈法，即只有一种合并可能的1格，从它出发把相邻1格圈起来，构成主要项。没有相邻项的孤立1格也是主要项。余下没有被覆盖的1格均有两种或两种以上合并的可能，可以选择其中一种合并方式加圈合并，直至所有1格至