电磁场课件-01

1、第一章第一章 矢量分析矢量分析主主 要要 内内 容容梯度梯度、散度散度、旋度旋度、亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理1-1 标量与矢量标量与矢量1-2 矢量的代数运算矢量的代数运算1-3 矢量的标积与矢积矢量的标积与矢积1-4 标量场的方向导数与梯度标量场的方向导数与梯度1-5 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度1-6 矢量场的环量与旋度矢量场的环量与旋度1-7 无散场和无旋场无散场和无旋场1-8 格林定理格林定理 1-9 矢量场的惟一性定理矢量场的惟一性定理1-10 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 1-11 正交曲面坐标系正交曲面坐标系yx以以浓度浓度表示的表示的标量场标量场 以以箭头箭头表示的表示的矢量

2、场矢量场A 标量场标量场（）和矢量场和矢量场（A）yx1-1 标量和矢量标量和矢量1 标量：标量：只有大小没有方向的物理量。只有大小没有方向的物理量。 例如：例如：长度长度l 、质量质量m、体积、体积v、电量、电量Q、静电位、静电位 、 磁磁通量通量等。等。2 矢量：矢量：不仅具有不仅具有大小而且具有方向特征的物理量。大小而且具有方向特征的物理量。例如：例如：物体的位移物体的位移 、速度、速度 、加速度、加速度 、角速度、角速度 、力、力 ，电场强度电场强度 等。等。注意：注意：本书以黑斜体表示矢量。本书以黑斜体表示矢量。矢量矢量A的几何表示是一条有向的几何表示是一条有向线段。线段。3 3 标

3、量场与矢量场标量场与矢量场场是物质的存在形态，在空间同一点上，允许同时存在场是物质的存在形态，在空间同一点上，允许同时存在多种场，或者一种场的多种模式，这与实物粒子的不可多种场，或者一种场的多种模式，这与实物粒子的不可入性和排他性有天壤之别。入性和排他性有天壤之别。标量场：标量的空间分布构成标量场。标量场：标量的空间分布构成标量场。矢量场：矢量的空间分布构成矢量场。矢量场：矢量的空间分布构成矢量场。或者说：如果在空间区域或者说：如果在空间区域上，每一点都存在一确定的物上，每一点都存在一确定的物理量理量A，则场域上存在由场量，则场域上存在由场量A构成的场，如果构成的场，如果A是标量，是标量，我们

4、就说我们就说上存在一标量场；如果上存在一标量场；如果A是矢量，则说明场域是矢量，则说明场域上存在一矢量场。上存在一矢量场。1-1 标量和矢量标量和矢量4 4 按时空变化规律的几种典型场按时空变化规律的几种典型场（2）如果）如果A=A(t)，即场量，即场量A仅随时间仅随时间t变化，而在空间上变化，而在空间上呈现均匀分布，这种场被称为均匀场。呈现均匀分布，这种场被称为均匀场。（1）如果）如果A=A(x,y,z)，即场量，即场量A不随时间不随时间t变化，人们把这变化，人们把这种场称为静态场或恒定场。种场称为静态场或恒定场。 例如例如: 房间的温度场房间的温度场T(x,y,z)一般是均匀场，因为尽管一

5、般是均匀场，因为尽管在一昼夜中温度是变化的，但同一时刻在一昼夜中温度是变化的，但同一时刻t房间内任意两点间房间内任意两点间的温差为的温差为0；换言之，不同点上的温度变化是同步的，在；换言之，不同点上的温度变化是同步的，在均匀情况下，观测不到波动现象，只能观测到整个场域在均匀情况下，观测不到波动现象，只能观测到整个场域在作同步的振动。作同步的振动。例如：地球内部密度分布，点电荷的静电位例如：地球内部密度分布，点电荷的静电位和电场强和电场强度度E。1-1 标量和矢量标量和矢量5 5 常矢量：常矢量：若矢量的大小及方向均与空间坐标无关，这若矢量的大小及方向均与空间坐标无关，这种矢量称为常矢量或简称为

6、常矢；否则为变矢量或简称种矢量称为常矢量或简称为常矢；否则为变矢量或简称为变矢。为变矢。1-1 标量和矢量标量和矢量zyeeeAx32zyyzxyxeeex332A常矢量：常矢量：变矢量：变矢量：xeAyxy e3A)()(CBACBA2.加法：结合律：加法：结合律：ABBA 交换率：交换率：0101A3.矢量与标量相乘：矢量与标量相乘：ABBA 与与大小方向均相同：大小方向均相同：1.1-2 矢量的代数运算矢量的代数运算),(zyxAAA),(zyxBBB 若矢量若矢量A的坐标分量为的坐标分量为，矢量，矢量B的坐标分量为的坐标分量为ABBA两个矢量的标积是一个两个矢量的标积是一个标量标量，且

7、满足交换律，即：，且满足交换律，即：则矢量则矢量A与矢量与矢量B的标积的代数定义为：的标积的代数定义为：1-3 矢量的标积和矢积矢量的标积和矢积zzyyxxBABABABA两个矢量的标积又称为点积或内积，以点号两个矢量的标积又称为点积或内积，以点号“（1 1）定义）定义: :1 标积标积”表示。表示。1-3 矢量的标积和矢积矢量的标积和矢积A(2)(2)矢量的模：矢量的模：或或A表示。表示。222zyxAAAAAAA则则则：任一矢量等于该矢量的模与其单位矢量的乘积：则：任一矢量等于该矢量的模与其单位矢量的乘积： 矢量矢量A的大小定义为的大小定义为A的模，以的模，以(3)(3)单位矢量：单位矢量

8、：模为模为1的矢量。任一矢量的矢量。任一矢量AAAA Aae可写成：可写成：定义：定义：为矢量为矢量A的单位矢量，即的单位矢量，即的模为的模为1，方向，方向AAea与与A相同。相同。aAA ezzyyxxAAAeAeAeAAAeazzyyxxAAAeeeA则矢量则矢量A为坐标轴上投影的合成矢量，即为坐标轴上投影的合成矢量，即coscoscoszyxeeeea 或者或者 ,Azyx,cos,coscos，其中，其中，为为与与轴的夹角，轴的夹角，称为称为A矢量的方向余弦。矢量的方向余弦。分别表示分别表示x轴、轴、y轴、轴、z轴方向上的单位矢量，轴方向上的单位矢量，zyxeee,xxA eyyA e

9、zzA e（4）A的方向余弦：的方向余弦：若若，则矢量则矢量A在三个坐标轴上的投影分别为在三个坐标轴上的投影分别为，1-3 矢量的标积和矢积矢量的标积和矢积（5 5）矢量标积的几何意义：）矢量标积的几何意义：xxyyzzA BA BA BA B由由 可得：可得：xeAA yyxxBBeeBBcosBxBsinByB，令，令与与x轴夹角为轴夹角为，则，则，设设cosBABA是矢量是矢量B在矢量在矢量A方向上的投影大小方向上的投影大小cosB标积标积AB等于矢量等于矢量A的模与矢量的模与矢量B在矢量在矢量A的方向上的投影大小的乘积，的方向上的投影大小的乘积，或者说等于矢量或者说等于矢量B的模与矢量

10、的模与矢量A在矢量在矢量B的方向上的投影大小的乘积。的方向上的投影大小的乘积。cosA是矢量是矢量A在矢量在矢量B方向上的投影大小方向上的投影大小 显然：显然：BAABABA/ 0B1-3 矢量的标积和矢积矢量的标积和矢积xyzAOBzzyyxxAAAeeeA两个矢量的矢积仍然是一个两个矢量的矢积仍然是一个矢量矢量 注意：矢量的矢积运算不满足交换律注意：矢量的矢积运算不满足交换律zyxzyxzyxBBBAAAeeeBA（1）定义：）定义：矢量的矢积又称为叉积或外积，以叉号矢量的矢积又称为叉积或外积，以叉号“”表示。在表示。在直角坐标系中若矢量直角坐标系中若矢量A和矢量和矢量B分别为分别为zzy

11、yxxBBBeeeB则矢量则矢量A与矢量与矢量B矢积的代数定义可用行列式表示为矢积的代数定义可用行列式表示为2 矢积矢积ABBA1-3 矢量的标积和矢积矢量的标积和矢积（2）矢量矢积的几何意义：）矢量矢积的几何意义：xeAA yyxxBBeeB，矢量，矢量，若矢量，若矢量A与矢量与矢量B之间的之间的设矢量设矢量夹角为夹角为，则有，则有1-3 矢量的标积和矢积矢量的标积和矢积xyzAOBAB 0 0sin 0yxyBBBxy zzzeeeA BAe Ae A B 显然：显然：BABABABA / 0 可见，矢量（可见，矢量（AB）的方向与矢量）的方向与矢量A及矢量及矢量B垂直，且由矢量垂直，且由

12、矢量A旋转到矢量旋转到矢量B，并与矢量（，并与矢量（AB）构成右旋关系，矢量（）构成右旋关系，矢量（AB）的）的大小为大小为 。sinA B1 1 标量场的方向导数标量场的方向导数 标量场在某点的标量场在某点的方向方向导数导数表示标量场自该点沿表示标量场自该点沿某一方向上的变化率。某一方向上的变化率。 0()( )limlPPPll标量场标量场 在在 P 点沿点沿 l 方向上的方向导数方向上的方向导数 定义为定义为Pl PllP1-4 标量场的方向导数与梯度标量场的方向导数与梯度gradxyzxyzeee在在直角坐标系直角坐标系中，标量场中，标量场 的梯度可表示为的梯度可表示为式中的式中的gr

13、ad 是英文字是英文字 gradient 的缩写。的缩写。 梯度是一个梯度是一个矢量矢量。某点梯度的。某点梯度的大小大小等于该点的等于该点的最最大大方向导数，某点梯度的方向为该点具有方向导数，某点梯度的方向为该点具有最大最大方向导方向导数的方向。数的方向。2 标量场的梯度标量场的梯度1-4 标量场的方向导数与梯度标量场的方向导数与梯度若矢量若矢量l的方向余弦为的方向余弦为 ，则上式变为，则上式变为若令（若令（ ）为矢量）为矢量G的三个坐标分量，即的三个坐标分量，即证明：证明：lzzlyylxxlcos,cos,coscoscoscoszyxlzyx,zyxzyxeeeGcoscoscoszyx

14、leeee1-4 标量场的方向导数与梯度标量场的方向导数与梯度在直角坐标系中，方向导数在直角坐标系中，方向导数 可写为可写为l而矢量而矢量l的单位矢量的单位矢量 为为le那么，标量场那么，标量场 沿矢量沿矢量l方向上的方向导数方向上的方向导数 可以写为可以写为矢量矢量G 称为标量称为标量的梯度，以的梯度，以grad表示，即表示，即 由此可见，标量场由此可见，标量场的梯度是一个矢量场。由式的梯度是一个矢量场。由式 可见，当可见，当 的方向与梯度方向一致时，方向导数取得最大值。的方向与梯度方向一致时，方向导数取得最大值。因此，标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，梯度的因此，标量场在某点梯

15、度的大小等于该点的最大方向导数，梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向。方向为该点具有最大方向导数的方向。lleGlzyxzyxeeegradleGlle1-4 标量场的方向导数与梯度标量场的方向导数与梯度zyxzyxeee 若引入算符若引入算符，在直角坐标系中该，在直角坐标系中该算符算符 可表可表示为示为grad则梯度可以表示为则梯度可以表示为1-4 标量场的方向导数与梯度标量场的方向导数与梯度梯度运算规则梯度运算规则: : CCC)()(C)()(C 0为常数为常数FF)/ -/ 2)()()()(例例1-4-11-4-1 已知标量场已知标量场 ，求（，求（2,1,32,1,3） 处方向导

16、数的最大值处方向导数的最大值 。 1),(22zyyxzyx解：根据梯度的定义，求得该标量场解：根据梯度的定义，求得该标量场 的梯度为：的梯度为： zyxzyxeeeeee22)2(2yyzxxyzyx那么，在（那么，在（2,1,32,1,3）处的梯度为）处的梯度为 ，其模，其模为为 。 因此，在（因此，在（2,1,32,1,3）处方向导数的最大值）处方向导数的最大值为为 。 zyxeee1041171171-4 标量场的方向导数与梯度标量场的方向导数与梯度1-4 标量场的方向导数与梯度标量场的方向导数与梯度例例1-4-2 计算计算 及及 。 R1 R1 表示对表示对 运算运算zyx,0Rrr

17、这里这里 表示对表示对 x, y, z 运算运算zxyr OP(x, y, z)r r r P(x , y , z )zyxzzyyxxeeeR)()()(222)()()(zzyyxxRzyxzyxeeerzyxzyxeeer解解zyxzyxeeezyxzyxeeeRRR21)1(则则zRyRxRRzyxeee又又RxxzzyyxxxxxxzzyyxxxzzyyxxxR) () () ( ) (2 .) () () (21 ) () () (22221222222同理同理RyyyRRzzzR1-4 标量场的方向导数与梯度标量场的方向导数与梯度RR11表示源点，表示源点，P 表示场点。表示场点

18、。 P1-4 标量场的方向导数与梯度标量场的方向导数与梯度因此因此23211)1(RRRRRReR同理同理231)1( RRRReRRRzzRyyRxxRzyxReee则则 矢量矢量 A 沿某一有向曲面沿某一有向曲面 S 的的面积分面积分称为矢量称为矢量 A 通过通过该有向曲面该有向曲面 S 的通量，以标量的通量，以标量 表示，即表示，即 1 矢量场的通量矢量场的通量S d SA通量可为通量可为正正、负负或或零零。 当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产生该矢量场的生该矢量场的源源；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭；当矢量进入这个闭合面时，认为

19、该闭合面中存在汇聚该矢量场的合面中存在汇聚该矢量场的洞洞（或（或汇汇）。）。1-5 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 闭合的有向曲面的闭合的有向曲面的方向方向通常规定为闭合面的通常规定为闭合面的外外法线方向。法线方向。 当闭合面中有当闭合面中有源源时，矢量通过该闭合面的通量时，矢量通过该闭合面的通量一定为一定为正正；反之，当闭合面中有；反之，当闭合面中有洞洞时，矢量通过该时，矢量通过该闭合面的通量一定为闭合面的通量一定为负负。前述的前述的源源称为称为正源正源，而，而洞洞称为称为负源负源。dS ASS 1-5 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 已已知真空中的电场强度知真空中的电场强度 E

20、 通过任一闭合曲面的通过任一闭合曲面的通量等于该闭合面包围的自由电荷的电荷量通量等于该闭合面包围的自由电荷的电荷量 q 与真与真空介电常数空介电常数 0 之比，即，之比，即， 当闭合面中存在当闭合面中存在正正电荷时，通量为电荷时，通量为正正。当闭合。当闭合面中存在面中存在负负电荷时，通量为电荷时，通量为负负。在电荷不存在的。在电荷不存在的无无源区源区中，穿过任一闭合面的通量为中，穿过任一闭合面的通量为零零。 0dSqES1-5 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 通量仅能表示闭合面中源的通量仅能表示闭合面中源的总总量，它不能显示源量，它不能显示源的的分布分布特性。为此需要研究矢量场的特性。为

21、此需要研究矢量场的散度散度。 当闭合面当闭合面 S 向某点向某点无限无限收缩时，矢量收缩时，矢量 A 通过该闭通过该闭合面合面 S 的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场矢量场 A 在该点的在该点的散度散度，以，以 div A 表示，即表示，即 0 ddiv limSVVASA式中，式中，div 是英文字是英文字divergence 的缩写；的缩写； V 为闭合面为闭合面 S 包围的体积。包围的体积。1-5 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度2 矢量场的散度矢量场的散度 0 ddiv limSVVASA上式表明，上式表明，散度是一个标量散度是一

22、个标量，它可理解为通过包围，它可理解为通过包围单位体积单位体积闭合面的通量。散度代表闭合面的通量。散度代表源的强度。源的强度。直角直角坐标系中散度可表示为坐标系中散度可表示为 div yxzAAAxyzA因此散度可用算符因此散度可用算符 表示为表示为div AA1-5 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 div d dVSV AAS散度定理散度定理 d dVSVAAS或者写为或者写为 从从数学数学角度可以认为散度定理建立了角度可以认为散度定理建立了面面积分和积分和体体积分的关系。积分的关系。 从从物理物理角度可以理解为散度定理建角度可以理解为散度定理建立了立了区域区域 V 中的场和包围区域中

23、的场和包围区域 V 的边界的边界 S 上的场之上的场之间的关系。因此，如果已知区域间的关系。因此，如果已知区域 V 中的场，中的场， 根据根据散散度度定理即可求出边界定理即可求出边界 S 上的场，反之亦然。上的场，反之亦然。1-5 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度散度运算规则散度运算规则: : CC AAAAABABA)()(C)()(为常数拉普拉斯算子拉普拉斯算子: :直角坐标系中直角坐标系中zyxzyxeeezAyAxAzyx A1-5 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度222222 )(zyxzyxzyxeee因此因此2)(1-5 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度式中式中 称为

24、拉普拉斯算子。称为拉普拉斯算子。2直角坐标系表达式：直角坐标系表达式：2222222zyx例例 求空间任一点位置矢量求空间任一点位置矢量 r 的散度的散度 。3zzyyxxr求得求得zyxzyxeeer已知已知解解rOxzyxzy1-5 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度zyxzyxeee标量场的标量场的梯度梯度 0 ddiv limSVVASAzAyAxAzyx A矢量场的矢量场的散度散度矢量场的矢量场的旋度旋度？zyxzyxeee算子算子1-5 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 矢量场矢量场 A 沿一条有向闭合曲线沿一条有向闭合曲线 l 的的线积分线积分称为称为矢量场矢量场 A 沿该

25、曲线的沿该曲线的环量环量，以，以 表示，即表示，即1. 矢量场的环量矢量场的环量 dlAl可见，若在闭合有向曲线可见，若在闭合有向曲线 l 上，矢量场上，矢量场 A 的方向处的方向处处与线元处与线元 dl 的方向保持的方向保持一致一致，则环量，则环量 0；若处；若处处处相反相反，则，则 0 。可见，环量可以用来描述矢量。可见，环量可以用来描述矢量场的场的旋涡旋涡特性。特性。l1-6 矢量场的环量与旋度矢量场的环量与旋度 已知真空中磁通密度已知真空中磁通密度 B 沿任一闭合有向曲线沿任一闭合有向曲线 l 的的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度 I 与真空磁与

26、真空磁导率导率 0 的乘积。即的乘积。即 式中，电流式中，电流 I 的正方向与的正方向与 dl 的方向构成的方向构成 右旋右旋 关系。关系。0 dlIBl 环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但是环量代表的是闭合曲线包围的是环量代表的是闭合曲线包围的总总的源强度，它不能的源强度，它不能显示源的显示源的分布分布特性。为此，需要研究矢量场的特性。为此，需要研究矢量场的旋度旋度。I1 I21-6 矢量场的环量与旋度矢量场的环量与旋度 旋度旋度是一个矢量。以符号是一个矢量。以符号 curl A 表示矢量表示矢量 A 的旋度，的旋度，其其方向方向是使矢量是使

27、矢量 A 具有具有最大最大环量强度的方向，其环量强度的方向，其大小大小等等于对该矢量方向的最大环量于对该矢量方向的最大环量强度强度，即，即 maxn0 dcurl limlSSAlAe式中式中 curl 是旋度的英文字是旋度的英文字；en 为为最大环量强度的方向上最大环量强度的方向上的单位矢量，的单位矢量，S 为闭合曲线为闭合曲线 l 包围的面积。包围的面积。 矢量场的旋度大小可以认为是包围单位面积的闭合矢量场的旋度大小可以认为是包围单位面积的闭合曲线上的曲线上的最大最大环量。环量。 1-6 矢量场的环量与旋度矢量场的环量与旋度en1en2en2. 矢量场的旋度矢量场的旋度直角直角坐标系中，旋

28、度可用矩阵表示为坐标系中，旋度可用矩阵表示为 curl xyzxyzxyzAAAeeeA或者或者curl AA 无论梯度、散度或旋度都是无论梯度、散度或旋度都是微分运算微分运算，它们表示，它们表示场在场在某点某点附近的变化特性。因此，附近的变化特性。因此，梯度、散度及旋度梯度、散度及旋度描述的是场的描述的是场的点点特性或称为特性或称为微分微分特性特性。 函数的函数的连续性连续性是可微的必要条件。因此在场量发是可微的必要条件。因此在场量发生生不连续不连续处，也就处，也就不存在不存在前述的梯度、散度或旋度。前述的梯度、散度或旋度。 1-6 矢量场的环量与旋度矢量场的环量与旋度旋度定理旋度定理（斯托

29、克斯定理斯托克斯定理） (curl ) d dSlASAl 从数学角度可以认为从数学角度可以认为旋度旋度定理建立了定理建立了面面积分和积分和线线积分的关系。从物理角度可以理解为积分的关系。从物理角度可以理解为旋度旋度定理建立了定理建立了区域区域 S中的场和包围区域中的场和包围区域 S 的的边界边界 l 上的场之间的关上的场之间的关系。因此，如果已知区域系。因此，如果已知区域 S 中的场，根据旋度定理即中的场，根据旋度定理即可求出边界可求出边界 l 上的场，反之亦然。上的场，反之亦然。 () d dSlASAl或者或者1-6 矢量场的环量与旋度矢量场的环量与旋度旋度运算规则旋度运算规则: :AA

30、AAABABA CC )()(C)()(为常数1-6 矢量场的环量与旋度矢量场的环量与旋度例例1-6-1 证明证明 ，式中，式中 为常矢量，为常矢量， 为位为位置矢量。置矢量。CrC2)(Cr证：令证：令 ，而，而 ， 则则 zyxeeeCzyxCCCzyxeeerzyx那么那么CeeerCzyx2)()()()(zzyyxxCCCCCCzyxCCCzyxzyxeeerC)()()( xCyCzCxCyCzCyxzxzyzyxeee1-6 矢量场的环量与旋度矢量场的环量与旋度 散度处处为散度处处为零零的矢量场称为的矢量场称为无散场无散场，旋度处处，旋度处处为为零零的矢量场称为的矢量场称为无旋场

31、无旋场。 可以证明可以证明0)(A 上式表明，上式表明，任一矢量场任一矢量场 A 的旋度的散度一定等的旋度的散度一定等于零于零 。因此，任一。因此，任一无散无散场可以表示为另一矢量场的场可以表示为另一矢量场的旋度旋度，或者说，任何，或者说，任何旋度旋度场一定是场一定是无散无散场。场。1-7 无散场和无旋场无散场和无旋场 可用来判断矢量场是否为旋度场可用来判断矢量场是否为旋度场。0 ABA如若：如若：则：则：即：即： 一定是旋度场。一定是旋度场。A 上式表明，上式表明，任一标量场任一标量场 的梯度的旋度一定的梯度的旋度一定等于零等于零。因此，任一。因此，任一无旋无旋场一定可以表示为一个场一定可以

32、表示为一个标量场的标量场的梯度梯度，或者说，任何，或者说，任何梯度梯度场一定是场一定是无旋无旋场场。 0)(又可证明又可证明1-7 无散场和无旋场无散场和无旋场 可用来判断标量场是否为梯度场可用来判断标量场是否为梯度场。如若：如若：则：则：即：即： 一定是梯度场。一定是梯度场。A0AA例例1-7-11-7-1：矢量矢量 能否表示能否表示成某矢量场的旋度？说明理由。成某矢量场的旋度？说明理由。zyxeeeAzxxy2)23(220202zAyAxAzyxA 说明：矢量说明：矢量 是无散场。因为是无散场。因为任一无散场可任一无散场可以表示成另一矢量场的旋度以表示成另一矢量场的旋度，因此，因此， 可

33、以表示可以表示成某矢量场的旋度。成某矢量场的旋度。AA解：对矢量解：对矢量 求散度。求散度。A1-7 无散场和无旋场无散场和无旋场例例1-7-21-7-2：矢量矢量 是否为梯度场？是否为梯度场？说明理由。说明理由。zyxeeeAxyxzyz解：对矢量解：对矢量 求旋度。求旋度。A 说明：矢量说明：矢量 是无旋场。因为是无旋场。因为任何梯度场一任何梯度场一定是无旋场定是无旋场，因此，因此， 是梯度场。是梯度场。AA0)()()( zzyyxxxyxzyzzyxAAAzyxzyxzyxzyxzyxeeeeeeeeeA1-7 无散场和无旋场无散场和无旋场 设任意两个标量场设任意两个标量场 及及，若在

34、区域若在区域 V 中具有连续的二阶偏中具有连续的二阶偏导数，可以证明该两个标量场导数，可以证明该两个标量场 及及 满足下列等式满足下列等式SV,ne2 ()ddVSVSn式中式中S 为包围为包围V 的闭合曲面；的闭合曲面； 为标量场为标量场 在在 S 表面表面的外法线的外法线 en 方向上的偏导数。方向上的偏导数。n1-8 格林定理格林定理根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成2 ()d() dVSV S上两式称为上两式称为标量第一格林定理标量第一格林定理。22 ()ddVSVSnn22 ()d dVSV S基于上式还可获得下列两式：基于上式还可获得下列两

35、式：上两式称为上两式称为标量第二格林定理标量第二格林定理。 1-8 格林定理格林定理 设任意两个矢量场设任意两个矢量场 P 与与 Q ，若在区域，若在区域 V 中具有连中具有连续的二阶偏导数，那么，可以证明该矢量场续的二阶偏导数，那么，可以证明该矢量场 P 及及 Q 满足下列等式：满足下列等式： () ()d dVSV PQPQPQS式中式中S 为包围为包围V 的闭合曲面；面元的闭合曲面；面元 dS 的方向为的方向为S 的外的外法线方向。上式称为法线方向。上式称为矢量第一格林定理矢量第一格林定理。 1-8 格林定理格林定理基于上式还可获得下式：基于上式还可获得下式： ()(d dVSV QPP

36、QPQQPS此式称为此式称为矢量第二格林定理矢量第二格林定理。1-8 格林定理格林定理 格林定理建立了格林定理建立了区域区域 V 中的场与中的场与边界边界 S 上的场上的场之间的关系。因此，利用格林定理可以将之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域区域中场的中场的求解问题转变为求解问题转变为边界边界上场的求解问题。上场的求解问题。 格林定理说明了格林定理说明了两种两种标量场或矢量场之间应该满标量场或矢量场之间应该满足的关系。因此，如果已知其中足的关系。因此，如果已知其中一种一种场的分布特性，场的分布特性，即可利用格林定理求解即可利用格林定理求解另一种另一种场的分布特性。场的分布特性。1-8 格

37、林定理格林定理 位于某一区域中的矢量场，当其位于某一区域中的矢量场，当其散度散度、旋度旋度以及边以及边界上场量的界上场量的切向切向分量或分量或法向法向分量给定后，则该区域中的分量给定后，则该区域中的矢量场被惟一地确定。矢量场被惟一地确定。 已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见惟一性已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见惟一性定理表明，矢量场被其定理表明，矢量场被其源源及及边界条件边界条件共同决定。共同决定。VSF(r)tn FFFF和 及或1-9 矢量场的惟一性定理矢量场的惟一性定理 若矢量场若矢量场 F(r) 在在无限无限区域中处处是区域中处处是单值单值的，的， 且其且其导数连续有界导数连

38、续有界，源分布在，源分布在有限有限区域区域V 中，则当矢量场中，则当矢量场的的散度散度及及旋度旋度给定后，该矢量场给定后，该矢量场 F(r) 可以表示为可以表示为 )()()(rArrFVVd)(41)(rrrFrAVVd)(41)(rrrFr式中式中V zxyr Or r r F(r)1-10 亥姆霍兹定理定理亥姆霍兹定理定理 )()()(rArrF1-10 亥姆霍兹定理定理亥姆霍兹定理定理 （1）无限空间中的矢量场被其）无限空间中的矢量场被其散度散度及及旋度旋度惟一的确定，惟一的确定，而且它给出了而且它给出了场场与与源源之间的定量关系。之间的定量关系。（2）已知，梯度场是无旋场，旋度场是无散场。所以，）已知，梯度场是无旋场，旋度场是无散场。所以，任一矢量场均可表示为一个任一矢量场均可表示为一个无旋场无旋场与一个与一个无散场无散场之和之和。（3 3）如果矢量场的散度及旋度已知，即可求出该矢量）如果矢量场的散度及旋度已知，即可求出该矢量场。因此，场。因此，矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的首矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的首要问题要问题。定理表明：定理表明：直角坐标系直角坐标系( ( x, y , z ) )zxyz = z0 x = x0y = y0P0zexeyeO1-11 正交曲面坐标系正交曲面坐标系 曲面坐标系各坐标曲面坐标系各坐