湖南省2021届高三联考联合体12月份联考数学试题(含答案解析)

1、高三数学试卷2020.12考生注意：1 .本试卷分第I卷（选推题）和笫|卷（非选择超）两部分.共150分.考武时间120分仲.2 .请将各题答案填写在答题卡上.3 .本试卷主要考试内容：解答题按新高考范围，小题只考集合函数导数.三角函数.向 量.不等式敦列，立体几何.一、选择题:本大题共8小题，每小题3分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.1 .已知集合人=（川工一 1VO.B=工|/一2“-820）,则人（18）=A. 工| 2OV1R （川一4V.Y 1C. 2） D. 42 .按K为2的iE四面体的表面枳是A.JIB. 273C.3&D. 1 6【高

2、三数学试卷第2页(共4页)3 .已知函数/（“）=；二若/（G=2则 a = A. 2B, 1C.2 或一 1D.1 或一 14 .明初早期,郑和七下西洋过程中,将中国古代天体测质方W版*面所取得的成就创造性地应用于航海形成了一套先进奈片',航海技术一“过洋奉星术”,前单地晚就是通过观测不S同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测ht星辰六力在海面以上的高度来判断方位.其采用的主要工具是牵星板，由12块正方形木板组成最小的一块边长约. 限到京星板的不陶7 彳平府 2厘米（称一指）木板的长度从小到大依次成等差数列.最大的边长约24厘米（称十二指）.观测时.格木板立起一手次在木板.手部伸

3、直,眼瞄到木板的距离大约为72厘米,便冷星板 与海平而垂3让板的下缘与海平面16合,上边缘对着所观测的星辰,依高低不同替换、调第木板当被测星辰落在木板上边缘时所用的是凡指板观测的星辰离海平面的高度就是几指. 然后就可以推打出船在海中的地理纬度,如图所示,若在一次观测中所用的牵星板为六指 板，则tan 2a =l).bz>ac5 .已知。6八下列不等式不一定成立的是C. ab+r >ac+bcIX6 .在平行四边形A3CD中.点E.F分别为线段8C.A/3的中点.直线AE与直线DF交于点几7 .已知等差数列缶“)和付力的附项和分别为和丁“堂=笔渭则他得言为此数的正 枝数的个数是“A.

4、 3B.4C.5D.6&已知函数/(1)是定义在R上的奇函数.式导函数为/(.，)“财任期实数.r都行/(z) +，(力> 1,则不等式e7(.r)- I的解集为A. (-00.0)K (0,4-oo)C.(-8.1)IX (h+oo)二、选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下列函数中是奇函数，且值域为R的有A./Cr)=B/Q)=h十;C. /(.r) =j"4-sin xI). fx')=x r'10,设数列a”的前项和为忖M=1 ,且2

5、s” = %”+， ,则A.m = -1B. (%)是等差数列C.a.=3"TD.S" =(i11 .设函数/行)=3:.则下列结论正确的行A./(.r)的图象关于原点对称B./Gz+D的图象关于五线忆=-1对称C, /”)>0D/(I)/12 .如图，在正方体A8CD-在BCD1中，点E在梭上旦2DE= EDI ,F是线段B国上一动点网下列结论正确的有A. EF1.ACB,存在一点F,使得八E/GFC.三棱惟n-AEF的体积与点F的位址无关D.立级A儿与平面AEF所成角的正弦值的只小他为端国第n卷三、填空题:本大跑共4小题,每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的

6、横战上.13 .已例向母。=(，,3),b=(l, 2),且(a+b)J_b,则r=.14 .布三棱柱八3(：-4 中平面18/力人四边形八/"%人 是正方形.11 AH = BC.E 在梭AAi上旦AE=3A1E.则异面直纹AG与BE所成角的余弦值为.15 .已知心>0>0,旦,+壬=1 .则话+2+力的最小值是.a b16 .已知函数/。)=|4，-3|+2.若函数/工)=/(外丁一2m/1) +/一1宥4个零点，则"I 的取位范围也 .四.解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 .（10分）在递增的等比数列力中，的=

7、9 ,%+=30.1求数列i的通项公式；（2）若.=loga” 求数列（）的前n项和S.18 . （12 分）在c（cos A4-si 11 Al/jcsin I-l/cos Cj2b,t>n B+tan Ceos /3=>/2sin A 这三个条 件中任选一个补充在下而问!题中并作答.问题，在中.角A.B,C的对边分别为a已知cosABC的而枳是56,旦W.求力（的周长.注;如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.电（12分）随省社会经济的发展.人们生活水平的不断提高越来越多的人选择投资“黄金”作为理财手 段.下面随机抽取了 100名把黄金作为理财产品的投资人，根据他们的年龄

8、情况分为20, 30）130.40）,40.50八150.60）,6070五组得到如图所示的频率分布直方图.好本/组和0.0300.0250.0200.0183040506070 年龄（1估计把黄金作为理财产品的投资人年龄的中位数;（结果保用整数）（2）为了进一步了解该100名投资人投资黄金的具体额度情况.按照分层抽样的方法从年龄 在10,30）和160.70）的投资人中随机抽取了 5人，再从这5人中随机抽取3人进行调 6X表示这3人中年龄在40.50）的人数,求X的分布列及数学期里.20. （12 分）菱形ABCD的对角线AC与BD交于点E,川）=8. AC = 6,将ACD沿AC折到APA

9、C的位置,使得PD=4,如图所示.证明:P凡LAC（2）求平而PAB与平而PCD所成镜二面角的余弦值.21. （12 分）已知椭网。二+/=1（”>0）的左、右焦点分别为66点（1.亨）在砌。上旦PBB的面积为（1）求椭圆C的标准方程，（2）若椭圆C上存在八.3两点关于力:线1=少+1对称求，的取值范围.22. （12 分）已知函数人）=小一M-21的图象在点（0,1）处的切线方程为y= 1.（1）证明：/（外+31.（2）若工。是/殳）的极值点,且.ro <0,若） = / （七）旦4 <x. <0,证明/n（不+七+2）>ln 2+2j*o.【高三故学试卷 第

10、s页（其I页）】高三数学试卷参考答案1 .A 因为，3=8咨-2 或;1?4,所以 0=8-2<1<4.因为 A=E|o<l,所以 ACK %口)=川- 2 O<1,2 .D棱长为2的正四面体的表面积是4xJ»X2X/f=I=463.C4. A当心（）时,/（）=外一2=2.解得=2；当<0时./（）=/+1 = 2解得=一1,综上必=2或=一1.由题知六指为12厘米,则tan-12_ 19 _ 2tana _2X6。一元一至'则taQ花一丁丁1235-【高三数学试卷参考答案第1页（共5页）】5. D ac-b2 (AT6r) =a(c/)+6(

11、Z>c) = (<?/)(cb 因为 a>6>c,所以 q小>0.cAVO,所以(a 一）（l）V0,则a,+VM+仪,一定成立，排除A；因为儿且/ + >o,所以*一定成立,排除 B;因为萌十。2 一（四十庆）=伏。一.）十。（一）=（4一。）3一80,所以附十/水.十加一定成立，排除©；当 =3»=告,。=1时,>a；当a = 3,=+,c=l时行时,则而不一定成立.AP_ 2 |PE|-T-十八=1，解得笈=苒0 瓜1一人）=:,7. C因为“吟乜所以l舒.同理可得”=亲手唠=舒=畸三舒=6+*当-1,248,16时，皆为整数

12、，即满足条件的k的个数为5.8. B 设 g（i） = e*/（1）- 1,则 gx）=e*f （.T）+e”/“（«r）-e 因为 /Q、）+/（k>1 所以 /（G+e4/'（彳） ,即e"（"+e了'Q）-e>0故gQ ）在R上单调递增.因为/（力是定义在R上的奇函数,所以/（0）= 。，所以小。）=一1,不等式 建人父）>一1,即 g（）>g（o>,ji!ijx>o.9. AC由题意可得/（外=和/a）=y+sin之都是奇函数，且值域为乩/（3=+J是奇函数，但值域为 （8.-212,+8）./（1）=/

13、5是奇函数.但值域为（-8,0）50,+8）.10. ACD 当=1时,2$=2以=3+也 因为卬=1,所以加=一1则25=3即一L当 心2时,25,一】二341TT 所以 2%=2S2sLi = 3a”-2i 2）=3& - 3&-i ,即 a. = 3%t ,即上=3则数列一是首 4一1 1 项为1,公比为3的等比数列，故4=3"t，与=%.11. BD因为fl）=律言，所以/（一外=小需5=岛公=/（口，所以八外为偶函数，则/（外 的图象关于丁轴对称.故A错误.因为/（工）的图象关于），轴对称,所以/S+D的图象关于直线片=一1对 称，故B正确.当1=亨时,si

14、n、t= -1V0,所以i+sin1>0,则/（力V0故C错误.设 双力=2-sin 0）,则，Cr） = les,从而8（才）在。+8）上单调递增.因为g（0） = 0,所以以/）>0,即£>sin4所以i+sin ”2sin x.当 X)时,/+sin 70所以因为/Q)是偶函数，所以/() N I Sill工 乙乙故D正确.12. ABC如图，连接BD.易证AC_L平面BDEF.则AC±EF,故A正确.在A4, 上取一点H堆得AiH=2AH,连接EG，EH,HB.易证四边形场GEH为平 行四边形,则C】EBHCE=6 H.若BF=26F,易证四边形A

15、HB尸为平 行四边形，则AF匹H, A尸=5 "，从而AF/GE,八F = GE故四边形 川心下为平行四边形.于是人£。由,故R正确.设AB=a,三棱锥DiAEF 的体积与三棱锥FADE的体积相等则aef=V*”=3X:X等X aXa=W，即三棱键Dl -AEF的体积与正方体的棱长有关与点F的位置无 关,故C正确.以G为原点,建立如图所示的空间直角坐标系。】一/之,设八8=3则A(3,3,3),4(3,30),£(3,0,2),9(0,3”),从而而|=(0,0, 3),荏=(0,3, 1),普=(一3,0-3).设平面AEF的法向量 = Gt，wn),则1,n

16、A&=3jz=0,n A?=3j*+(z-3)z=0,3)，从而cos猛，=离；：) = -/:一, ,即宜线/VV与平面AEF所成角的正弦值为lA/li | |n|7(t-3)- + 10方品镉因为°q43,所以1。(L3)2 + 1。4所以喑7嗡锦4喑,故D 错误.1.1 1由题意可得。+6=(加+1/).因为(a+b)JJ，所以加+12=0,解得m=l.14 .奈 如图，取AC的四等分点F(点F靠近4),连接EEBF.易证AGEF,则/BE尸为异面直线AC与BE所成的角设A】8】=4,则BE=5.EF=/i .BF= 律.故 cosNBEF=祭. 2X5X731515

17、.16 因为上十多=1.所以2+=白儿所以H+2+6=2a+2a+6=4a+2/尸 a b(十+令(4。+26)=§+与+8>16,当且仅当a=2/=4时，等号成立.16 . (3,4) g(x) = E/(x)i 2"|/(“)+产1 = 0,即/()一(j+i)"(z)("i)=o,解得 /(x)=/j1 或/Cr)=m+L由“彳)的图象(图略何得解得3,<4.即帆的取值范闱是(3.4).仔=M=9.17 .解：由题意可得)如+=aq+ai(f=303 2分解得 ai=l,g=3. 4 分故小=。1/7=3“7. 5 分(2)由(1)可得

18、 4211=32八7 则 A = k>gM2斤=24-1, 7 分故2 = 1+3+5+21=(1+2=1)=2. 10 分18 .解:若选.因为 Ncos A+sin 八)=。,所以 sin C(cos 八+sin A) = sin 8. 1分又 A+B+C=tt所以 sinb=sin(A+C). 2分【高三数学试卷参考答案第2页(共5页)】所以 sin Ceos A+sin Csin A=sin Acos C+cos Asin C.即 sin Csin A=sin 4cos C. 3J)因为 sin AGO,所以 sin C=cos C,即 tan C=h 4分因为0VC4,所以。=

19、? 5分因为cos"，所以sin B=卷96分所以 sinA=sin(B+C)=>|"X孝+卷乂专=靖， 7 分所以 a z bz <=sin A : sin B : sin C=7 - 472 5 5.不妨设 a=7t,小=4727,c=5f 9 8 分则ABC的面积为看X7tX4历X亨=56,解得z=2 10分从而 a = 14,6=8-,c=10. 11 分故ABC的周长为a+6+c=14+8&+10=24+8& 12 分若选. 因为 csin B+6cos C=V?4所以 sin Csin B+sin Bcos C=-/2sin B9 1

20、 分因为 0<8<贯,所以 sin BW0,所以 sin C+cos C=j2 2 分所以。sin（C+/）=方，即 sin（C+彳）= 1. 3分因为0VCV,所以子VC+手V乎，所以C= 5分4444以下步骤同.若选，因为 sin B+tan Ceos B=y2sin A,所以 sin Bcos C+sin Ceos B=y2sin Acos C, 1分所以 sin(B+C)=y2sin Acos C. 2 分因为 A+B+C=R9所以 B+C=；rA所以 sin(B+C) =sin A=72sin Acos C 3 分因为0<A<w所以sin AWO所以cos C

21、=. 4分因为OCCVn,所以C=字5分以下步骤同.19 .解：（1）因为（0. 007+0.018）X10=0. 25Vo. 5X0.007+0. 0018+0. 030）X10=0, 55>0. 5. 1 分所以年龄的中位数在40,50）内.2分设中位数为小则号”X0.3+0. 25=0.5,解得咨48. 4分（2）由题意可知,100名投资人中,年龄在40,50）的有30名,年龄在60,70）的有20名,则利用分层抽样抽 取的5人中年龄在40,50）的有3名，在60,70）的有2名，6分则X的可能取值为1,2,3,?。=1）=晋=赤?（乂=2）=粤=«1,P（X=3）=矍=

22、* 9 分X的分布列为X12333|10|5I1010分 故 E（X） = 1X + 2X+3x/=51 12 分20. （1）证明：因为ABCD是菱形,所以AC_LBD. 1分则阻_AC.PE，AC 2 分因为BEU平面PBE.FEU平面?1犯9且BEnPE=E，所以AC，平面PBE. 3分因为PBU平面PbE,所以PB_LAC. 4分解:取DE的中点O,连接OP,取CD的中点F,连接OE因为8D=8,所以DE=PE=4.7因为PD=4,所以PD=PE,所以PO1DE. 5分/由（1）可知AC_L平面PBE,所以平面PBD_L平面ARCD则PO_L平面AB-/,/CD. 6 分/ /故以o为

23、坐标原点,以6的方向分别为轴的正方向.建立X/.L如图所示的空间直角坐标系（）-xyz.由题中数据可得?（一3一2.0）.3（0./A/一6,0）,（2（3,2,0）.。（0,2,0）,（0,0,2万），则屈=虎=（3,4,0，麻杰；'= （0,6e2y3）,DP=（0,-2,273）. 8分 T设平面PAB的法向量为例=（由，出e ）,Im 则1m 逆=3/i 4i =0f令 i=4,得 m=(4,3,3乃).诉=6»】+2偌句=0,设平面PCD的法向珏为=（工2，2，血），则In，10分 DC = 32 4y9 = 0 5"万P= -2 煲+2"22

24、= 0,设平面PAB与平面PCD所成的锐二面角为仇12分则 cos。= |= ,4X4+3X33皆点=驾篝/n |n1742+32 + (-373)2 X42+32 + (>/3)2J121.解：（1）由题意可羯叵=旦 1分2 亍/ =/一以解得 a = 2,b=l, 3 分故椭圆C的标准方程为手+：/ = 1. 4分设ACn，），夙央，火），线段AB的中点为MCr。，2）.因为直线卫=U+1过定点（1.0），所以（为一1产十底=（-1>+乂. 5分因为A,B在椭圆上,所以+乂 = 1孚+与=1,所以5 1户+ 1苧=5 1产+ 14，6分4444整理得至产 =5一双）5+勿- 2

25、）所以©+如=母，所以n=义. 7分40o因为点M在直线，=町什1上，所以劭=町用十1 ,则8分则一咚v4;V0或0<止咚，解得mV一专或第. 11分3 omJ，”333故加的取值范围为（一8,一）U（亨+8） 12分5322.证明：（1）因为/（力=y一/一2彳所以/（x）=-2x-2.则 /（0）=-2=0,解得 =2,故 /（%） = /一#一2r 2 分令 g（工）=/（I）+/=#2,则/（1）=2氏一2.由g'Cz）0得/1；由g'（/）0,得不1.gQ）在（-8,0）上单调递减，在（0,十8）上单谢递增，故gtr）？g（o）=l，即八力+XL 4分（2）由（1）可