2011年翰林学校四边形练习试题及答案

1、 如图，AABC不动，将 EDC绕点C旋转到Z BCE=45时，试判断四边形 ACDM是什么四边形? 并证明你的结论.证明：在厶ACB和厶ECD中解：（1）（5分）四边形提高测试1、如图6,在正方形 ABCD中，G是BC上的任意一点，（G与B、C两点不重合），E、F是AG上的两点 （E、F与A、G两点不重合），若AF=BF+EF，/仁/ 2,请判断线段DE与BF有怎样的位置关系，并证 明你的结论.解：根据题目条件可判断 DE/BF.证明如下：丁四边形ABCD是正方形，/ AB=AD，/ BAF+ / 2=90 ° ./ AF=AE+EF，又 AF=BF+EF/ AE=BFvZ 1 =

2、 / 2，.山 ABF DAE ( SAS)/Z AFB= Z DEA，Z BAF= Z ADE./Z ADE+ Z 2=90 °，/Z AED= Z BFA=90 ° ./ DE/BF.2、如图(1)，在厶 ABCH EDC中, AC= CE= CB= CD Z ACB=Z ECD= 90 '，AB与 CE交于 F，ED与 AB BC分别交于M H.(1)求证:CF =CH;vZ ACBZ ECD=90/Z 1 + Z ECBZ 2+Z ECB,/Z 仁Z 2又 v AC=CE=CB=CD,'/Z A=Z D=45/ ACBA ECD,/ CF=CH（5分

3、）答：四边形ACDM!菱形vZ ACBZ ECD=90 , Z BCE=45/Z 仁 45 , Z 2=45又VZ E=Z B=45 ,/Z 1 = Z E, Z 2=Z B/ AC/ MD, CD / AM ,/ ACD礎平行四边形又 v AC=CD, / ACDM!菱形3、在正方形 ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接 EB、ED .（1）求证： BEC DEC ;（2）延长BE交AD于F，当Z BED=120°时，求Z EFD的度数.答案：(1)证明：T四边形 ABCD是正方形/ BC= CD，/ ECB = Z ECD = 45°又 EC = EC 2 分

4、:. ABEA ADE 3 分(2 : ABEADE1：Z BEC=Z DEC =/ BED 4 分2vZ BED= 120°：/ BEC= 60°=/ AEF 5分：Z EFD = 60° +45 ° = 105° 6 分AG 上,4、如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG ,点E、F分别在 连接 BE、DF, Z 1 = Z 2, Z 3= Z 4.(1) 证明： ABE DAF ;(2) 若/ AGB=30，求 EF 的长.24题图解：(1)v四边形 ABCD是正方形，： AB=AD。在厶ABE和厶DAF

5、中，2 "1AB = DA二 4 =N3： ABE DAF。(2 )v四边形 ABCD是正方形，： Z 1 + Z 4=90°。 vZ 3=Z 4，: Z 1 + Z 3=900O：Z AFD=90 0。在正方形 ABCD 中，AD / BC，: Z 1 = Z AGB=30 0在 Rt ADF 中，Z AFD=900，AD=2，: AF= 3，DF =1。由(1)得 ABEADF o : AE=DF=1。： EF=AF-AE= .3-1BM绕5、如图，四边形 ABCD是正方形， ABE是等边三角形，M为对角线BD (不含B点)上任意一点,点B逆时针旋转60°得到

6、BN,连接EN AM CM.求证： AMBA ENE； 当M点在何处时，AM+ CM的值最小；当M点在何处时，AW BW CM的值最小，并说明理由; 当AW BW CM的最小值为.31时，求正方形的边长解：ABE是等边三角形，/ BA= BE,/ ABE= 60° .vZ MBN= 60°，/ MBN-Z ABN=Z ABE-Z ABN.即Z BMA=Z NBE.又 v MB= NB/ AMBA ENB( SAS . 5 分当M点落在BD的中点时，AM CM的值最小.如图，连接 CE当M点位于BD与CE的交点处时，AM BW CM的值最小.9分理由如下：连接 MN.由知，

7、AMBA ENB/ AM= EN.vZ MBN= 60°，MB= NB BMN是等边三角形./ BM= MN./ AM+ BM CM= EN+MN CM. 10 分根据“两点之间线段最短”，得EN+ MW CM= EC最短当M点位于BD与CE的交点处时，AM+ BM+ CM的值最小，即等于 EC的长.11分过E点作EF丄BC交CB的延长线于F， Z EBF= 90°- 60°= 30° .设正方形的边长为 x，_KU BF= £x，EF=-.2 2在 Rt EFC 中，v EF2 + FC= EC，(-)2 +( x + x) 2= . 31

8、. 12分2 2解得，x= .2 (舍去负值)正方形的边长为2 . 13分 6、已知：如图，在正方形 ABCDK点E、F分别在BC和CD±，AE = AF.(1)求证：BE = DF；(2)连接AC交EF于点0,延长0C至点M使0M= OA连接EM FM判断四边形 AEM是什么特殊 四边形？并证明你的结论.答案：证明：(1 )v四边形ABC是正方形，AB= AD / B = / D = 90°v AE = AF,二 Rt ABE 也 Rt ADF .BE= DF.(2)四边形AEMF是菱形.v四边形ABCD!正方形，:丄 BCA= / DCA= 45 ° , BC

9、 = DCv BE= DF,: BC-BE= DC- DF 即 CE =CF .: OE =OF .v OM= OA：四边形AEMF!平行四边形.v AE = AF,:平行四边形AEM是菱形.7、如图，一个等腰梯形的两条对角线互相垂直，且中位线长为l，求这个等腰梯形的高.【答案】过B作BG/ AC,交DC的延长线于G点.匚5*ij jij B I p i 11» - r b »在梯形ABCD中，AB / DC ,二四边形ABGC为平行四边形.CG= AB, BG = AC.v EF为梯形中位线，DG = DC + AB= 2 EF = 2 l .AC 丄 BD 且 AC=

10、BD .BG丄BD 且 BG= BD . BDG为等腰直角三角形.咼 BH = DG= l.28、如图，E是矩形ABCD的边AD上一点, 丄AD，垂足分别为F、G .求证：PF且BE= ED , P是对角线BD + PG= AB.PG上任意一点【提示】延长GP交BC于H，只要证PH【答案】v BE = DE，/ EBD = Z EDB .v 在矩形 ABCD 中，AD / BC，/ DBC = Z ADB，/ EBD = Z CBD . 延长GP交BC于H点.PG 丄 AD，PH 丄BC.v PF丄BE，P是/ EBC的平分线上.PF= PH .PF即可，所以只要证/ PBFv 四边形ABHG

11、中，/ A=Z ABH = Z BHG = Z HGA = 90 四边形ABHG为矩形，AB= GH= GP + PH = GP+ PF故 PF+ PG = AB .NE =1AB 二 AM .9已知：如图，以正方形 ABCD的对角线为边作菱形 求证：AE、AF把/ BAC三等分.AEFC ,B在FE的延长线上.【提示】证出/ CAE = 30°即可.【答案】连结BD，交AC于点0,作EG丄AC,垂足为G点. / 四边形AEFC为菱形，EF/ AC.GE= OB./ 四边形ABCD为正方形，0B 丄 AC，0B二 GE，11AE= AC， OB = BD = AC，221EG= AE

12、，2/ EAG= 30°./ BAE = 15°.在菱形AEFC中，AF平分/ EAC，1/ EAF = Z FAC =/ EAC= 15°2/ EAB = Z FAE = Z FAC .即AE、AF将/ BAC三等分.10、如图，已知 M、N两点在正方形 ABCD的对角线BD上移动，2 MCN为定角:，连结AM、AN,并延长分另U交 BC、CD于E、F两点，则2 CME 与2 CNF在M、N两点移动过程，它们的和是否有变化？证明你的结论.r.FJ J.FV.W m Vp邱i.【提示】BD为正方形ABCD的对称轴，/ 1 = 2 3，/ 2=2 4，用/ 1和2 2表示2 MCN以及2 EMC + 2 FNC.【答案】t BD为正方形ABCD的对称轴，/2 1 = 2 3，2 2=2 4，2 EMC =