第四章李雅普诺夫稳定性理论

1、14.1 稳定性基本概念稳定性基本概念4.2 李雅普诺夫稳定性的定义李雅普诺夫稳定性的定义 4.3 李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法4.4 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法4.5 线性定常系统渐近稳定性判别法线性定常系统渐近稳定性判别法第四章第四章 李雅普诺夫稳定性理论李雅普诺夫稳定性理论4.6构造李雅普诺夫函数的一些方法构造李雅普诺夫函数的一些方法21.正确理解稳定性基本概念和李雅普诺夫意义稳正确理解稳定性基本概念和李雅普诺夫意义稳定性概念。定性概念。2.熟练掌握李氏第一法熟练掌握李氏第一法,李氏第二法。李氏第二法。3.掌握线性系统渐近稳定性分析和离散系统渐近掌握线性系统渐近稳定性分析和离散

2、系统渐近稳定性分析方法。稳定性分析方法。重点内容：重点内容： 李雅普诺夫第一、第二法的主要定义与定理，李雅普诺夫第一、第二法的主要定义与定理，李雅普诺夫函数的构造。李雅普诺夫函数的构造。线性定常系统与非线性系统稳定性定理与判别线性定常系统与非线性系统稳定性定理与判别李雅普诺夫方程，渐近稳定性的分析与判别。李雅普诺夫方程，渐近稳定性的分析与判别。3v研究的目的和意义研究的目的和意义:稳定性是自动控制系统稳定性是自动控制系统正常工作的必要条件，是一个重要特征。正常工作的必要条件，是一个重要特征。v要求：要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡在受到外界扰动后，虽然其原平衡状态被打破，但在扰动消失后，仍

3、然能恢状态被打破，但在扰动消失后，仍然能恢复到原来的平衡状态，或者趋于另一平衡复到原来的平衡状态，或者趋于另一平衡状态继续工作。状态继续工作。v稳定性：稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收敛性，而与输入作用无统状态方程解的收敛性，而与输入作用无关。关。4v经典控制理论稳定性判别方法：经典控制理论稳定性判别方法：代数判据，代数判据，奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据v非线性系统：非线性系统：相平面法相平面法(适用于一，二阶非线适用于一，二阶非线性系统性系统)5v1892年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳年，俄国学者李雅普诺

4、夫提出的稳定性定理采用了状态向量来描述，适用定性定理采用了状态向量来描述，适用于单变量，线性，非线性，定常，时变，于单变量，线性，非线性，定常，时变，多变量等系统。多变量等系统。v应用：自适应控制，最优控制，非线性应用：自适应控制，最优控制，非线性控制等。控制等。6主要内容：主要内容：v李氏第一法（间接法）：李氏第一法（间接法）：求解特征方程求解特征方程 的特征值的特征值v李氏第二法（直接法）：李氏第二法（直接法）：利用经验和技利用经验和技巧来构造李氏函数巧来构造李氏函数74.1 稳定性基本概念稳定性基本概念 1.自治系统：自治系统：输入为输入为0的系统的系统 =Ax+Bu(u=0) 2.初态

5、初态 =f(x,t)的解为的解为 初态初态 3.平衡状态：平衡状态： 系统的平衡状态系统的平衡状态 a.线性系统线性系统 A非奇异：非奇异： A奇异：奇异： 有无穷多个有无穷多个x x 00( ;, )x t x t0000),(xtxtx0),(txfxeeexAxx nRx00eexAx 0eAxex8b.非线性系统非线性系统 可能有多个可能有多个 例例4-1: 令令 0),(txfxeex3221211xxxxxx01x 02x 001ex102ex103ex94. 孤立的平衡状态：孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分在某一平衡状态的充分小的邻域内不存在别的平衡状态。小的邻域内不存在别的

6、平衡状态。 对于孤立的平衡状态，总可以经过适当的对于孤立的平衡状态，总可以经过适当的坐标变换，把它变换到状态空间的原点。坐标变换，把它变换到状态空间的原点。104.2 李雅普诺夫稳定性的定义李雅普诺夫稳定性的定义 1.李雅普诺夫意义下的稳定李雅普诺夫意义下的稳定如果对每个实数如果对每个实数 都对应存在另一都对应存在另一个实数个实数 满足满足00),(0t),(00txxe的任意初始态的任意初始态 出发的运动轨迹出发的运动轨迹0 x00( ;, )x t x t，在，在 都满足：都满足：t11000( ;, ) , ex t x txtt则称则称 是李雅普诺夫意义下稳定的。是李雅普诺夫意义下稳定

7、的。时变：时变： 与与 有关有关 定常系统：定常系统： 与与 无关，无关， 是一致稳定的。是一致稳定的。注意：注意： 向量范数向量范数(表示空间距离表示空间距离) 欧几里得范数。欧几里得范数。exex0t0t 212021100)()(neneexxxxxx122.渐近稳定渐近稳定1）xe是李雅普诺夫意义下的稳定是李雅普诺夫意义下的稳定2） 一致渐近稳定一致渐近稳定3.大范围内渐近稳定性大范围内渐近稳定性对对 都有都有00lim( ;, )0etx t x tx无关与0t)(0sx 00lim( ;, )0etx t x tx13x ( ),s 大范围稳定exex初始条件扩展到整个空间，且是渐

8、近稳定性。初始条件扩展到整个空间，且是渐近稳定性。v线性系统线性系统(严格严格)：如果它是渐近稳定的，必如果它是渐近稳定的，必 是有大范围渐近稳定性是有大范围渐近稳定性(线性系统稳定性与初线性系统稳定性与初 始条件的大小无关始条件的大小无关)。v非线性系统：非线性系统：只能在小范围一致稳定，由状只能在小范围一致稳定，由状 态空间出发的轨迹都收敛态空间出发的轨迹都收敛 或其附近。或其附近。14v 当当 与与 无关无关 大范围一致渐近稳定。大范围一致渐近稳定。v 必要条件：必要条件：在整个状态空间中只有一个平在整个状态空间中只有一个平衡状态衡状态 4. 不稳定性：不稳定性：不管不管 ， 有多小，只

9、要有多小，只要 内由内由 出发的轨迹超出出发的轨迹超出 以外，则称此以外，则称此平衡状态是不稳定的。平衡状态是不稳定的。0tex)(s0 x)(s15 线性系统的平衡状态不稳定线性系统的平衡状态不稳定 表征系统不稳定。表征系统不稳定。 非线性系统的平衡状态不稳定非线性系统的平衡状态不稳定 只说明轨迹离只说明轨迹离开了开了S( ），这说明平衡状态是不稳定的。然而），这说明平衡状态是不稳定的。然而却不能说明轨迹将趋于无穷远处，这是因为轨却不能说明轨迹将趋于无穷远处，这是因为轨迹还可能趋于在迹还可能趋于在S( ）外的某个极限环）外的某个极限环,若存在若存在极限环，则系统仍是李雅普诺夫意义下的稳定。极

10、限环，则系统仍是李雅普诺夫意义下的稳定。16图图4.1（a）稳定平衡状态及一条典型轨迹）稳定平衡状态及一条典型轨迹（b）渐近稳定平衡状态及一条典型轨迹）渐近稳定平衡状态及一条典型轨迹（c）不稳定平衡状态及一条典型轨迹）不稳定平衡状态及一条典型轨迹174.3 李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法（间接法）（间接法） 利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。1. 线性定常系统稳定性的特征值判据线性定常系统稳定性的特征值判据1）李雅普诺夫意义下的稳定的充要条件：）李雅普诺夫意义下的稳定的充要条件： 2）渐近稳定的充要条件：）渐近稳定的充要条件：Axx 0)0(xx0t

11、Re()0ini, 2 , 10)Re(i ni, 2 , 13）不稳定的充要条件：）不稳定的充要条件：0)Re(i 182. 非线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性分析 假定非线性系统在平衡状态附近可展假定非线性系统在平衡状态附近可展开成台劳级数，可用线性化系统的特征值开成台劳级数，可用线性化系统的特征值判据判断非线性系统的平衡状态处的稳定判据判断非线性系统的平衡状态处的稳定性。性。 设非线性系统状态方程：设非线性系统状态方程： 在平衡状态在平衡状态 附近存在各阶偏导数，附近存在各阶偏导数，于是：于是： )(xfx )(xf-非线性函数非线性函数ex19()()( )eeeTx xfxf

12、xxxg xx其中：其中：)(xg-级数展开式中二阶以上各项之和级数展开式中二阶以上各项之和nnnnnTxfxfxfxfxfxfxf211211120v上式为向量函数的上式为向量函数的雅可比矩阵雅可比矩阵。 令令 则线性化系统方程为：则线性化系统方程为： Tnffff21Tnxxxx21()exxf x exxxexxTxfAxA x 21结论：结论：1) 若若 ，则非线性系，则非线性系统在统在 处是处是渐近稳定的渐近稳定的，与，与 无关。无关。2) 若若 , 则非线性系统则非线性系统不稳定不稳定。3) 若若 ，稳定性与稳定性与 有关，有关， 则是李雅普诺夫意义下的稳定。则是李雅普诺夫意义下的

13、稳定。 Re()0ini, 2 , 1ex)(xgRe()0iRe()0jnji, 1,Re()0i)(xg0)(xg22例例4-2：已知非线性系统的状态方程为：已知非线性系统的状态方程为：2111xxxx2122xxxx试分析系统在平衡状态处的稳定性。试分析系统在平衡状态处的稳定性。解：解：令令0021xxTeTexx1100212111xxxf2122xxxf23121211,1xxfxxf1222121,xxfxxfTex00110010, 02212211121xxxfxfxfxfA241,10) 1)(1(100121AI可见非线性系统在平衡状态可见非线性系统在平衡状态xe1处不稳定

14、。处不稳定。0110112AxTejAI2, 120111不能确定非线性系统在平衡状态不能确定非线性系统在平衡状态xe2处稳定性。处稳定性。254.4 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法(直接法直接法)v4.4.1 预备知识预备知识26 27 28 5.V(x)不定不定: v(x) 0或或V(x)0 则则 V(x) 是不定的。是不定的。12( )V xx x如：如：29302.如果如果P是奇异矩阵，且它的所有主子行列式均非负，则是奇异矩阵，且它的所有主子行列式均非负，则PxxxVT)(是正半定的。是正半定的。3.如果如果矩阵矩阵P的的奇数阶奇数阶主子行列式为主子行列式为负负值，值，偶数阶偶数阶主

15、子行列式为正值，则主子行列式为正值，则是是负负定的。定的。 PxxxVT)(0) 1( , 0) 1(, 0) 1(21222211121122211211211nnnnnnnpppppppppppppp即即: 3132v4.4.2 几个稳定性定理几个稳定性定理 设系统状态方程：设系统状态方程： 其平衡状态满足其平衡状态满足 ，假定状假定状态空间原点态空间原点作为平衡状态作为平衡状态( )，并设在原，并设在原点邻域存在点邻域存在 对对 x 的连续的一阶偏导数。的连续的一阶偏导数。),(txfx 0), 0(tf0ex),(txV33v定理定理1：若若(1) 正定；正定； (2) 负定；负定；

16、则原点是渐近稳定的。则原点是渐近稳定的。(3) 当当 时时 ,则系统在原点处是大范围渐近稳定的。则系统在原点处是大范围渐近稳定的。 说明：说明： 负定负定 能量随时间连续单调能量随时间连续单调衰减。衰减。v定理定理2：若若(1) 正定；正定； (2) 负半定；负半定； (3) 在非零状态不恒为零，在非零状态不恒为零，则原点是渐近稳定的。则原点是渐近稳定的。),(txV),(txV),(txV),(txV),(txVx),(txV),(txV34说明：说明：负半定表示在非零状态存在负半定表示在非零状态存在 , 但在从初态出发的轨迹但在从初态出发的轨迹 上，不存在上，不存在 的情况，于是系统将继续

17、运行至原点。状态轨迹的情况，于是系统将继续运行至原点。状态轨迹仅是经历能量不变的状态，而不会维持在该状态。仅是经历能量不变的状态，而不会维持在该状态。v定理定理3：若若(1) 正定；正定； (2) 负半定；负半定； (3) 在非零状态恒为零；在非零状态恒为零；则原则原点是李雅普诺夫意义下稳定的。点是李雅普诺夫意义下稳定的。说明：沿状态轨迹能维持说明：沿状态轨迹能维持 表示系统能表示系统能维持等能量水平运行，使系统维持在非零状态维持等能量水平运行，使系统维持在非零状态,而而不运行至原点。不运行至原点。0),(txV),(txV),(txV),(txV0),(txV),; (00txtx( , )

18、0V x t 35v定理定理4：若若(1) 正定；正定； (2) 正定正定 则原点是不稳定的。则原点是不稳定的。说明：说明： 正定正定 能量函数随时间增能量函数随时间增大，大， 在在 处发散。处发散。),(txV),(txV),(txV00( ;, )x t x tex36v推论推论1：当当 正定，正定， 正半定，正半定，且且 在非零状态不恒为零时在非零状态不恒为零时,则原则原点不稳定。点不稳定。v推论推论2： 正定，正定， 负半定，若负半定，若 ， ，则原点是李雅普诺夫，则原点是李雅普诺夫意义下稳定意义下稳定(同定理同定理3)。),(txV),(txV),( txV),(txV0 x0),(

19、txV),(txV37几点说明：几点说明：1) 选取不唯一，但没有通用办法，选取不唯一，但没有通用办法， 选取不当，会导致选取不当，会导致 不定的结果。不定的结果。2)李雅普诺夫第二法诸稳定性定理所述条件都李雅普诺夫第二法诸稳定性定理所述条件都是充分条件。是充分条件。),(txV),(txV),(txV38选取李雅普诺夫函数的方法选取李雅普诺夫函数的方法:构造一个构造一个 二次型函数；二次型函数；1) 求求 ，并代入状态方程；，并代入状态方程；2) 判断判断 的定号性；的定号性；3) 判断非零状态情况下，判断非零状态情况下， 是否为零。是否为零。),(txV),(txV),(txV渐近稳定渐近

20、稳定李雅普诺夫意义下稳定李雅普诺夫意义下稳定不稳定不稳定PxxxVT)(),(txV39v令令 若若 成立成立 李氏意义下稳定李氏意义下稳定 若仅若仅 成立成立 渐近稳定渐近稳定 0),(txV0),(txV0),(txV0,x 0,x 若若 负半定负半定),(txV40例例4-3：已知非线性系统的状态方程为：已知非线性系统的状态方程为： 试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性。试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性。解：解：)(2221121xxxxx)(2221212xxxxx令令01x 02x 01x02x原点是唯一平衡点原点是唯一平衡点41 设设则则2221)(xxxV221122)(xxxxxV

21、22221)(2)(xxxV0)( 0.xVx)(.xV负定负定1)原点是渐近稳定的；原点是渐近稳定的；2)只有一个平衡状态，该系统是大范围渐只有一个平衡状态，该系统是大范围渐近稳定；近稳定；3)由于由于V(x)与与t无关，又是大范围一致渐近无关，又是大范围一致渐近稳定。稳定。定理定理1x2)(xxV0)(0 xVx42v几何意义：几何意义：)()(22212221ccxxxV等能量轨迹等能量轨迹(整个平面整个平面)1c2c),(2010 xx2x1x)(xV表示状态表示状态x到状态空间原点距离的一种度量。到状态空间原点距离的一种度量。 0)(txV0)( tx如果原点与瞬时状态如果原点与瞬时

22、状态x(t)之间的距离随之间的距离随t的增加而连续的增加而连续地减小（即地减小（即），则），则最终最终 。 43例例4-4：已知非线性系统的状态方程为：已知非线性系统的状态方程为： 试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性。试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性。解：解：21xx 22212)1 (xxxx令令01x 02x 01x02x原点是唯一平衡点原点是唯一平衡点44 设设则则2221)(xxxV22222211)1 (222)(xxxxxxxV)(xV负半定负半定0)(00)(0 xVxxVx反设反设0)(xV0, 0000) 1 (212212xxxxxx代入状态方程任意及 只有平衡状态只有平衡状

23、态 满足满足021 xx0)(xV451, 0011)2(112212xxxxxx代入状态方程任意及这个结果是相矛盾的。所以这种情况不会这个结果是相矛盾的。所以这种情况不会发生在状态方程的解运动轨迹上。发生在状态方程的解运动轨迹上。综合以上分析可知综合以上分析可知,0)(,0 xVx,x2)(xxV系统在平衡状态系统在平衡状态xe=0处是大范围渐近稳定的。处是大范围渐近稳定的。46例例4-5：试判断下列线性系统平衡状态的稳定：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。性。解：解：1) 21xx 212xxx令令02x 01x02x01x 即原点是平衡状态。即原点是平衡状态。2221)(xxxV222

24、)(xxV设设47则：则：0)( 0 , 0.21xVxx0)( .xV)(.xV其它其它负半定负半定令令0)(.xV01x02x只有全零解只有全零解0 x非零状态时非零状态时0)(.xV原点原点 是渐近稳定，且是大范围是渐近稳定，且是大范围一致渐近稳定。一致渐近稳定。0ex定理定理248例例4-6：试判断下列线性系统平衡状态的稳定：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。性。解：解：设设 则则 故系统是李雅普诺夫意义下的稳定。故系统是李雅普诺夫意义下的稳定。 )0( 21kkxx 12xx 021 xx 021 xx原点是平衡状态原点是平衡状态2221)(kxxxV定理3022)(2121xkx

25、xkxxV49例例4-7：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。解解: 即即 设设 则则 可见可见 与与 无关，故非零状态无关，故非零状态(如如 )有有 ，而对其余任意状态，而对其余任意状态 有有21221 xxxxx0 21 xx0 21 xx0ex2221)(xxxV222)(xxV)(xV1x01x02x0)(xV0)(xV50 故故 正半定。正半定。 令令 即非零状态时，即非零状态时， 不恒为零，则原点不稳定不恒为零，则原点不稳定即即系统不稳定。系统不稳定。)(xV0, 00)(12xxxV)(xV推论推论1514.5 线性定常系统渐近稳定性判别法线

26、性定常系统渐近稳定性判别法1. 设系统状态方程为：设系统状态方程为： 为唯一平衡状态。为唯一平衡状态。 设选取如下的正定二次型函数设选取如下的正定二次型函数 为李氏函数为李氏函数 则：则：Axx A-非奇异矩阵非奇异矩阵0ex)(xV( )TV xx Px将将 代入：代入：Axx xPAPAxxPxPxxxVTTTT)()(线性定常连续系统渐近稳定性判别线性定常连续系统渐近稳定性判别52 令令 由渐近稳定性定理由渐近稳定性定理1，只要，只要Q正定正定(即即 负负定定)，则系统是大范围一致渐近稳定。，则系统是大范围一致渐近稳定。定理：定理：系统系统 大范围渐近稳定的充要条大范围渐近稳定的充要条

27、件为件为: 给定一正定实对称矩阵给定一正定实对称矩阵Q，存在唯一，存在唯一的正定实对称矩阵的正定实对称矩阵P使使 成立，成立，则则 为系统的一个李雅普诺夫函为系统的一个李雅普诺夫函数。数。 TA PPAQ QxxxVT)()(xVAxx TA PPAQ ( )Tx PxV x53方法方法1： 给定正定给定正定Q P的定号性的定号性 Q单位阵单位阵 P的定号性的定号性方法方法2：Q取正半定取正半定(定理定理2)允许单位矩阵主对允许单位矩阵主对 角线上部分元素为零。角线上部分元素为零。 54例例4-8：解：选取解：选取xx11100ex( )TV xx PxTA PPAQ 100111101110

28、2212121122121211PPPPPPPP551212 p0221211ppp1222212 pp121212322121211pppp2311p2112p122p5602311p0121212322121211ppppP正定正定 是大范围一致渐近稳定是大范围一致渐近稳定ex)()(2221xxxV)223(21)(222121xxxxPxxxVT李雅普诺夫函数为李雅普诺夫函数为 :且且573x2x1xu1sK21ss1例例4-9: 试用李雅普诺夫方程确定下图所示系统试用李雅普诺夫方程确定下图所示系统渐近稳定的渐近稳定的K值范围。值范围。58解解 容易推得系统的状态方程为容易推得系统的状

29、态方程为:uKxxxKxxx0010120010321321 在确定渐近稳定的在确定渐近稳定的K值范围时，假设输入值范围时，假设输入u为零。为零。 于是上式可写为于是上式可写为:)1 .4(21xx ) 2 . 4(2322xxx)3 . 4(313xKxx由式由式(4.1）到（）到（4.3）可知，原点是平衡状态。）可知，原点是平衡状态。假设取正半定的实对称矩阵假设取正半定的实对称矩阵Q为为:59100000000Q由于除原点外由于除原点外( )V xx QxT 不恒等于零，不恒等于零，因此可选上式的因此可选上式的Q。为了证实这一点，注意为了证实这一点，注意)(,)(23xVxQxxxVT00

30、00)(213xxxxV取取于是于是( )V x只在原点处才恒等于零。只在原点处才恒等于零。 为负半定。为负半定。因此可选择正半定因此可选择正半定Q用于用于Lyapunov方程。方程。 60现在求解如下现在求解如下Lyapunov方程方程:QPAPAT1000000001012001011002100332313232212131211332313232212131211KppppppppppppppppppK 对对P的各元素求解，可得的各元素求解，可得: 61KKKKKKKKKKKKKKKP212621202122123212602126212122为使为使P成为正定矩阵，其充要条件为成为正

31、定矩阵，其充要条件为:0212K0K和和即即 系统渐近稳定。也就是说，系统渐近稳定。也就是说，原点是大范围一致渐近稳定的。原点是大范围一致渐近稳定的。 60 K622. 线性定常离散系统渐近稳定性判别线性定常离散系统渐近稳定性判别 设系统状态方程：设系统状态方程： 其中其中 -非奇异阵，非奇异阵， 是平衡状态。是平衡状态。 设设)() 1(kxkx0ex ( )( )( )TV x kxk Px k63 ( ) (1) ( )(1)(1)( )( )( )( )( )( )( ) ( )TTTTTTV x kV x kV x kxkPx kxk Px kx kPx kxk Px kxkPP x

32、 k 令令TPPQ 李氏代数方程李氏代数方程)()()(kQxkxkxVT64定理：定理：系统系统 渐近稳定的渐近稳定的 充要条件为：充要条件为： 给定任一正定实对称矩阵给定任一正定实对称矩阵Q，存在一个正定实对，存在一个正定实对称矩阵称矩阵P，使式，使式 成立，成立， 则则 是系统的一个李氏函数。是系统的一个李氏函数。 可取可取i. Q=Iii.如果如果 且且 可取可取Q为正半定阵。为正半定阵。)() 1(kxkxTPPQ ( )( )Txk Px k0V00 xV654.6 构造李雅普诺夫函数的一些方法构造李雅普诺夫函数的一些方法克拉索夫斯基方法克拉索夫斯基方法给出了非线性系统给出了非线性系统平衡状态渐近稳定的平衡状态渐近稳定的充分条件充分条件。 克拉索夫斯基定理克拉