线性代数总复习

1、u行列式行列式u矩阵矩阵u线性方程组线性方程组u矩阵相似对角化矩阵相似对角化知识要点：知识要点：u行列式定义行列式定义u行列式性质行列式性质u行列式展开行列式展开u“Crammer”法则法则行列式定义：行列式定义：一、一、n级排列（逆序数、奇偶性）级排列（逆序数、奇偶性）二、二、n阶行列式的定义阶行列式的定义 nnnpppnnppppppaaaD2121)2121()1(级级排排列列 nnnnjijijijjjiiiaaa22112121)()() 1( 特别注意行列式各项的特征特别注意行列式各项的特征项的一项的一般形式般形式行列式的性质行列式的性质u换行（换列）反号换行（换列）反号u倍乘增倍

2、性倍乘增倍性u倍加不变性倍加不变性u转置不变性转置不变性u分拆原则，相加原则分拆原则，相加原则行列式的展开行列式的展开按行展开按行展开且且按列展开按列展开 ;0,;0,11jijiDAajijiDAajknkikkjnkki掌握：掌握：1、选取零元素较多的行（列）展开；、选取零元素较多的行（列）展开；2、将消元和展开结合起来，迅速降阶、将消元和展开结合起来，迅速降阶.行列式的计算（重点）行列式的计算（重点）常用方法常用方法：u三角化法三角化法u加边法加边法u归纳法归纳法u化为已知行列式（一些有固定形式的行列化为已知行列式（一些有固定形式的行列式，如：各行元素之和相等、三角形、爪型、式，如：各行

3、元素之和相等、三角形、爪型、“范德蒙范德蒙”行列式等）行列式等）Crammer法则法则 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111方程的个数未知数个数方程的个数未知数个数)., 2 , 1(njDDxjj若系数行列式不等于零，则方程组有唯一解若系数行列式不等于零，则方程组有唯一解特别注意方程组为齐次特别注意方程组为齐次的情况的情况u行列式计算行列式计算（重点）（重点）1、具体阶数行列式计算、具体阶数行列式计算2、较简单的、较简单的n阶行列式计算阶行列式计算u与行列式定义、性质有关的问题与行列式定义、性质有关的问题u需利用行列式进行判定

4、的问题需利用行列式进行判定的问题如：如：1、“Crammer”法则判定方程组的解法则判定方程组的解2、矩阵可逆性、矩阵可逆性3、向量组相关性（向量个数向量维数）、向量组相关性（向量个数向量维数）4、两个矩阵相似的必要条件、两个矩阵相似的必要条件知识要点：知识要点：u矩阵的基本定义和相关概念矩阵的基本定义和相关概念u矩阵的关系、运算和变换矩阵的关系、运算和变换u分块矩阵分块矩阵u可逆矩阵（分块矩阵求逆的方法）可逆矩阵（分块矩阵求逆的方法）u初等矩阵初等矩阵和初等变换，逆矩阵的求法和初等变换，逆矩阵的求法矩阵的基本定义和相关概念矩阵的基本定义和相关概念u矩阵的形状，行数，列数，方阵；矩阵的形状，行

5、数，列数，方阵；u常见的特殊矩阵：常见的特殊矩阵：行、列矩阵，零矩阵（非零矩阵），三行、列矩阵，零矩阵（非零矩阵），三角阵，对角阵，单位阵，数量阵，对称阵，角阵，对角阵，单位阵，数量阵，对称阵，反对称阵、正交阵等；反对称阵、正交阵等；u方阵的行列式方阵的行列式矩阵的关系、运算和变换矩阵的关系、运算和变换u矩阵的运算：矩阵的运算：1. 加法、减法、乘法、除法（乘于逆矩加法、减法、乘法、除法（乘于逆矩阵），乘方（只适用于方阵）特别注意矩阵运阵），乘方（只适用于方阵）特别注意矩阵运算中的反常情况算中的反常情况（交换律、消去律、和数运算（交换律、消去律、和数运算的区别与联系）的区别与联系）.2. 矩阵

6、的求逆运算矩阵的求逆运算.u矩阵的关系矩阵的关系 同型、相等、互逆；同型、相等、互逆；u矩阵的分块处理矩阵的分块处理1. 分块的合理性要求，保证运算可行；分块的合理性要求，保证运算可行；2. 分块运算原则：分块运算原则：“子块视如元素子块视如元素”、“大转小转大转小转”3. 一些特殊的分块矩阵一些特殊的分块矩阵（行（列）向量（行（列）向量组、准对角阵（其逆矩阵）、阶梯型矩阵）组、准对角阵（其逆矩阵）、阶梯型矩阵） 4. 特殊的分块矩阵特殊的分块矩阵求其逆矩阵求其逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵u伴随矩阵的定义及特性伴随矩阵的定义及特性EAAAAA *)()()()(TTnAAAAAAAA 1111u逆矩

7、阵的求法：逆矩阵的求法：1. 二阶矩阵用伴随矩阵法；二阶矩阵用伴随矩阵法；2. 三阶以上一般用初等变换法三阶以上一般用初等变换法.u证明矩阵可逆的常用思路：证明矩阵可逆的常用思路：1. 利用定义构造矩阵利用定义构造矩阵B，使得，使得ABE；2. 证明矩阵的行列式不等于零；证明矩阵的行列式不等于零；3. 证明方阵满秩；证明方阵满秩；u矩阵的基本运算及运算性质矩阵的基本运算及运算性质u较为简单的分快矩阵运算和求逆较为简单的分快矩阵运算和求逆u伴随矩阵、可逆矩阵伴随矩阵、可逆矩阵1、与伴随矩阵性质相关的问题、与伴随矩阵性质相关的问题2、矩阵可逆性的证明、矩阵可逆性的证明3、逆矩阵的求法（初等变换法）

8、，求简单的、逆矩阵的求法（初等变换法），求简单的矩阵方程矩阵方程4、初等矩阵的运算性质、初等矩阵的逆矩阵、初等矩阵的运算性质、初等矩阵的逆矩阵知识要点：知识要点：u向量的基本定义和相关概念向量的基本定义和相关概念u向量的线性关系向量的线性关系（1 1）一个向量和向量组的关系；）一个向量和向量组的关系；（2 2）向量组内部的关系；）向量组内部的关系；（3 3）向量组与向量组的关系）向量组与向量组的关系. .u向量组的秩、矩阵的秩向量组的秩、矩阵的秩重点要求的几项技能：重点要求的几项技能：u判定或证明向量组的线性相关性（行列式，秩，判定或证明向量组的线性相关性（行列式，秩，利用性质）利用性质）u求

9、向量组的秩、矩阵秩、极大线性无关组及线求向量组的秩、矩阵秩、极大线性无关组及线性表示性表示线性表示线性表示可被向量组可被向量组向量向量m ,21(*)22112222212111212111 nmnmnnmmmmbxaxaxabxaxaxabxaxaxa线性方程组线性方程组有解有解特别当表出向量组的特别当表出向量组的“向量个数向量维数向量个数向量维数”时，则有：时，则有：;0,21”向向量量组组唯唯一一表表出出可可被被“时时 n对增广矩阵进行初等行变换化阶梯对增广矩阵进行初等行变换化阶梯1、利用定义，特别注重线性无关判定的逻辑过程；、利用定义，特别注重线性无关判定的逻辑过程；2、利用判定方程组

10、（齐次线性方程组）、利用判定方程组（齐次线性方程组）,特别注特别注重一些特殊情形下的判定；重一些特殊情形下的判定；3、利用一些相关性质、利用一些相关性质.1、线性相关和线性表示的关系；、线性相关和线性表示的关系；2、线性相关、线性表示、极大线性无关组和向量、线性相关、线性表示、极大线性无关组和向量组秩的关系组秩的关系.3、线性表出（或等价）和向量组、线性表出（或等价）和向量组“大小大小”或或“秩秩”的关系的关系.4、向量组秩和矩阵秩的关系、向量组秩和矩阵秩的关系.5、方阵秩、行列式、可逆性、行（列）向量组相、方阵秩、行列式、可逆性、行（列）向量组相关性、线性方程组（齐次、非齐次）的解况关性、线

11、性方程组（齐次、非齐次）的解况.(*)000221122221211212111 mnmnnmmmmxaxaxaxaxaxaxaxaxa齐次线性方程组齐次线性方程组有非零解有非零解判定方程判定方程线线性性相相关关m ,21特别当向量组的特别当向量组的“向量个数向量维数向量个数向量维数”时，则有：时，则有：.0,;0,2121”向向量量组组线线性性相相关关“”向向量量组组线线性性无无关关“ nn当当向量维数向量维数向量个数向量个数”时，则有向量组必时，则有向量组必线性相关线性相关.,212121表表示示形形式式唯唯一一线线性性表表示示，且且必必可可由由线线性性相相关关，则则有有，线线性性无无关关

12、，而而若若向向量量组组定定理理：mmm 定理：定理： 向量组线性相关的充要条件是至少有一个向量向量组线性相关的充要条件是至少有一个向量可以被其余向量线性表出可以被其余向量线性表出.定理：定理： 向量组线性无关的充要条件是任何一个向量均向量组线性无关的充要条件是任何一个向量均不能被其余向量线性表出不能被其余向量线性表出.u“短短”向量组无关必有向量组无关必有“长长”向量组无关向量组无关u“长长”向量组相关必有向量组相关必有“短短”向量组相关向量组相关u “多多”向量组无关必有向量组无关必有“少少”向量组无关向量组无关u “少少”向量组相关必有向量组相关必有“多多”向量组相关向量组相关u“等价无关

13、组等价无关组”具有相同的具有相同的“多、少多、少”任何一个向量组都与其极大线性无关组任何一个向量组都与其极大线性无关组等价等价.一个向量组的极大线性无关组不唯一，一个向量组的极大线性无关组不唯一，且彼此等价，且含有相同个数的向量且彼此等价，且含有相同个数的向量（秩）（秩）.1、向量组线性无关、向量组线性无关 当且仅当当且仅当其其“秩秩”等于等于向量组所含向量组所含向量个数向量个数.2、向量组线性相关、向量组线性相关 当且仅当当且仅当其其“秩秩”小于小于向量组所含向量组所含向量个数向量个数.两个两个等价等价的向量组必定具有相同的的向量组必定具有相同的秩秩. （反之不正确）（反之不正确）u初等变换

14、不改变矩阵的初等变换不改变矩阵的秩秩.u等价矩阵具有相同的等价矩阵具有相同的秩秩.u矩阵转置，矩阵转置，秩秩不变不变.u任何矩阵与可逆矩阵相乘，任何矩阵与可逆矩阵相乘，秩秩不变不变.1. 不改变列部分组的线性相关性不改变列部分组的线性相关性.2. 将列极大无关组变为列极大无关组将列极大无关组变为列极大无关组.3. 不改变矩阵列向量组的线性表出方式不改变矩阵列向量组的线性表出方式. m 21将向量组按列排放将向量组按列排放初等行变换初等行变换 rmrrrrmrrmrrAAAAAAAAAAAA121222211111211R 1i 2i ri 一个极大无关组一个极大无关组riii ,21原向量组一

15、个极大无关组原向量组一个极大无关组（满秩）（满秩）nAR )(）可逆（非奇异、非退化可逆（非奇异、非退化A0 A关关个个行行（列列）向向量量线线性性无无的的nA只有零解只有零解齐次线性方程组齐次线性方程组oAX 有唯一解有唯一解非齐次线性方程组非齐次线性方程组bAX （不满秩）（不满秩）nAR )(不可逆（奇异、退化）不可逆（奇异、退化）A0 A关关个个行行（列列）向向量量线线性性相相的的nA有非零解有非零解齐次线性方程组齐次线性方程组oAX 线线性性相相关关n ,21211121221121),(,max),(,)()(),(min)()()()()()(000)()(,)()()()(,m

16、in)(RRRRRRRRRBRARABRnBRARBRARBARkifkifARkARBAifBRARARARnmARtstsT 则：则：，若：若：为等价矩阵为等价矩阵u向量组线性相关性的判定或证明向量组线性相关性的判定或证明u向量组线性表示的判定或证明向量组线性表示的判定或证明u求向量组的秩、极大线性无关组、将其余向量求向量组的秩、极大线性无关组、将其余向量用极大无关组表示用极大无关组表示u与向量组或矩阵秩有关的问题与向量组或矩阵秩有关的问题) 1 . 1 . 4(22112222212111212111 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa重点：重点：利用增广矩阵

17、的初等变换判定方程组利用增广矩阵的初等变换判定方程组的解况，并求出解（或通解）的解况，并求出解（或通解）AX=b有解有解 R(A)=R(A,b)Rn 无穷解无穷解无解无解 R(A) R(A,b)R=n 唯一解唯一解n-r个自由未知量个自由未知量一般（非齐次）线性方程组解况判定：一般（非齐次）线性方程组解况判定：AX=0Rn 无穷多解无穷多解（有非零解）（有非零解）R =n 唯一解唯一解（只有零解）（只有零解）n-r个自由未知量个自由未知量必有零解必有零解特别，当特别，当方程个数方程个数 变元个数变元个数时，方程必时，方程必有非零解有非零解. .齐次线性方程组解况判定：齐次线性方程组解况判定：齐

18、次方程组和非齐次线性方程组解的结构：齐次方程组和非齐次线性方程组解的结构：u齐次线性方程组的基础解系特征（特别所含解齐次线性方程组的基础解系特征（特别所含解向量个数）以及通解表示，求法；向量个数）以及通解表示，求法；u非齐次线性方程组解的结构，通解表示以及求非齐次线性方程组解的结构，通解表示以及求法法u含参数线性方程组解况以及求解含参数线性方程组解况以及求解u与齐次方程组的基础解系特征，通解特征，与齐次方程组的基础解系特征，通解特征，非齐次线性方程组通解特征有关的问题非齐次线性方程组通解特征有关的问题u需利用线性方程组的解况判定的相关问题，需利用线性方程组的解况判定的相关问题，如向量组的线性相关性，线性表示等等如向量组的线性相关性，线性表示等等u与特征值、特征向量有关的问题与特征值、特征向量有关的问题1、特征问题、特征多项式、特征矩阵，特征值、特征问题、特征多项式、特征矩阵，特征值、特征向量的求法；特征向量的求法；2、由矩阵运算或变型所演化出来的特征值、特、由矩阵运算或变型所演化出来的特征值、特征向量（逆矩阵、伴随矩阵、矩阵多项式等）征向量（逆矩阵、伴随矩阵、矩阵多项式等）3、方阵、实对称矩阵的特征值、特征向量性质、方阵、实对称矩阵的特征值、特征向量性质u相似矩阵相似矩阵1、相似矩阵的一些性质、相似矩阵的一些性质2、矩阵可相似对角化