全等三角形解题方法

1、略说全等三角形解题方法证明三角形全等的基本思路在证明两个三角形全等时，选择三角形全等的五种方法（“SS6,“SAS”，“ASA；“AAS”，“HL”）中，至少有一组相等的边，因此在应用时要养成先找边的习惯。如果选择找到了一组对应边，再找第二组条件，若找到一组对应边则再找这两边的夹角用“SAS”或再找第三组对应边用“SS6;若找到一组角则需找另一组角（可能用“ASA”或“AAS”）或夹这个角的另一组对应边用“SAS;若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL”。上述可归纳为：SS（用SSS）A（用SAS）AS（用SAS）A（用AASmASA）证明三角形全等的方法1、平移法构造全等三角形例1如图1

2、所示，四边形ABCD中，AC平分DAB,若ABAD,DCBC,求证：分析：利用角平分线构造三角形，将D转移到AEC,而AEC与CEB互补,CEBB,从而证得BD180。主要方法是：“线、角进行转移”。图1证明：在AB上截取AEAD,在ADC与AEC中，ADAEDACEACACACADCAEC(SAS)DAEC,DCCE,.DCBC,CEBC,CEBB,CEBAEC180,BD180.2、翻折法构造全等三角形例2如图2所示，已知ABC中，ACBC,ACB90,BD平分ABC,求证:ABBCCD。证明：: BD平分 ABC,将BCD沿BD翻折后，点C落在AB上的点E ,则有BE CE ,整理版在B

3、CD与BED中，BCBECBDEBDBDBDBCDBED(SAS)DEAACB90,CDDE,.已知ABC中，ACBC,ACB90,A45,EDAA45,DEEA,ABBEEABCCD。3、旋转法构造全等三角形例3如图3所示，已知点E、F分别在正方形ABCD的边BC与CD上，并且AF平分EAD,求证：BEDFAE。分析：本题要证的BE和DF不在同一条直线上，因而要设法将它们“组合”到一起。可将ADF绕点A旋转90到ABG,则ADF色ABG,BE=DF,从而将BEBG转化为线段GE,再进一步证明GEAE即可。证明略。4、延长法构造全等三角形例4如图4所示，在ABC中，ACB2B,BADDAC，求

4、证:ABACCD。分析：证明一条线段等于另两条线段之和，常用的方法是延长一条短线段使其等于长线段，再证明延长部分与另一短线段相等即可；或者在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下部分等于另一条短线段。本题可延长AC至E,使AEAB,构造ABD色AED,然后证明CECD,就可得ABACCD。5、截取法构造全等三角形例5如图5所示，在ABC中，边BC上的高为AD,又B2C,求证：CDABBD。分析：欲证明CDABBD,可以在CD上截取一线段等于BD,再证明另一线段等于AB。如果截取DEBD（如图所示），则ADE可认为而ADB沿AD翻折而来，从而只需证明CEAE即可。证明略。构造全等三角形解题的

5、技巧全等三角形是初中几何三角形中的一个重要内容，是初中生必须掌握的三角形两大知识点之一（全等和相似），在解决几何问题时，若能根据图形特征添加恰当的辅助线，构造出全等三角形，并利用全等图形的性质，可以使问题化难为易，出奇制胜，现举几例供大家参考。友情提示：证明三角形全等的方法有SASSSSAAS、ASA、HL（RtA）。一、见角平分线试折叠，构造全等三角形例1如图1,在ABO,AD平分/BAC,AB+BD=AC。求证：/B:/C=21o证法一：在线段AC上截取AE=AB,连接DE。在ABDffiAAED中，vAE=AB,/1=/2,AD=AD, AED=.ABDDE=DB,/B=/AEQvAB+

6、BD=AC,AE+DE=AG又;AE+CE=AC,；DE=CEZC=ZEDCo/AED=ZC+ZEDC,ZAED=2ZC,即/B=2ZCoZB:ZC=2:1o图1证法二：延长AB至UF,使BF=BD,连接DFZF=ZBDR./ABC=ZF+ZBDF,ZABC=2ZFoAB+BD=AC,；AB+BF=AC,即AF=ACo在4人口5和4ADC中，vAF=AC,Z1=Z2,AD=AD,ADC.ADF./F=ZCo又./ABC=2/F,/ABC=2/C,即/ABC:/C=2:1。图2点评：见到角平分线时，既可把ABDD折叠变成AED,也可把ACDAD折叠变成AFD,利用全等三角形的性质，可使问题得以解

7、决。练习：如图3,ABC中，AN平分/BAC,CNJAN于点N,M为BC中点，若AC=6,AB=10,求MN的长。图3ADN，提示：延长CN交于AB于点D贝必ACNAD=AC=&又AB=10,贝UBD=4o可证为乙BCD的中位线点评：本题相当于把ACNAN折叠成AND二、见中点“倍长”线段，构造全等三角形例2如图4,AD为乙ABC中BC上的中线，BF分别交AC、AD于点F、E,且AF=EF,求证：BE=AC。整理版图4证明：延长AD至ijG,使DG=AD,连接BGVAD为BC上的中线，BD=CD,在ACDffiAGBD中， GBDvAD=DG/ADC=/BDGBD=CD,ACDAC=BG/CA

8、D=/GovAF=EF,/CAD=/AEF0/G=/AEF=/BEGBE=BG,vAC=BGBE=ACo整理版点评：见中线AD,将其延长一倍，构造GBD则ACDGBD。整理版例3如图5，两个全等的含有点在同一直线上，连接BD,角的三角极ADE和ABC如图放置，E、A、CBD中点M,连接ME、MC试判断EMC勺形状，并说明理由。解析：EM等腰直角三角形。理由：分别延长CM、ED,使其相交于点N,DNM。可证BCM则BC=DN，CM=NM。由于DEAACB,则DE=AC，AE=BC，DE+DN=AC+AE即EN=EC，则4ENC为等腰直角三角形。vCM=NMEMICN,则可知EM等腰直角三角形。注

9、：本题也可取EC的中点N,连接MN,利用梯形中位线定理来证明亦可连接AM，利用角的度数来证明。练习1：如图6，在平行四边形ABCD中，E为AD中点，连接BE、CE，BEC=6求证：（1）BE平分/ABCABCE 的面积。若EC=4,且提示：见图中所加辅助线，证4ABEADFB练习2:ABC中，AC=5,中线AD=7,则AB的取值范围为多少？注：延长AD至ijE,使DE=AD,连接BE。则BDEzCDABE=AC=5,DE=AD=7。在ABE中，BE=5,AE=14。利用三角形三边关系可求线段AB的取值范围为：9AB19。三、构造全等三角形，证线段的和差关系例4如图7,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且/1=/2图7求证：BE+DF=AE。证明：延长CB至ijG,使BG=DF,连接AG在4人86和4ADF中，vAB=AD,/ABG=ZD= .ABGADR ./G=ZAFD,/4=/1。/1=/2,/4=/2。vAB/CD,/AFD=/2+/3=/4+/3=/GAE又./G=/AFD,/G=/GAEAE=GEvEG=BE+BG=BE+DFBE+DF=AE0从以上几例可以看出，全等三角形在证明中具有出奇