第02章 静电场(1)

1、第二章第二章 静电场静电场 本章重点：本章重点：静电场方程、边界条件和介质的电特性。根静电场方程、边界条件和介质的电特性。根据第一章所讲解的高斯定理和斯托克斯定理如何由积分形式据第一章所讲解的高斯定理和斯托克斯定理如何由积分形式的静电场方程导出微分形式的静电场（散度和旋度）方程，的静电场方程导出微分形式的静电场（散度和旋度）方程，散度和旋度描述了静电场的微分（点）特性。散度和旋度描述了静电场的微分（点）特性。 利用利用亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理，直接导出真空中电场强度与电荷之，直接导出真空中电场强度与电荷之间的关系。通过例题，总结归纳出根据电荷分布计算电场强间的关系。通过例题，总结归纳出根据电荷

2、分布计算电场强度的三种方法。度的三种方法。 本章习题：本章习题： 2-7、2-9、2-17、2-19、2-20 对于介质的电特性，要特别注意均匀和非均匀、线性和非对于介质的电特性，要特别注意均匀和非均匀、线性和非线性、各向同性和各向异性等概念。对于介质中的静电场方程，线性、各向同性和各向异性等概念。对于介质中的静电场方程，电通密度（电位移矢量）只与自由电荷有关。要知道由于微分电通密度（电位移矢量）只与自由电荷有关。要知道由于微分形式的静电场方程在边界上不成立，因而边界条件是由积分形形式的静电场方程在边界上不成立，因而边界条件是由积分形式的方程得到的。式的方程得到的。 有关静电场的能量和力，应掌

3、握计算能量的三种基本方有关静电场的能量和力，应掌握计算能量的三种基本方法，电场能量不符合叠加定理。熟悉常电荷系统、常电位系法，电场能量不符合叠加定理。熟悉常电荷系统、常电位系统、虚位移、广义力和广义坐标等概念，掌握利用虚位移概统、虚位移、广义力和广义坐标等概念，掌握利用虚位移概念计算电场力的方法。念计算电场力的方法。 本章具体内容本章具体内容2-1 电场强度电场强度2-2 真空中的静电场真空中的静电场2-3 电位电位2-4 介质极化介质极化2-5 介质中的静电场介质中的静电场2-6 静电场的边界条件静电场的边界条件2-7 电容电容2-8 电场能量电场能量2-9 电场力电场力2-10 静电场的应

4、用静电场的应用2-1 电场强度电场强度(V/m)FEq式中式中q 为试验电荷的电量，为试验电荷的电量，F 为电荷为电荷q 受到的作用力。受到的作用力。 电场强度电场强度通过任一曲面的通量称为通过任一曲面的通量称为电通电通，以以 表示表示, ,即即 SE dS 电场线：电场线：把一个测试电荷放入电场中，由于受电场力的作用，它会在电把一个测试电荷放入电场中，由于受电场力的作用，它会在电场中沿确定的轨迹移动，这个轨迹（或路线）就是场中沿确定的轨迹移动，这个轨迹（或路线）就是电场线电场线（也叫通量线）。（也叫通量线）。 电场线实际上并不存在，引进此概念后，可以用图示的方法形象地来表电场线实际上并不存在

5、，引进此概念后，可以用图示的方法形象地来表示电场的存在情形。示电场的存在情形。电场对某点单位电场对某点单位正正电荷的作用力称为该点的电荷的作用力称为该点的电场强度电场强度，以以 表示表示。 Ed0El电场线电场线方程方程用电场线围用电场线围成成电场管电场管带电平行板带电平行板 负电荷负电荷 正电荷正电荷 几种典型的电场线分布几种典型的电场线分布由此可见，电场线的疏密程度可以显示电场强度的大小。由此可见，电场线的疏密程度可以显示电场强度的大小。 2-2 真空中的静电场真空中的静电场 物理实验表明物理实验表明，真空中，真空中静电场静电场的电场强度的电场强度E 满足下列两个积分形式的方程满足下列两个

6、积分形式的方程 d0Ell式中式中0 为真空介电常数。为真空介电常数。左式称为左式称为高斯定理高斯定理，它表明真空中静电场的电场强度通过任一，它表明真空中静电场的电场强度通过任一封闭封闭曲面的电曲面的电通等于该封闭曲面所包围的电量与真空介电常数之比。右式表明，真空中静通等于该封闭曲面所包围的电量与真空介电常数之比。右式表明，真空中静电场的电场强度沿电场的电场强度沿任一任一条闭合曲线的环量为零。条闭合曲线的环量为零。F/m)(10361m)/F(10854187817. 89120 根据根据亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理，无限空间的矢量场可由其散度和旋度唯一确定。静，无限空间的矢量场可由其散度和旋度唯

7、一确定。静电场是矢量场，矢量场的散度及旋度是研究矢量场特性的首要问题。电场是矢量场，矢量场的散度及旋度是研究矢量场特性的首要问题。 0 qE dSS根据上面两式可以求出电场强度的根据上面两式可以求出电场强度的散度散度及及旋度旋度，即即0E0E左式表明，真空中静电场的电场强度在某左式表明，真空中静电场的电场强度在某点点的散度等于该点的的散度等于该点的电电荷体密度荷体密度与与真空介电常数真空介电常数之比之比。右式表明，。右式表明，真空中静电场的电场真空中静电场的电场强度的旋度强度的旋度处处处处为零为零。由此可见，。由此可见，真空中静电场是真空中静电场是有散无旋有散无旋场。场。 EA 1( )( )

8、 d41( )( ) d4VVE rrVrrE rA rVrr |式中式中xPzyr0Vd)(rrrr 已知静电场的电场强度的散度及旋度以后，根据已知静电场的电场强度的散度及旋度以后，根据亥姆霍兹定亥姆霍兹定理理，电场强度，电场强度 应为应为 E 01( )( )d4VrrVrr|( )0A r 将前述结果代入，求得将前述结果代入，求得E 因此因此 标量函数标量函数 称为称为电位电位。因此，上式表明真空中静电场在某点的电场。因此，上式表明真空中静电场在某点的电场强度等于该点电位梯度的强度等于该点电位梯度的负负值。值。E 通常，电位以小写希腊字母通常，电位以小写希腊字母 表示，上式应写为表示，上

9、式应写为将电位表达式代入，求得电场强度与电荷密度的关系为将电位表达式代入，求得电场强度与电荷密度的关系为30( )()( )d4VrrrE rVrr 若电荷分布在一个有限的表面上，或者分布在一个有限的线段内，那么若电荷分布在一个有限的表面上，或者分布在一个有限的线段内，那么可以类推获知此时电位及电场强度与电荷的可以类推获知此时电位及电场强度与电荷的面密度面密度 S 及及线密度线密度l 的关系分别的关系分别为为 0( )1( )d4|SSrrSrr|3 0( )()1( )d4|SSrrrE rSrr|0( )1( )d4lrrlrrl|3 0( )()1( )d4|llrrrE rlrr| 无

10、论电荷作何种分布，电位及电场强度均为电荷量的一次函数，因此无论电荷作何种分布，电位及电场强度均为电荷量的一次函数，因此计算电位或电场强度均可利用计算电位或电场强度均可利用叠加定理叠加定理。 对于某些静电场问题，可以直接利用高斯定律的积分形式求出电场强度。对于某些静电场问题，可以直接利用高斯定律的积分形式求出电场强度。但要找到一个曲面，其上各点的电场强度的分布特性已知，具有这种特性的但要找到一个曲面，其上各点的电场强度的分布特性已知，具有这种特性的曲面叫曲面叫高斯面高斯面。这种情况只有对某些结构特殊的静电场问题才可行。因此直。这种情况只有对某些结构特殊的静电场问题才可行。因此直接利用高斯定理求解

11、静电场问题只适用于某些特殊的场分布。接利用高斯定理求解静电场问题只适用于某些特殊的场分布。（1 1）高斯定理中的电量高斯定理中的电量 q 应理解为封闭面应理解为封闭面 S 所包围的全部正负电所包围的全部正负电荷的总和。荷的总和。 静电场特性的进一步认识：静电场特性的进一步认识：（2 2）静电场的电场线是不可能闭合的，而且也不可能相交。静电场的电场线是不可能闭合的，而且也不可能相交。（4）已知电荷分布的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度，或已知电荷分布的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度，或者可以通过电位求出电场强度，或者直接根据电荷分布计算电场强度者可以通过电位求出电场强度，或者直接根据电

12、荷分布计算电场强度等三种计算静电场的方法。等三种计算静电场的方法。 （3 3）任意两点之间电场强度任意两点之间电场强度 的的线积分与路径无关。真空中的静电线积分与路径无关。真空中的静电场和重力场一样，它是一种场和重力场一样，它是一种保守场保守场。 E 自由空间中的自由空间中的静电场是保守场静电场是保守场。 自由空间中静电场的电场强度的环量处处为零，因此其自由空间中静电场的电场强度的环量处处为零，因此其电场线是不可能闭合电场线是不可能闭合的，否则沿一条闭合电场线的电场强度的，否则沿一条闭合电场线的电场强度的线积分会因电场强度的线积分会因电场强度 与线元与线元 的方向处处一致而使环量的方向处处一致

13、而使环量不为零。由此可以证明，不为零。由此可以证明，任意两点之间电场强度的线积分与任意两点之间电场强度的线积分与路径无关路径无关。Edl例例1 计算点电荷的电场强度。计算点电荷的电场强度。 点电荷点电荷就是指体积为就是指体积为零零，但具有一定电量的电荷。由于点电荷，但具有一定电量的电荷。由于点电荷的结构具有的结构具有球对称球对称特点，因此若点电荷位于球坐标的原点，它产生特点，因此若点电荷位于球坐标的原点，它产生的电场强度一定与球坐标的方位角及无关。的电场强度一定与球坐标的方位角及无关。 取中心位于点电荷的球面为取中心位于点电荷的球面为高斯面高斯面。若点电荷为正电荷，球面。若点电荷为正电荷，球面

14、上各点的电场强度方向与球面的外法线方向一致。利用高斯定律上各点的电场强度方向与球面的外法线方向一致。利用高斯定律 0dSqES上式左端积分为上式左端积分为 2n d dd4SSSESE eSE Sr E得得204rqEr204qEer或或 也可通过电位计算点电荷产生的电场强度。当点电荷位于坐标原也可通过电位计算点电荷产生的电场强度。当点电荷位于坐标原点时，点时， 。那么点电荷的电位为。那么点电荷的电位为|rrr0( )4qrr求得电场强度求得电场强度 E 为为 22 00( )d44rrVr eqEVerr 若直接根据电场强度公式（若直接根据电场强度公式（2-2-14），同样求得电场强度），同

15、样求得电场强度E为为 230001444rqqqrEerrr 例例2 计算电偶极子的电场强度。计算电偶极子的电场强度。 由前述电位和电场强度的计算公式可由前述电位和电场强度的计算公式可见，无论电荷何种分布，电位及电场强度见，无论电荷何种分布，电位及电场强度均与电量的一次方成正比。因此，可以利均与电量的一次方成正比。因此，可以利用叠加原理计算多种分布电荷产生的电位用叠加原理计算多种分布电荷产生的电位和电场强度。那么，电偶极子产生的电位和电场强度。那么，电偶极子产生的电位应为应为 rrrrqrqrq000444若观察距离远大于两电荷的间距若观察距离远大于两电荷的间距 l ，则可认为，则可认为 ，

16、与与 平行，则平行，则rererecoslrr2cos2cos2rlrlrrrx-q+qzylrr-r+Opql2200cos()44rqqll err求得求得2200cos44rp eprr 那么电偶极子产生的电位为那么电偶极子产生的电位为 330011cossinsin24rrppEeeeeerrrrr E 利用关系式利用关系式 ，求得电偶极子的电场强度为，求得电偶极子的电场强度为式中式中l 的方向规定的方向规定由负电荷指向正电荷由负电荷指向正电荷。通常定义乘积。通常定义乘积 为电偶极子为电偶极子的的电矩电矩，以，以 表示，即表示，即pql 上述结果表明，上述结果表明，电偶极子电偶极子的电

17、位与距离平方成反比，电场强度的的电位与距离平方成反比，电场强度的大小与距离的三次方成反比。而且两者均与方位角大小与距离的三次方成反比。而且两者均与方位角 有关。这些特点有关。这些特点与与点电荷点电荷显著不同。下图绘出了电偶极子的电场线和等位线的分布。显著不同。下图绘出了电偶极子的电场线和等位线的分布。 例例3 设半径为设半径为a，电荷体密度为，电荷体密度为 的无限长圆柱带电体位的无限长圆柱带电体位于真空，计算该带电圆柱体内外的电场强度。于真空，计算该带电圆柱体内外的电场强度。 xzyaLS1 选取圆柱坐标系，令选取圆柱坐标系，令 z 轴为圆柱的轴线。轴为圆柱的轴线。由于圆柱是无限长的，对于任一

18、由于圆柱是无限长的，对于任一 z 值，上值，上下均匀无限长，因此场量与下均匀无限长，因此场量与 z 坐标无关。对坐标无关。对于任一于任一 z 为常数的平面，上下是对称的，因为常数的平面，上下是对称的，因此电场强度一定垂直于此电场强度一定垂直于z 轴，且与径向坐标轴，且与径向坐标 r 一致。再考虑到圆柱结构具有一致。再考虑到圆柱结构具有旋转对称旋转对称的特的特点，场强一定与角度点，场强一定与角度 无关。无关。 取半径为取半径为 r ，长度为，长度为 L 的圆柱面与其上下端面构成高斯面。应用的圆柱面与其上下端面构成高斯面。应用高斯定律高斯定律 0dSqES 因电场强度方向处处与圆柱侧面因电场强度方

19、向处处与圆柱侧面S1的外法线方向一致，而与上的外法线方向一致，而与上下端面的外法线方向垂直，因此上式左端的面积分为下端面的外法线方向垂直，因此上式左端的面积分为11 ddd2SSSESE SESrLE当当 r a 时，则电量时，则电量q 为为 , , 求得电场强度为求得电场强度为 Laq2202raEer02lrEer 由此例可见，对于这种结构对称的无限长圆柱体分布电荷，利用由此例可见，对于这种结构对称的无限长圆柱体分布电荷，利用高斯定律计算其电场强度是十分简便的。若根据电荷分布直接积分计高斯定律计算其电场强度是十分简便的。若根据电荷分布直接积分计算电位或电场强度，显然不易。算电位或电场强度，

20、显然不易。 上式中上式中a2 可以认为是单位长度内的电量。那么，柱外电场可以看可以认为是单位长度内的电量。那么，柱外电场可以看作为位于圆柱轴上线密度为作为位于圆柱轴上线密度为 的线电荷产生的电场。由此我们的线电荷产生的电场。由此我们推出线密度为推出线密度为 的的无限长线电荷无限长线电荷的电场强度为的电场强度为2lalxzyr21r0rrzdzrzere),2,(zrP例例4 求长度为求长度为L，线密度为，线密度为 的均匀线分布电荷的电场强度。的均匀线分布电荷的电场强度。 l 令圆柱坐标系的令圆柱坐标系的 z 轴与线电荷的长轴与线电荷的长度方向一致，且中点为坐标原点。由于度方向一致，且中点为坐标

21、原点。由于结构旋转对称，场强与方位角结构旋转对称，场强与方位角 无关。无关。因为电场强度的方向无法判断，因为电场强度的方向无法判断，不能应不能应用高斯定律用高斯定律求解其电场强度。只好进行求解其电场强度。只好进行直接积分，计算其电位及电场强度。直接积分，计算其电位及电场强度。 因场量与因场量与无关，为了方便起见，可令观察点无关，为了方便起见，可令观察点P 位于位于yz平面，即平面，即 ，那么，那么 2 23 02d4LLrrElrrl考虑到考虑到2|csccsc(cossin)ctg=csc zrrrrrrreaezzrdldzrd |21 222 021210cossincsc d4csc

22、(sinsin)(coscos)4arzalzreeErreerl求得求得当长度当长度 L 时，时，1 0，2 ，则，则00242lrrEeerl此结果与此结果与例例3 导出的结果完全相同。导出的结果完全相同。 2-3 电位电位 静电场静电场中某点的电位，其物理意义是中某点的电位，其物理意义是单位正电荷单位正电荷在在电场力电场力的作的作用下，自用下，自该点该点沿沿任一条任一条路径移至路径移至无限远处无限远处过程中电场力作的过程中电场力作的功功。 注意，此处电位实际上是该点与无限远处之间的电位差，或者注意，此处电位实际上是该点与无限远处之间的电位差，或者说是以说是以无限远无限远处作为处作为参考点参考点的电位。原则上，可以任取一点作为电的电位。原则上，可以任取一点作为电位参考点。显然，电位的参考点不同，某点电位的值也不同。但是位参考点。显然，电位的参考点不同，某点电位的值也不同。但是任意两点之间的电位差与电位参考点无关任意两点之间的电位差与电位参考点无关，因此，因此电位参考点的选择电位参考点的选择不会影响电场强度的值不会影响电场强度的值。当。当电荷分布在有限区域电荷分布在有限区域时，通常选择无限时，通常选择无限远处作为电位参考点，因为此时