隐函数微分法ppt课件

1、9.5 隐函数微分法隐函数微分法教学要求：会求隐函数的导数或偏导数；了解隐教学要求：会求隐函数的导数或偏导数；了解隐函数存在定理的条件与结论函数存在定理的条件与结论. .0),(. 1 yxF一、一个方程的情形一、一个方程的情形隐函数存在定理隐函数存在定理 1 1 设函数设函数),(yxF在点在点),(00yxP的的某一邻域内具有连续的偏导数，且某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00 yxF，0),(00 yxFy，则方程，则方程0),( yxF在点在点),(00yxP的的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数导数的函数)(xfy

2、 ，它满足条件，它满足条件)(00 xfy ，并，并有有 yxFFdxdy . .隐函数的求导公式隐函数的求导公式将将 y = f (x) 代入方程得：代入方程得：0 )(, xfxFFxyx)(,xfxFxddxdxdxF xdydyF 0 yFxFxdyd xF xdydyF 0),(. 1 yxF解解 令令1),(22 yxyxF那那么么,2xFx ,2yFy , 0)1 , 0( F, 02)1 , 0( yF例例验验证证方方程程0122 yx在在点点)1 , 0(的的某某邻邻域域内内能能唯唯一一确确定定一一个个单单值值可可导导、且且0 x时时1 y的的隐隐函函数数)(xfy ，并并求

3、求这这函函数数的的一一阶阶和和二二阶阶导导数数在在0 x的的值值.解解 令令1),(22 yxyxF那那么么,2xFx ,2yFy , 0)1 , 0( F, 02)1 , 0( yFyxFFdxdy ,yx , 00 xdxdy22dxyd2yyxxy ,13y . 1022 xdxyd2yyxy 0 xexyy例例2：设：设xexyyxFy ),(解：解：求求22xdydxF,1 yeyFyex 1xdydyxFF ,11yyexe 22xdyd)11(yyexexdd 2)1 ()1 () 1() 1()1 (yyyyyexxexddeexddxe 0 xexyy例例2：设：设xexyy

4、xFy ),(解：解：求求22xdydxdyd,11yyexe 22xdyd2)1 ()1 () 1() 1()1 (yyyyyexxexddeexddxe 2111)()()(yyyyyyexyxeeeyexe 2121)()(yyyyexxxeee 隐函数存在定理隐函数存在定理2 2 设函数设函数),(zyxF在点在点,(0 xP),00zy的某一邻域内有连续的偏导数，且的某一邻域内有连续的偏导数，且,(0 xF0),00 zy，0),(000 zyxFz，则方程，则方程,(yxF0) z在点在点),(000zyxP的某一邻域内恒能唯一确的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数

5、的函数定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxfz ，它满足条件，它满足条件),(000yxfz ，并有并有 zxFFxz ， zyFFyz . .0),(. 2 zyxF由方程由方程0),( zyxF所确定的二元函数所确定的二元函数 z = f ( x , y ) , 求求yzxz ,Fxzyxy),(,yxfyxFx xdxdxF xzzF 0 zFxFxz zFyFyz 解解令令那那么么,4),(222zzyxzyxF ,2xFx , 42 zFz,2zxFFxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 例例4 设设求求),(

6、xyzzyxfz ,xz ,yx .zy 解解 令令, zyxu ,xyzv 那么那么),(vufz 把把z看成看成yx,的函数对的函数对x求偏导数得求偏导数得xz xzxyyzfxzfvu1xz ,1vuvuxyffyzff 把把x看成看成yz,的函数对的函数对y求偏导数得求偏导数得0 yxyzxzfyxfvu1例例4 设设求求),(xyzzyxfz ,xz ,yx .zy 解解xz ,1vuvuxyffyzff 把把x看成看成yz,的函数对的函数对y求偏导数得求偏导数得0 yxyzxzfyxfvu1yx ,vuvuyzffxzff 把把y看成看成zx,的函数对的函数对z求偏导数得求偏导数得

7、1 zyxzxyfzyfvu1例例4 设设求求),(xyzzyxfz ,xz ,yx .zy 解解xz ,1vuvuxyffyzff 把把x看成看成yz,的函数对的函数对y求偏导数得求偏导数得yx ,vuvuyzffxzff 把把y看成看成zx,的函数对的函数对z求偏导数得求偏导数得1 zyxzxyfzyfvu1zy .1vuvuxzffxyff 例例5 设设, 0),( xzzyyxF延续偏导数延续偏导数, ,且且, 032 FF求证求证. 1 yzxz证证由题意知方程确定函数由题意知方程确定函数).,(yxzz 在题设在题设方程两边取微分方程两边取微分, , 得得),(xzzyyxdF 0

8、d , 0 即有即有. 0)()()(321 xzdFzydFyxdF. 0)()()(321 dxdzFdzdyFdydxF其中其中F具有具有合并得合并得,)()()(321231dzFFdyFFdxFF 解得解得dz,32123231dyFFFFdxFFFF 例例5 设设, 0),( xzzyyxF延续偏导数延续偏导数, ,且且, 032 FF求证求证. 1 yzxz证证其中其中F具有具有,)()()(321231dzFFdyFFdxFF 解得解得dz,32123231dyFFFFdxFFFF 从而从而xz ,3231FFFF yz ,3212FFFF 于是于是yzxz 3232FFFF

9、. 1 .4dzyxzyzzx的的函函数数，求求全全微微分分、为为确确定定：设设例例 xyzyxzzfzxfyzx :),(522证证明明有有连连续续导导数数，其其中中：设设例例例例5 知知0cossin020022 zyxyxxttdttdtttde确定确定 z = z ( x , y ) ，yzxz ,求求解：令解：令 zyxyxxttdttdtttdezyxF0200cossin),(22 xF2)(4xxxe )(sinxyxyxyx 2)()(cosxzyxzyx 42xex xyxsin 2)(coszyxzy yF0)(sinyyxyxyx 2)()(cosyzyxzyx yyx

10、sin 2)(coszyxzx zF00 2)()(coszzyxzyx 2)(coszyxyx zyxyxxttdttdtttdezyxF0200cossin),(222)(2xxxe )(sinxyxyxyx 2)()(cosxzyxzyx 42xex xyxsin 2)(coszyxzy xF xzzxFF 42xexxyxsin 2)(coszyxzy 2)(coszyxyx yzzyFF 2)(coszyxyxyyxsin2)(coszyxzx 42xex xyxsin 2)(coszyxzy yyxsin 2)(coszyxzx 2)(coszyxyx xFyFzF 0),(0),

11、(vuyxGvuyxF二、方程组的情形二、方程组的情形(不要求不要求).,cossin6yvxvyuxuvueyvuexuu 求求：设设例例分以下几种情况分以下几种情况隐函数的求导法那么隐函数的求导法那么0),()1( yxF0),()2( zyxF 0),(0),()3(vuyxGvuyxF三、小结三、小结作业：习题作业：习题9-5: 1, 6, 8一一、 填填空空题题: :1 1、 设设xyyxarctanln22 , ,则则 dxdy_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 2 2、设设zxyz , ,则则 xz

12、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _, , yz_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .二二、 设设,32)32sin(2zyxzyx 证证明明：. 1 yzxz练练 习习 题题三三、 如如 果果 函函 数数),(zyxf对对 任任 何何t恒恒 满满 足足 关关 系系 式式),(),(zyxfttztytxfk , ,则则称称函函数数),(zyxf为为 k次次齐齐次次函函数数, ,试试证证: :k次次齐齐次次函函数数满满足足方方程程 ),(zyx

13、kfzfzyfyxfx . .四四、设设.,3233yxzaxyzz 求求五五、求求由由下下列列方方程程组组所所确确定定的的函函数数的的导导数数或或偏偏导导数数: :1 1、 设设 203222222zyxyxz , ,求求.,dxdzdxdy2 2、 设设 ),(),(2yvxugvyvuxfu，求求.,xvxu （其其中中gf ,具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数）六、六、 设函数设函数)(xu由方程组由方程组 0),(0),(),(zxhzyxgyxfu所确定所确定, , 且且., 0, 0dxduzhyg求求 ( (hgf,均可微均可微) )七、七、 设设),(txfy 而而t是由方

14、程是由方程0),( tyxF所确定的所确定的yx,的函数的函数, ,求求.dxdy八、八、 设设),(yxzz 由方程由方程),(xzyyxxF =0=0 所确定所确定, , 证明证明: :xyzyzyxzx . .一、一、1 1、yxyx ； 2 2、yyxzzzzxxlnln1 ； 3 3、yyxzzyzxzln11 . .四、四、3222242)()2(xyzyxxyzzzyxz . .五、五、1 1、13,)13(2)16( zxdxdzzyzxdxdy； 2 2、12211221)12)(1()12(gfgyvfxgfgyvfuxu , , 1221111)12)(1()1(gfgyvfxfufxgxv . .练习题答案练习题答案六六、zyxzyyxxxhghgfggffdxdu zyxzyzxxzyxhghgfhgfhgf . . 七七、tyttxxtfFFfFfFdxdy