高中物理奥林匹克竞赛专题--非惯性系中的质点动力学ppt课件

1、第一章第一章非惯性系中的质点动力学非惯性系中的质点动力学 1 11 1 非惯性系中质点动力学的根本方程非惯性系中质点动力学的根本方程 FamaCeraaaaa其中其中 为质点的牵连加速度为质点的牵连加速度eaCa为质点的科氏加速度为质点的科氏加速度非惯性参考系：非惯性参考系：zyxO惯性参考系：惯性参考系：Oxyz在惯性参考系内：在惯性参考系内：ICIerFFFamFamamamCerCeramamFam令令eIeamF非惯性系中的质点动力学根本方程非惯性系中的质点动力学根本方程或质点相对运动动力学根本方程或质点相对运动动力学根本方程CCIamF牵连惯性力牵连惯性力科氏惯性力科氏惯性力在非惯性

2、系内，上式写成微分方程方式在非惯性系内，上式写成微分方程方式ICIe22ddFFFtrm其中其中 表示质点表示质点M M在非惯性系中的矢径在非惯性系中的矢径r是是 对时间对时间t t 的二阶相对导数的二阶相对导数22ddtrr非惯性系中的质点运动微分方程非惯性系中的质点运动微分方程质点相对运动微分方程质点相对运动微分方程几种特殊情况几种特殊情况1 1动参考系相对于定参考系作平移动参考系相对于定参考系作平移0Ca0ICF相对运动动力学根本方程为相对运动动力学根本方程为IerFFam2 2动参考系相对于定参考系作匀速直线平移动参考系相对于定参考系作匀速直线平移0Ca0ea0ICIe FFFamr

3、一切相对于惯性参考系作匀速直线平移的参考系一切相对于惯性参考系作匀速直线平移的参考系都是惯性参考系都是惯性参考系 发生在惯性参考系中的任何力学景象都无助于发觉该参考系本身的运动情况-相对性原理3 3质点相对于动参考系静止质点相对于动参考系静止00rr，a0ICF0Ie FF质点相对静止的平衡方程质点相对静止的平衡方程 即当质点在非惯性参考系中坚持相对静止时，作用在质点上的力与质点的牵连惯性力相互平衡。4 4质点相对于动参考系作等速直线运动质点相对于动参考系作等速直线运动0ra0ICIeFFF质点相对平衡方程质点相对平衡方程例例 1 11 1求：此时单摆作微振动的周期。求：此时单摆作微振动的周期

4、。知：如下图单摆，知：如下图单摆，摆长为摆长为l， 小球质量为小球质量为m。其悬挂点其悬挂点O以加速度以加速度 向上运动。向上运动。0a x y0aO解：解：小球相对于此动参考系的运动小球相对于此动参考系的运动分析小球受力如下图。分析小球受力如下图。因动参考系作平移，因动参考系作平移，在悬挂点在悬挂点O上固结一平移参考系上固结一平移参考系yxO相当于悬挂点固定的单摆振动相当于悬挂点固定的单摆振动0IeamF所以科氏惯性力所以科氏惯性力0ICFIerFPFam将上式投影到轨迹的切向轴将上式投影到轨迹的切向轴t t上上 得得sin)(sin)(dd0Ie22agmFPtsmPIeFF x y0aO

5、t当摆作微振动时当摆作微振动时角很小角很小 有有sin且且ls 上式成为上式成为)(dd022agmtml令令lag020那么上式可写成自在振动微分方程的规范方式那么上式可写成自在振动微分方程的规范方式0dd2022t其解的方式为其解的方式为)sin(0tA而振动周期为而振动周期为0022lTga例例 1 12 2求：套筒运动到端点求：套筒运动到端点A所需的时间及此时对杆的程度压力。所需的时间及此时对杆的程度压力。知：不断杆知：不断杆OA，长，长l=0.5m，可绕过端点，可绕过端点O的的 轴在水轴在水 平面内作匀速转动，其转动角速度平面内作匀速转动，其转动角速度 在杆在杆OA上有一质量为上有一

6、质量为m=0.1kg的套筒的套筒B。设开场运。设开场运 动时，套筒在杆的中点处于相对静止，忽略摩擦。动时，套筒在杆的中点处于相对静止，忽略摩擦。z2rad/sOAB x y z解：解： 研讨套筒研讨套筒B相对于相对于OA的运动的运动选取和杆选取和杆OA一同转动的坐标系一同转动的坐标系 为动参考系为动参考系zyxOxmF2IexmF2IC建立相对运动微分方程建立相对运动微分方程将上式投影到将上式投影到 轴上得轴上得x2xmxm 令令rvx 2rrddddddvvxxtxtICIe2122ddFFFFgmtrmaOAB x y zIeFgm2FICF1F留意留意rddxvt上式分别变量并积分上式分

7、别变量并积分即即r21rr02ddvxv vx x得得2222r11()224lvx或或22rdd4xlvxtb b上式再分别变量并积分上式再分别变量并积分即即tltlxx02122d4ds209. 0)32ln(1214ln122lllt将式将式a a投影到投影到 轴上得轴上得yxmFF2IC2当套筒到达端点当套筒到达端点A时时lx 22r342lvxllOAB x y zIeFgm2FICF1FICIe2122ddFFFFgmtrma22233(2rad/s)0.5m 0.1kg3.419NFlm例例 1 13 3求：由于地球自转的影响质点求：由于地球自转的影响质点M回到地外表的落点与上回

8、到地外表的落点与上 抛点的偏离。抛点的偏离。知：在地球外表北纬角知：在地球外表北纬角 处，以初速度处，以初速度 铅直上抛一铅直上抛一 质量为质量为m m 的质点的质点M M。0v解：解：以上抛点为坐标原点，选取固定于地球的非惯以上抛点为坐标原点，选取固定于地球的非惯性参考系为性参考系为zyxO其中其中 轴铅直向上，轴铅直向上，z近似经过地球中心。近似经过地球中心。轴程度向东，轴程度向东，x轴程度向北。轴程度向北。y表现重力表现重力gmFFPIe其中其中 为地球引力为地球引力F科氏惯性力科氏惯性力Cr2Fmamv ICrvx iy jz k 的矢量积可展开为的矢量积可展开为ICFcossin)c

9、ossin(2sincos02kxjxizymzyxkjimFICa a质点相对于地球的运动微分方程质点相对于地球的运动微分方程rr2maFFFmgmvIeIC援用式援用式a a上式沿上式沿 轴的投影式为轴的投影式为zyx，cos2sin2cos2sin2xgzxyzyx b对此微分方程组，对此微分方程组，可以采用逐次的方法求解。可以采用逐次的方法求解。由于地球自转角速度由于地球自转角速度很小，很小，最初级的近似计算中最初级的近似计算中可取可取=0那么式那么式b b的零次近似方程为的零次近似方程为gzyx ，00c运动初始条件为运动初始条件为t0时000000 xyzvxyz，d在此条件下式在

10、此条件下式c c积分一次，积分一次， 得质点零次近似的速度为得质点零次近似的速度为000 xyzgtv，e将上式代入式将上式代入式b b， 得一次近似的微分方程得一次近似的微分方程gzygtx ，0cos)(20f在式在式d d的初始条件下，的初始条件下，上式积分一次上式积分一次得一次近似的速度得一次近似的速度200(2)cos0 xgtv tyzgtv ，g再积分一次，再积分一次，得一次近似的上抛质点运动方程得一次近似的上抛质点运动方程3220011()cos032xgtv tyzv tgt，h当质点当质点M 回落到原上抛点高度时回落到原上抛点高度时0 z可得质点阅历的时间为可得质点阅历的时

11、间为02vtg32300003228414()coscos33vvvxgvggg x为负值，为负值， 阐明上抛质点落地时，阐明上抛质点落地时， 其落点偏西。其落点偏西。假设质点在高假设质点在高h 处无初速度自在落下处无初速度自在落下其相对运动微分方程为其相对运动微分方程为留意此时留意此时00v 其零次近似的速度式改为其零次近似的速度式改为gtzyx，00cos2sin2cos2sin2xgzxyzyx b以始落点为原点，以始落点为原点， 一次近似的质点运动方程式为一次近似的质点运动方程式为23210cos31gtzygtx，i当落下高度当落下高度h 时，时，hz阅历时间为阅历时间为ght2gh

12、hx23cos2此时此时 为正值，为正值，x偏移向东。偏移向东。这就是地球上的落体偏东景象。这就是地球上的落体偏东景象。 1 12 2 非惯性系中质点的动能定理非惯性系中质点的动能定理 质点的相对运动动力学根本方程为质点的相对运动动力学根本方程为rddvmFFFtIeIC式中式中eCr2FmaFmamv IeIC，rddvt是是 对时间对时间t t 的相对导数的相对导数rv上式两端点乘相对位移上式两端点乘相对位移rdddddddrvmrFrFrFrtIeIC科氏惯性力科氏惯性力 垂直于相对速度垂直于相对速度ICFrv有有0dIC rFrrdddmvvFrFrIeWIe表示牵连惯性力表示牵连惯性

13、力 在质点的相对位移上的元功。在质点的相对位移上的元功。IeF2r1d()2FmvWWIe质点相对运动动能定理的微分方式：质点相对运动动能定理的微分方式： 质点在非惯性系中相对动能的增量等于作用于质点质点在非惯性系中相对动能的增量等于作用于质点上的力与牵连惯性力在相对运动中所作的元功之和。上的力与牵连惯性力在相对运动中所作的元功之和。FWF表示力表示力 在质点的相对位移上的元功。在质点的相对位移上的元功。积分上式得积分上式得22rr01122FmvmvWWIe质点相对运动动能定理的积分方式：质点相对运动动能定理的积分方式： 质点在非惯性参考系中相对动能的变化等于作质点在非惯性参考系中相对动能的

14、变化等于作用在质点上的力与牵连惯性力在相对路程上所作的用在质点上的力与牵连惯性力在相对路程上所作的功之和。功之和。例例 1 14 4知：一平板与程度面成知：一平板与程度面成角，板上有一质量为角，板上有一质量为m 的小球，的小球，如下图，假设不计摩擦等阻力。如下图，假设不计摩擦等阻力。假设平板又以这个加速度的两倍向右平移时，小球应沿假设平板又以这个加速度的两倍向右平移时，小球应沿板向上运动。球沿板走了板向上运动。球沿板走了l 间隔后，小球的相对速度是间隔后，小球的相对速度是多少？多少？求：平板以多大加速度向右平移时，小球能坚持相对静止。求：平板以多大加速度向右平移时，小球能坚持相对静止。a解：解

15、：1 1在平板上固结一动参考系在平板上固结一动参考系yxOeIemaF 0ICF小球相对静止，小球相对静止， 方程为方程为N0cossin00sincos0 xyFFmgFFmgFIeIe，从中解出从中解出coscossineIemaFmg得得tanega NFIeF2 2当加速度当加速度 时时tan2ega tan2IemgF运用相对运动动能定理，运用相对运动动能定理，有有2r0(cos )(sin )2mvFlmglIelmgm)sin(22rsin2rglNFIeF例例 1 15 5知：半径为知：半径为R 的环形管，绕铅垂轴的环形管，绕铅垂轴z 以匀角速度以匀角速度 转动。转动。如下图，管内有一质量为如下图，管内有一质量为m的小球，原在最低的小球，原在最低处平衡，小球受微小扰动时能够会沿圆管上升。处平衡，小球受微小扰动时能够会沿圆管上升。忽略管壁摩擦。忽略管壁摩擦。求：小球能到达的最大偏角求：小球能到达的最大偏角 。max解：解：以环形管为动参考系以环形管为动参考系sin2IeRmF经过微小角度经过微小角度 时时d此惯性力作功为此惯性力作功为221d cossincos dWF RmR Ie相对运动的动