第1章 真空中静电场

1、12电磁学主要内容电磁学主要内容 第第1章章 真空中的静电场真空中的静电场 第第2章章 静电场中的导体和电介质静电场中的导体和电介质 第第3章章 稳恒磁场稳恒磁场 第第4章章 电磁感应与电磁场电磁感应与电磁场34567q1q2电荷电荷1 1 受电荷受电荷 2 2的力的力221rqqKf 022112rrqqKf2 20 02 21 14 4rqq 0 04 41 1 K令令22120/1085. 8NmC真空中的介电常数真空中的介电常数12f3q13fiiff11两个点电荷之间的作用力，不会两个点电荷之间的作用力，不会因为第三个电荷的存在而改变因为第三个电荷的存在而改变3. 电力的叠加原理电力

2、的叠加原理1frrr 0f 210rr8早期：电磁理论是早期：电磁理论是超距超距作用理论作用理论后来后来: 法拉第提出法拉第提出近距近距作用作用一、电场一、电场 (electric field) 电荷周围存在电场电荷周围存在电场1. 电场的特点电场的特点 对放入其内的任何电荷都有作用对放入其内的任何电荷都有作用力力 电场力对移动电荷作电场力对移动电荷作功功 电场中的导体或介质将分别产生电场中的导体或介质将分别产生静电感应静电感应现象或现象或极化极化现象现象（电场强度）（电场强度）（电势）（电势）电荷电荷 电场电场 电荷电荷1.2 电场和电场强度电场和电场强度9 2.静电场静电场 相对于观察者静

3、止的电荷产生的电场相对于观察者静止的电荷产生的电场 是电磁场的一种特殊形式是电磁场的一种特殊形式二、电场强度二、电场强度电量为电量为Q的带电体在空间产生电场的带电体在空间产生电场Q描述场中各点电场描述场中各点电场强弱强弱的物理量是的物理量是 电场强度电场强度10EfqqQPf试验电荷试验电荷放到场点放到场点P处，处，试验电荷受力为试验电荷受力为f试验表明：试验表明：对于确定场点对于确定场点 比值比值qf与试验电与试验电荷无关荷无关电场强电场强度定义度定义定义方法：定义方法：大小：单位大小：单位正电荷正电荷受力受力方向：方向：正电荷正电荷受力的方向受力的方向11答案答案场点确定；场点确定；不至于

4、使场源不至于使场源电荷重新分布。电荷重新分布。思考思考试验电荷必须试验电荷必须满足两小：满足两小：线度足够地小线度足够地小电量充分地小电量充分地小为什么？为什么？讨论讨论qfE1) 1) q q只是使场显露出来，即使无只是使场显露出来，即使无q q ， 也存在。也存在。E12讨论讨论 EE rE x y z2)3) 矢量场矢量场4) SI中中单位单位5) 电荷在场中受的电场力电荷在场中受的电场力 点点电荷在外场中受的电场力电荷在外场中受的电场力EqfN/C或或V/m一般一般带电体在外场中受力带电体在外场中受力)(qqqEff)(dd13三、电场强度的计算三、电场强度的计算1.点电荷点电荷Q的场

5、强公式的场强公式要解决的问题是：场源点电荷要解决的问题是：场源点电荷Q的场中各点电的场中各点电场强度。场强度。解决的办法：根据库仑定律和场强的定义。解决的办法：根据库仑定律和场强的定义。q0204rrQqfQ0r由库仑定律有：由库仑定律有：r首先，首先，将试验点电荷将试验点电荷q放置场点放置场点P处处140204rrQqfEfq0204rrQE1) ) 球对称球对称由库仑定律由库仑定律由场强定义由场强定义qQ0rr讨论讨论2) )场强方向：正电荷受力方向场强方向：正电荷受力方向由上述由上述两式得两式得152.场强叠加原理场强叠加原理求任意带电体的场强求任意带电体的场强Efqniiiniiiqf

6、qf11EEii1）如果带电体由）如果带电体由 n 个点电荷组成，如图个点电荷组成，如图iqniiiff1qir由电力叠由电力叠加原理加原理由场强定义由场强定义整理后得整理后得或或根据电力叠加原理根据电力叠加原理和场强定义和场强定义01204iniiiirrqE160204rrqEEQQddEd2）如果带电体电荷连续分布，如图）如果带电体电荷连续分布，如图Qqd把带电体看作是由许多个把带电体看作是由许多个电荷元（点电电荷元（点电荷）荷）组组成，然后利用场强叠加原理求解成，然后利用场强叠加原理求解Pr分量式分量式kEjEiEEzyxqd : 电荷电荷线密度线密度 :电荷电荷面密度面密度 :电荷电

7、荷体密度体密度（线分布）ld（面分布）Sd（体分布）VdVdsdl d17qqlrrP若从电荷连线的中点向场点若从电荷连线的中点向场点P画一位矢画一位矢rr且满足：且满足： r l 的条的条件，则这一对等量异号件，则这一对等量异号点电荷叫做点电荷叫做电偶极子电偶极子描述的物理量是描述的物理量是电偶极矩电偶极矩 ，定义式：定义式：方向：从负点电荷指向正点电荷方向：从负点电荷指向正点电荷例例1 电偶极子电偶极子(electric dipole)的电场的电场 一对一对相距为相距为l 的的等量异号点电荷等量异号点电荷pql18求：电偶极子中垂面上任意点的场强求：电偶极子中垂面上任意点的场强l解解rrE

8、EE304rrqE304rrqErEEE304rrrqrrllrr304rlq304rpElqp电偶极矩电偶极矩r lr+= r- r+-qq思考：思考： 电偶极子连线上电偶极子连线上，正电荷右侧一点，正电荷右侧一点 P 的场强的场强19由对称性由对称性例例2 2L均匀带电均匀带电细细棒，长棒，长 L ，电荷线密度，电荷线密度 ，求：中垂面上的场强求：中垂面上的场强 。解解 ：dydQrEd304rdQrEd 304rdyr jdEidEEdyxLLLyxdEjdEiEdExdEydE0 cosdEdEx2 20 04 4rdycos xtgy 2cosxddyxcosr 2 22 22 2c

9、osxrxdcos0 04 4 1 10 00 04 42 2 xdcosExxsin0 01 12 2 1yx0ixsinE0 01 12 2 20当当 L 1 - 2 2 2ixE0 02 2 1 12 20 04 4 sinsinxEx2 21 10 04 4 coscosxEy一般一般1LdydQEd2yx0a E？思考：思考：细棒延线上任一点的场强？细棒延线上任一点的场强？21真空中点电荷的场强真空中点电荷的场强0204rrQE22圆环轴线上任一点圆环轴线上任一点P 的电场强度的电场强度RP解解dqlqddOx020d41drrqE020d41drrqEEcosddEExsinddE

10、E r EdxEdEd例例3 3 半径为半径为R 的均匀带电细圆环，带电量为的均匀带电细圆环，带电量为q 求：求：0E由于圆环上电荷分布关于由于圆环上电荷分布关于x 轴对称轴对称 23cosd4120rqExrxcos2/ 122)(xRr2/3220)(41xRqxE(1) 当当 x = 0（即（即P点在圆环中心处）时，点在圆环中心处）时， 0E(2) 当当 xR 时时 2041xqE可以把带电圆环视为一个点电荷可以把带电圆环视为一个点电荷 cos4120rqqrdcos4120(3) E的极值：的极值： 令令dE/dx = 0，可得极大值，可得极大值cosddEEx24R2 23 32 2

11、2 20 04 4rxixdQEd rxEdrdrRQdQ 2 22 2RrxrdrRxQE0 02 23 32 22 22 20 02 2 已知：总电量已知：总电量Q ；半径半径R 。 求：求： 均匀带电圆盘轴线上的场强。均匀带电圆盘轴线上的场强。2 22 22 20 01 12 2RxxRiQE 当当R x2 20 02 2RiQE 0 02 2 iE22RQrdr例例42526(electric field line)SNEdd 任何两条电任何两条电场场线不会在没有电荷的地方相交线不会在没有电荷的地方相交1.3 电通量电通量 高斯定理高斯定理ESd 1. E 用电场线描述用电场线描述场强

12、方向：电场线切线方向场强方向：电场线切线方向场强大小：取决于电场线场强大小：取决于电场线的疏密的疏密不闭合、不会在没有电荷处中断，不闭合、不会在没有电荷处中断，起于正电荷，止于负电荷起于正电荷，止于负电荷dN规定：规定： 2. 静电场中静电场中电场线性质电场线性质27穿过任意曲面的电穿过任意曲面的电场场线线条数称为电通量。条数称为电通量。 1.均匀场中均匀场中面元面元dS 的电通量的电通量NeddnSS dd矢量面元矢量面元SEedd2.非均匀场中曲面的电通量非均匀场中曲面的电通量SEed dSdSdnSEd cos S eeESE dSSdE28E(2) 电通量是代数量电通量是代数量穿出为正

13、穿出为正 穿入为负穿入为负 3. 闭合曲面电通量闭合曲面电通量SSEeedd方向的规定：向外方向的规定：向外n(1) 0dd11SEe1dS2dS0dd22SEeSSEeedd穿出、穿入闭合面电力线条数之差穿出、穿入闭合面电力线条数之差 (3) 通过闭合曲面的电通量通过闭合曲面的电通量202r说明说明293031内qSEe01dS反映静电场的性质反映静电场的性质真空中的任何静电场中，穿过任一闭合曲面的电通量，真空中的任何静电场中，穿过任一闭合曲面的电通量，等于该曲面所包围的电荷电量的代数和除以等于该曲面所包围的电荷电量的代数和除以 0VSEVed1d0S(不连续分布的源电荷不连续分布的源电荷)

14、(连续分布的源电荷连续分布的源电荷) 有源场有源场 , ,电荷就是它的源。电荷就是它的源。r意义意义 是所有电荷产生的是所有电荷产生的; ; e 只与只与内部电荷内部电荷有关。有关。E高斯高斯32与空间与空间所有所有的电荷量、电荷的分布有关的电荷量、电荷的分布有关与与闭合面内闭合面内的电量有关的电量有关, ,与电荷的分布无关与电荷的分布无关ESSEd(2) (4) (4) 高斯定理源于库仑定律高于库仑定律。高斯定理源于库仑定律高于库仑定律。 高斯定理是电磁理论的基本方程之一，适用于静电场和随时间变化高斯定理是电磁理论的基本方程之一，适用于静电场和随时间变化的场，库仑定律只适用于真空中的静电场的

15、场，库仑定律只适用于真空中的静电场(5) 利用高斯定理求解特殊电荷分布电场的思路利用高斯定理求解特殊电荷分布电场的思路 (1) 适用于一切静电场；闭合曲面称为适用于一切静电场；闭合曲面称为高斯面高斯面r说明说明v分析电荷对称性；分析电荷对称性； v根据对称性取高斯面；根据对称性取高斯面；v根据高斯定理求电场强度根据高斯定理求电场强度。只有闭合只有闭合面内面内的的电量电量对对电通量电通量有贡献有贡献内qSEe01dS33例例1 求电量为求电量为Q 半径为半径为R 的均匀带电球面的的均匀带电球面的 电场强度分布电场强度分布 Q第第1步：根据电荷分布的对称性步：根据电荷分布的对称性选取合适的高斯面选

16、取合适的高斯面(闭合曲面闭合曲面)解解:取取过场点过场点P的以球心的以球心 o 为圆心的球面为圆心的球面ESSEdSSEdSSE d24 rERoPrSSd第第2步：步：从高斯定理等式的左方入手从高斯定理等式的左方入手计算高斯面的电通量计算高斯面的电通量34第第3步：根据高斯定理列方程步：根据高斯定理列方程 解方程解方程024iiqrEEqrii402 第第4步：求过场点的高斯面内电量代数和步：求过场点的高斯面内电量代数和24 rESESdQrSRoP0iiqRr35第第5步：得解步：得解rER均匀带电球面电场分布均匀带电球面电场分布0204RQ00ERr36例例2 求：电量为求：电量为Q 、

17、半径为、半径为R 的均匀的均匀带电球体带电球体的场强分布的场强分布R解：解： 选择高斯面选择高斯面同心球面同心球面SeSdE RrQ0 0 RrQ0 0 3 33 3RQrQ r3 30 03 3RQr SdSE2 24 4 rE ERrRQr3 30 04 4 RrrQ2 20 04 4r0ER37例例3 均匀带电的无限长的直线均匀带电的无限长的直线线密度线密度对称性的分析对称性的分析rP取合适的高斯面取合适的高斯面lr计算电通量计算电通量SsEd两底面侧面sEsEddrlE 2sdEsd利用高斯定理解出利用高斯定理解出E02lrlErE02思考：思考：无限长带电无限长带电圆柱面圆柱面、圆柱

18、体圆柱体的的E？38E解：解：选择高斯面选择高斯面 与平面正交对称的柱面与平面正交对称的柱面SdE侧面侧面SdE平行底面底面SeSdE 0 0 SSE 2 20 02 2 E+ + + + + + + + + + SdSd例例4 4 求：电荷面密度为求：电荷面密度为 的的无限大均匀带电平面无限大均匀带电平面的的场强分布。场强分布。E思考：思考：密度为密度为无限长无限长带电平板（厚为带电平板（厚为b b）的的E？39（2 2）为零，也可能不为零；）为零，也可能不为零；（1 1）处处为零。）处处为零。请点击你认为是对的答案请点击你认为是对的答案 若通过一闭合曲面的若通过一闭合曲面的 通量为零，通量

19、为零，则此闭合曲面上的则此闭合曲面上的 一定是一定是401 1.4 静电场的环路定理静电场的环路定理 电势能电势能v单个点电荷产生的电场单个点电荷产生的电场rrqqbarrd14200bLaablFA)(dcosd )(0bLalEqbaLbrrarldrd qEOrrqqbLad )14()(200 q0drlq0)11(400barrqq 电场力做功只与始末位置有关，与路径无关电场力做功只与始末位置有关，与路径无关，所以静电力所以静电力是是保守力保守力，静电场是静电场是保守场保守场。41在静电场中，沿闭合路径移动在静电场中，沿闭合路径移动q0，电场力作功，电场力作功LLablEqlFAdd

20、0bLabLalEqlEq)(0)(021ddL1L2bLalEq)(01d0aLblEq)(02dabq00dLlE在静电场中，场强沿任意闭合路径的在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分（称为线积分（称为场强的环流场强的环流）恒为零。）恒为零。42讨论讨论1）静电场的基本方程之一）静电场的基本方程之一 静电场是静电场是保守场保守场或或无旋场无旋场2） 微分形式微分形式0E3）表征静电场的性质有两个方程）表征静电场的性质有两个方程0LlEd0iiSqSEd0LlEd-有源无旋场有源无旋场静电场是静电场是有源有源、无旋（无旋（保守保守）场，可引进场，可引进电势能电势能。43v电势能的差电势能的差

21、ab自自 a 点移至点移至 b 点过程点过程中电场力所做的功。中电场力所做的功。 0dbababaWWAq El定义：定义：)(abWW q0q0q0 在电场中在电场中a、b 两点两点电势能之差，电势能之差，v电势能电势能取电势能零点取电势能零点 W“b” = 0 等于等于把把 q0000daaalEqAWq0 在电场中某点在电场中某点 a 的电势能：的电势能：44(1) 电势能应属于电势能应属于 q0 和和电场电场( (或产生电场的源电荷或产生电场的源电荷) )系统所共有系统所共有(3) 选电势能零点原则：选电势能零点原则：(2) 电荷在某点电势能的值与电势能零点电荷在某点电势能的值与电势能

22、零点有关有关, ,而两而两点的差值与电势能零点点的差值与电势能零点无关无关 实际应用中取大地、仪器外壳等为势能零点。实际应用中取大地、仪器外壳等为势能零点。 当当( (源源) )电荷分布在电荷分布在有限范围内有限范围内时，一般选时，一般选无限远处无限远处 无限大带电体，无限大带电体，势能零点一般势能零点一般选在有限远处一点。选在有限远处一点。r说明：说明：000daaalEqAW45pPpl dEQWU01、 定定 义义 P 点的电势点的电势1）单位正电荷放在）单位正电荷放在P处，系统的电势能。处，系统的电势能。2）把单位正电荷从）把单位正电荷从P处移处移到到0电势（无限远）处，电势（无限远）

23、处，电场力所做的功。电场力所做的功。单位：单位：V （伏特伏特）2、静、静 电场中任意电场中任意两点两点a、 b 间的间的电势电势差差2 2r1 1rbaO21rrldEldE2 2r 把单位正电荷从把单位正电荷从a 处沿任意路处沿任意路径移到径移到 b处电场力做的功。处电场力做的功。2 21 11 12 2UUU21rrl dE四、四、 电势电势（电位）（电位） 电势差电势差460Q把把 从从 a 处移到处移到 b 处电场力做的功可表示为处电场力做的功可表示为U 1 U 2Q0 0 A12 0Q0 0 A12 0U 1 U 2 情况自行讨论情况自行讨论在静电场中释放正电荷在静电场中释放正电荷

24、向电势低处运动向电势低处运动正电荷受力方向正电荷受力方向沿电力线方向沿电力线方向结论结论：电力线指向电势减小的方向电力线指向电势减小的方向210rrl dEQA2 21 10 0rrrdEQ2 21 10 0UUQ讨论：讨论：47真空中的真空中的高斯定理高斯定理内qSEe01dS0dLlEppppUqlEqAW000d ppl dEUbabaabl dEUUU电势电势（电位）（电位） 电势差电势差481.点电荷电场中的电势公式点电荷电场中的电势公式rlEdrrQrd204rQU04五、电势的计算五、电势的计算QPrEld PPlEUdrrrQrd304rldd 492.点电荷系的电场中的电势点

25、电荷系的电场中的电势 由定义式出发由定义式出发0PlEUd lElEUPiiPdd00iiUUQUUd iPiilE0d在点电荷系产生的在点电荷系产生的电场中，某点的电电场中，某点的电势是各个点电荷单势是各个点电荷单独存在时，在该点独存在时，在该点产生的电势的代数产生的电势的代数和。这称为和。这称为电势叠电势叠加原理。加原理。dUUardq041Qdqar50 2ar 1q2q3q4qOaaaa 2ar rqUii410041rq4410aq02)(00UUqA)0 (00Uqaqq002W51L例例2均匀带电均匀带电细细棒，长棒，长 L ，电荷线密度，电荷线密度 ， 求：求：沿线、距离一端沿

26、线、距离一端 x0 米处的电势。米处的电势。解：解：Px000 xLx 0 xdxdQ xdQdU0 04 4dx LxxxdxU0 00 00 04 4 Lxxxln0 00 00 04 4 0 00 00 04 4xlnLxln 0 00 0 xLxln52求：电荷线密度为求：电荷线密度为 的的无限长带电直线无限长带电直线的电势分布的电势分布rE0 02 2 解：由解：由rrdEU 分析分析 如果仍选择无限远为电势如果仍选择无限远为电势0点，积分将趋于点，积分将趋于无限大。必须选择某一定点为电势无限大。必须选择某一定点为电势0点点通常通常可选地球。现在选距离线可选地球。现在选距离线 a 米

27、的米的P0点为电势点为电势0点。点。aP00 0PrrdEUardrrU0 02 2 rlnaln0 02 2 例例3 3raln思考：思考：无限长带电无限长带电圆柱面圆柱面的的U？53例例4已知：总电量已知：总电量Q ；半径半径R 。 求：求： 均匀带电圆环轴线上的电势分布均匀带电圆环轴线上的电势分布Rrx0P解：解：QrdQU0 04 4 QdQr0 04 41 1 rQ0 04 4 2 22 2xRr2 22 20 04 4xRQU rdQdU0 04 4 dQx思考：思考：一段圆一段圆弧的弧的U？(1) 当当 x = 0（即（即P点在圆环中心处）时，点在圆环中心处）时， 204QUR(

28、2) 当当 xR 时时 04QUx 可以视为一个点电荷可以视为一个点电荷 r讨论讨论54R212204rxdQdUrxrdrRQdQ 2 22 2RrxrdrRQU02122202已知：总电量已知：总电量Q ；半径半径R 。 求：求： 均匀带电圆盘轴线上的电势。均匀带电圆盘轴线上的电势。22202xRxRQU当当x RxQU04x = 0 22RQrdr例例5U02RU x55561.5 等势面等势面 电势与电场强度的微分关系电势与电场强度的微分关系一、一、 等势面等势面 电场中电势相等的点连成的面称为等势面电场中电势相等的点连成的面称为等势面等势面的性质等势面的性质: :(2)电场线指向电势降的方向电场线指向电势降的方向(3) 等势面的疏密反映了电场强度的大小等势面的疏密反映了电场强度的大小(1)电场线与等势面处处垂直电场线与等势面处处垂直57综合势场图58取两个相邻的等势面，把点电荷从取两个相邻的等势面，把点电荷从P移到移到Q，电场力做功