2.3.2平面向量的坐标运算

1、平面向量的坐标运算教学目标:1、知识与技能（1）理解向量的坐标表示法，掌握平面向量与一对有序实数对应关系；（2）正确地用坐标表示向量，对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的 关系来用坐标表示；（3）掌握两向量的和、差，实数与向量积的坐标表示法。（4）掌握两向量平行时坐标表示的充要条件；能利用两向量平行的坐标表示解决有关 综合问题。2、过程与方法在教学过程中，通过学习向量的坐标表示，实现几何与代数的完美结合，使学生明白知识事物之间，事物之间的相互联系和相互转化。3、情感、态度与价值观通过用从特殊到一般的认知规律研究数学问题，拓宽学生的数学视野，崇尚数学精神， 培养学生审慎思维的习惯。通过学习，

2、培养学生独立思考、勇于创新的精神。二、教学重、难点重点：平面向量的坐标运算；难点：平面向量的坐标的有关运用；三、学法与教学用具学法：自主、合作、探究.教法：问题引领、主体参与、师生互动教具：多媒体、三角板四、教学设想（一）创设情境弓* 斗1. 平面向量的基本定理：a = rei qe2；2. 在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数（x, y）表示，那么，每一个向量可否也用 一对实数来表示？（二）探究新知1.向量的坐标表示的定义：（1）位置向量以原点O为起点的向量叫做 位置向量。1如图，以原点 0为起点的向量 oM对应的点M（4,3） ;反之，点M （4,3）对应以原点0为II起点的向量0M

3、。因此，向量的 0M坐标用点M的坐标（4,3）来表示。x0x(2)平面向量的坐标的定义对于向量，如图，当它的起点移至原点O时，终点的坐标(x, y)称为向量a的(直角)坐标。记做a =(x,y)x轴、y轴方向相同的单位向量a=xi+yj , ( xy R )，实数对(x,y)叫向量a的坐标，记作a = (x, y) a在x轴上的坐标，说明：(1)对于a，有且仅有一对实数(x, y)与之对应；(2) 相等的向量的坐标也相同；(3) i = (1,0) , j =(0,1), 0 = (0,0);(4) 从原点引出的向量OA的坐标(X,练习：如图，用基底i , j分别表示向量a、a 辛 2 j =

4、 (2,2);巳 2j =(-2,2);-耳 - j (-2, -2)； d =2i - 2j =(2, -2).分别选取与解：由图知：斗§ = -2i.叫向量a在y轴上的坐标。，j作为基底，对于任一向量其中x叫向量y)就是点A的坐标。y)Ox2平面向量的坐标运算：问题:彳已知a电为巴),b；%,*)，求a b , a-b 詁 解：a_ byi j) g y? j)X2)i (% y2)j即 a b .hXi X2,% y2 、:EaXIIF-Z' O* 1;JX/ ' *-I/并求出它们的坐标。同理：a -b 二(x1 -x2, yy2) 结论：两个向量和与差的坐标

5、分别等于这两个向量相应坐标的和与差3.向量的坐标计算公式：rr已知向量屮耳，且点A(Xi,yJ , B(X2,y2)，求AB的坐标.AB =OB OA=(X2, y2)一(花，) =(X2 -,丫2 - yj .OxoA(xi, yi)BX, y2)结论：(1) 一个向量的坐标等于表示匕的有向线段的终点坐标减去始点坐标;（2）两个向量相等的充要条件是这二个向量的坐标相等。4实数与向量的积的坐标:已知 a = (x, y)和实数，贝V a= (xi y j) = xi y j = ( x, y)结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。练习：呻已知 a =(2,1), b =

6、 (-3,4)，求a,a-b, 3a 4b的坐标.解:a p = (2,1)(-3,4) =(-1,5) ； a-b = (2,1) -(-3,4) = (5,-3)；3a 4b =3(2,1) 4(-3,4) =(-6,19) 寿=匕斗） , b=（j2,y2）, （ bM）,且 a/b ,.、弋 R,b 式0），二（%, yj =九化2）=（心2，九y2）.5.向量平行的坐标表示： 设a '则 a = - b（% =，x2，二 X2 -X2% = 0.y 二、y结论：向量平行（共线）的等价条件的两种表达形式： 2（2=0）= aj bC R,%=0）； a/b（b 二0）且设 a=

7、Jxi,yi）,匕=华22）二 x°2-X2yi=0 （ Xi,X2,yi,y2 R） 练习：已知 a -（4,2） , b=（6, y），且 a/b，求 y .解：a/b,. 4y -2 6 =0 . y =3 .（三）学以致用【例1】已知LI ABCD的三个顶点A, B,C的坐标分别为（-2,i）、（-1,3）、（3,4）,求顶点D 的坐标。解：设顶点 D的坐标为(x,y) .-斗口-(-2),3-1)= (1,2) , DC=(3-x,4-y), 由 AB 二 DC，得(1,2) =(3 - x,4 - y).1 =3-x2 = 4 - yx = 2y =2顶点【例2】（1）已

8、知a的方向与x轴的正向所成的角为D的坐标为（2, 2）.120，且,则a的坐标为(3,3 3),(-3,-3.3).4444 H 4(2)已知 a= (1, -2), b= (-3,1),c= (11, -7)，且 c= xayb,求 x , y .解：(2)由题意，(11,-7) =x(1,-2) y(-3,1)=(x-3y,-2x y),1i =x -3yx =2-7 = -2x yy = 一3【例3】已知A(_1,_1) , B(1,3) , C(2,5)，求证A、B、C三点共线.i证明： ABJ-1 H(2,4),AB/AC. 直线又 2 6 _3 4 =0 A , B , C三点共线

9、。忌=(2一(一1),5一(一1)=(3,6),AB、直线AC有公共点A ,【例4】解:已知 a = (2,3)，b = (-1,2)，若 ka -b 与 a - kb 平行，求 k . ka-b=k(2,3) 一(一1,2) =(2k 1,3k -2)a - kb = (2,3) - k(-1,2) = (2 k,3 - 2k) (2k 1)(3 -2k) (3k 2)(2 k) =0 , 7k2 =7，二 k »1.【例 5】已知 a=(2,-4)，b=(-1,3)，c=(6,5)，p 二 a，2b-c，则以 a，b 为基底, 求p.解：令 c = a，则(6,5)(6,5) =

10、(2W,-4'3),(2, 一4)(1,3).2'-6- ，一4 九 +3# =5空a7b w2 2【例 6】已知点 A(-1,-1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量 AB 与 CD 平行与直线CD吗？_解： AB =(1-(-1),3-(-型=(24)，CD =(2-1,7 -5) = (1,2)， 又J2'又AC AC与 A、B、C不共线，AB与CD不重合，所以，直线 AB与CD平行。(四)拓展研究平行吗？直线AB!-1 4=0， AB/CD ;二(1 -(-1),5 -(-1) = (2,6)，AB = (2,4)，2 4-2 6 = 0，AB不平

11、行，问题：如图，在OAB中，C为直线AB上一点，OC=贰"OB在面我们已研究过这个问题，结论是:OA OBOC =1 +人-1 ，则若设 0(0,0), A(x1, y2), B(x1, y2)，你能求出1.已知A(1,3), B(-2,0)，点P在线段AB的延长线上,7P 二3吕 ，求点P的坐标。2.已知向量AB二(4,3), AD = (-1,-2)，点A(-1,-2)。( 1)求线段BD中点M的坐标。(2)若点P(2, y)满足PB =：%BD(R)，求y与的值。(五) 巩固深化1.已知向量 I =(x 3,x2 -3x-4)与 AB 相等，其中 A(1,2)，B(3,2)，求 x ；2.已知向量 a =(1,2), b = (x,1), a 2b , v = 2a -b，且 uJv，求 x .T T T T3已知 A(2,4) , B(3,-1), C(-3,-4)，且 CM =3CA , CN =2CB，求点 M , N 的 坐标及向量MN的坐标；*斗斗卑4. 已知 a=(10,-4) , b = (3,1), c = (-2,3)，试用 b , c表示 a ；315. 设 a = (-,sin ： ), b = (cos 二,一)，“三(0,2 二)，且 a/b，求角二236.已知A, B,C三点的坐标分别是(-1,0),(3,