直线上的相遇与追及问题

1、第一讲直线上的相遇与追及问题教学目的：1、学会行程的中，速度、时间、路程三个量的关系2、掌握相向、背向、同向等概念3、会运用追及和相遇解决简单行程问题基本知识点行程三个量的关系公式：路程二速度X时间；路程宁时间二速度；路程一速度二时间三个概念：相向而行：面对面而行（如图）。甲Y乙 AB同向而行：面朝的方向相同而行（如图）甲乙AB背向而行：背靠背方向，方向相反而行（如图）。Y甲相遇和追及问题1、相遇问题含义:两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。数量关系： 总路程=（甲速+乙速）x相遇时间相遇时间=总路程* （甲速+乙速）（甲速+乙速）二总路程一相遇时间2、追

2、及问题含义：两个运动物体在不同地点同时岀发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点乂不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快 些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这 类应用题就叫做追及问题。数量关系： 追及路程=（快速一慢速）X追及时间追及时间=追及路程* （快速一慢速）(快速一慢速)=追及路程一追及时间3、注意点： 在处理相遇与追及问题的时候，一定要注意公式的使用时二者发生关系那 一时刻时候所处的状态。 在行程问题里面所用的时间都是时间段，不是时间点(非常重要)。 无论在哪一类行程问题里面，只要是相遇，就与速度和有关，只要是追及, 就与速度差有关

3、。相遇例题：例1南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过 儿小时两船相遇？解392一 (28 + 21) =8 (小时)答：经过8小时两船相遇。例2小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米,小刘每秒钟跑3米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到 第二次相遇需多长时间？解“笫二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。因此总路程为400X2相遇时间=(400X2) 一 (5 + 3) =100 (秒)答：二人从出发到第二次相遇需100秒时间。例3甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行

4、，屮每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。解 “两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知 中骑得快，乙骑得慢，甲过了中点3千米，乙距中点3千米，就是说甲比乙多走 的路程是(3X2)千米，因此，相遇时间=(3X2) - (15-13) =3 (小时)两地距离=(15 + 13) X3 = 84 (千米)答：两地距离是84千米。追及例题：例1好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马儿天能追上劣马？解 (1)劣马先走12天能走多少千米？ 75X12=900 (千米)(2)好马儿天追上劣马？9004- (120-75)

5、 =20 (天)列成综合算式75X124- (120-75) =900*45 = 20 (天)答：好马20天能追上劣马。例2小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地 点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小壳时跑了 500米，求小亮的速 度是每秒多少米。解 小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200米，此时小亮跑了 (500 -200)米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑500米所用的时间。乂 知小明跑200米用40秒，则跑300米用40X (5004-200)秒，所以小亮的速 度是(500-200) 一 40X (5004-200) =3004-100 =

6、3 (米)答：小亮的速度是每秒3米。例3我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑，解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的 速度开始从乙地追击。已知中乙两地相距60千米，问解放军儿个小时可以追上 敌人？解 敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是（22 16）小时，这段时间敌人 逃跑的路程是10X （22-6）1千米，甲乙两地相距60千米。由此推知 追及时间=10X （22-6） +60 一 （30-10） =220*20 = 11 （小时） 答：解放军在11小时后可以追上敌人。例4一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米；一辆货车同时从乙站开往中

7、站，每小时行40千米，两车在距两站中点16千米处相遇，求屮乙两站的 距离。解 这道题可以山相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货 车（16X2）千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间， 这个时间为16X24- （48-40） =4 （小时）所以两站间的距离为（48+40） X4 = 352 （千米）列成综合算式 （48+40） X 16X24- （4840） =88X4 = 352 （千米） 答：甲乙两站的距离是352千米。例5兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹 妹相遇。问

8、他们家离学校有多远？解 要求距离，速度已知，所以关键是求出相遇时间。从题中可知，在相同时 间（从出发到相遇）内哥哥比妹妹多走（180X2）米，这是因为哥哥比妹妹每分 钟多走（90 60）米，那么，二人从家出走到相遇所用时间为180X24- （90-60） =12 （分钟）家离学校的距离为90X12-180 = 900 （米）答：家离学校有900米远。例6孙亮打算上课前5分钟到学校，他以每小时4千米的速度从家步行去学校，当他走了 1千米时，发现手表慢了 10分钟，因此立即跑步前进，到学 校恰好准时上课。后来算了一下，如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早 9分钟到学校。求孙亮跑步的速度。解 手

9、表慢了 10分钟，就等于晚出发10分钟，如果按原速走下去，就要迟到 （10-5）分钟，后段路程跑步恰准时到学校，说明后段路程跑比走少用了（10 5）分钟。如果从家一开始就跑步，可比步行少9分钟，由此可知，行1千米, 跑步比步行少用9- （10-5）分钟。所以步行1千米所用时间为1十9- （10-5） =0. 25 （小时）=15 （分钟）跑步1千米所用时间为15- 9- （10-5） =11 （分钟）跑步速度为每小时1 11 / 60 = 1X60 / 11 = 5.5 （千米）答：孙亮跑步速度为每小时5. 5千米。第二讲 环形跑道的相遇与追及教学U的：1、了解什么是环形跑道问题2、掌握环形跑

10、道上相遇与追及的特点 基本知识点1、环形跑道相遇问题：如上图，我们可以看到屮、乙两人背向而行会在圆周上一点相遇，相遇的 时候他们刚好走过一个圆周的周长，如果在进行多次相遇的时候，与第一次相遇 的情况一样，新的起点，再次相遇。重点：因此，圆周上的相遇告诉我们，每相遇一次，他们两个人的路程和为 一个圆周的周长。相遇儿次，就是儿个圆周的周长。山此，也可以建立等量关系, 来进行解题 公式：一个圆周的周长二（快速+慢速）X相遇时间2、环形跑道上的追及问题如上图，我们可以看到屮、乙两人同向而行，快的会再一次在圆周上追上 慢的，当追上的时候，快的刚好比慢的多走一个圆周的周长，如果在进行多次追 及的时候，与第

11、一次相遇的情况一样，新的起点，再次追及。重点：因此，圆周上的追及告诉我们，每追及一次，快的就应该比慢的多走 一个圆周的周长。追及儿次，就是儿个圆周的周长。由此，也可以建立等量关系, 来进行解题公式：一个圆周的周长二(快速一慢速)X相遇时间1. 在400米的环形跑道上，A、B两点相距100米，。甲、乙两人分别从A、B 两点同时岀发，按照逆时针方向跑步，屮每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑 100米，都要停10秒钟。那么，甲追上乙需要的时间是多少秒？答案：假设没有休息 那么100/ (54) =100秒钟 在100/5二20秒 100/20-1=4 (次)100+4*10=140 秒2小明在360

12、米的环形跑道上跑一圈，已知他前半时间每秒跑5米，后半时 间每秒跑4米，为他后半路程用了多少时间？答案：x 4二(360-x) 4-5X=160 (3604-2-160) 一5 + 160一4 = 44 分3. 林琳在450吗长的环形跑道上跑一圈，已知她前一半时间每秒跑5米，后 一半时间每秒跑4米，那么她的后一半路程跑了多少秒答案：设总时间为X,则前一半的时间为X/2,后一半时间同样为X/2X/2*5+X/2*4=360X 二 80总共跑了 80秒前40秒每秒跑5米，40秒后跑了 200米后40秒每秒跑4米，40秒后跑了 160米后一半的路程为360/2=180米后一半的路程用的时间为(200-

13、180) /5+40二44秒4. 小君在360米长的环形跑道上跑一圈。已知他前一半时间每秒跑5米，后 一半时间每秒跑4米。那么小君后一半路程用了多少秒？答案:设时间X秒5X=360-4X 9X=360 X=40后一半时间的路程=40*4=160 米后一半路程二360/2二180米后一半路程用每秒跑5米路程=180-160=20米后 一半路程用每秒跑5米时间=20/5=4秒 后一半路程时间=4+40=44秒 答：后一半 路程用了 44秒5. 小明在420米长的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑8米， 后一半时间每秒跑6米.求他后一半路程用了多少时间？答案：设总用时X秒。前一半时间和后一半

14、时间都是X/2。然后前一半跑 8*(X/2)米，后一半跑6*(X/2)米，总共加起来等于420米。所以列下方程 8* (X/2)+6* (X/2)二420.解得X二60。所以后一半跑了 30秒。乂因为后一半为6M/S, 所以后一半跑了 6*30=180Mo6. 二人沿一周长400米的环形跑道均速前进，甲行一圈4分钟，乙行一圈7 分钟，他们同时同地同向出发，屮走10圈，改反向岀发，每次甲追上乙或迎面 相遇时二人都要击掌。问第十五次击掌时，甲走多长时间乙走多少路程？答案：前10圈屮跑一圈击掌一次，即10下此时已跑了 5+5/7圈；后面2 人跑了 2/7时击掌一次，然后2人共一圈击掌1次 耗时(4+

15、2/7)/(1/4+1/7) =30/7* (11/28) =165/98；甲共总走了 40+165/98 H 已走了 (40+165/98) * (400/7) M第三讲多人相遇与追及问题教学目的：1、了解多人相遇与追及的解题技巧。2、会运用一些其他应用题手段来解决问题。基本知识点多人相遇与追及问题，与之前我们所接触的行程问题有所不同，因为它是三 个人或者三个人以上的行程问题，这样发现多了很多关系，整体处理起来就比较 难以入手。解决技巧：数学思想就是把复杂问题简单化，因此，我们可以把多人的看成是两 个人两个人的行程关系。对于行程关系，我们前面已经说过了，除了有相遇与追及之外，有时还会岀现，

16、超越与背向而行产生距离。超越的关系：路程公式：（快速一慢速）X超越的时间二拉开的距离 会发现，超越与追及的公式一样，因此可以把它们归为一类。背向而行产生距离：乙甲1公式： .会发现 AB 它们归为一类。例题解1、从屮市到乙市有一条公路，它分为三段。在第一段上，汽车速度是每小时40 千米，在第二段上，汽车速度是每小时90千米，在第三段上，汽车速度是每小 时50千米。已知第一段公路的长恰好是第三段的2倍。现有两辆汽车分别从屮、 乙两市同时岀发，相向而行，1小时20分后，在第二段的1/3处（从甲到乙方 向的1/3处）相遇。问：中、乙相距多少千米？2、当两只小狗刚走完铁桥长的1/3时，一列火车从后面开

17、来，一只狗向后 跑，跑到桥头B时，火车刚好到达B：另一只狗向前跑，跑到桥头A时，火车也 正好跑到A,两只小狗的速度是每秒6米，问火车的速度是多少？3、小明沿着向上移动的自动扶梯从顶向下走到底，他走了 150级，他的同 学小刚沿着自动扶梯从底向上走到顶，走了 75级，如果小明行走的速度是小刚 的3倍，那么可以看到的自动抚梯的级数是多少？4、一辆车从甲地开往乙地，如果把车速提高20%,可以比原定时间提前一 小时到达；如果以原速行驶120千米后，再将原速提高25%,则可提前40分钟 到达，求甲乙两地相距多少千米？5、一只狗追赶一只兔子，狗跳跃6次的时间，兔只能跳跃5次，狗跳跃4 次的距离和兔跳跃7次

18、的距离相同，兔跑了35千米以后狗开始在后面追，兔乂 跑了多远被狗追上。6、三种动物赛跑，狐狸的速度是兔子的4/5,兔子的速度是松鼠的2倍， 一分钟松鼠比狐狸少跑12米，问：半分钟兔子比狐狸多跑儿米？7、A、B分别以每小时160千米和20千米的速度，在长为210千米的环形 公路上同时、同地、同向出发。每当A车追上B车一次，A车减速1/3而B车增 速1/3问：在两车速度刚好相等的时候，它们分别行驶了多少千米？8、A、B两地相距125千米，屮、乙两人骑自行车分别从A、B两地同时岀 发，相向而行。丙骑摩托车每小时63千米。与中同时从A出发，在甲乙二人间 穿梭（与乙相遇立即返回，与甲相遇也立即返回），若中车速为每小时9千米， 且当丙第二次到屮处时（屮、丙同时岀发的那一次为丙第0次回到屮处），屮、 乙两人相距45千米，问：当丙第四次回到甲处时，甲乙相距多少米？ 第八讲多次相遇与追及问题教学目的：1、了解多次相遇与追及问题的特点。2、掌握多次相遇与追及问题与全程数的关系3、会用比例解多次相遇与追及问