第四讲下-球坐标中的分离变量法

1、2022-2-212.3 2.3 球坐标中的分离变量法球坐标中的分离变量法一、球坐标系中拉普拉斯方程的分离变量一、球坐标系中拉普拉斯方程的分离变量02 u0sin1sinsin112222222ururrurrr2022-2-22xyzrO球坐标系球坐标系xyzOz柱坐标系柱坐标系2022-2-23 ,YrRru1 sin1sinsin112222llYYYYdrdRrdrdR112lldrdRrdrdR分离变量分离变量欧勒型方程欧勒型方程012 2RllrRRr1)(llBrArrR2022-2-2401sin1sinsin1222YllYY球函数方程球函数方程进一步分离变量：进一步分离变量

2、： ,Y2222 1sin1sinsinmddlldddd2022-2-250 222mdd01sinsinsin122llmdddd 2 , 2, 1, 0 ,meim2022-2-2601sinsinsinsinsin122llmdxddxd xyx ,cosdxddxdddxddsin0111222xmlldxdxdxd缔合勒让德方程缔合勒让德方程2022-2-27 lmlmllmmlxdxdlxxP1!2122/2lml, 2, 1, 0;, 2 , 1 , 0本征函数即为缔合勒让德函数：本征函数即为缔合勒让德函数：如果问题具有轴对称，可选如果问题具有轴对称，可选z z轴为对称轴为对称

3、轴，则问题与轴，则问题与 无关，本征函数简化为无关，本征函数简化为勒让德函数：勒让德函数： lllllxdxdlxP1!212l=0,1,2,2022-2-28二、球函数二、球函数 immllmePCYcos ,Clm可任取，可任取，一般一般取其满足：取其满足：2,1lmYdlml, 2, 1, 0;, 2 , 1 , 02022-2-292002,sin1lmYdd022cossin21mllmPdC! ! 12412mlmllClm! ! 412mlmllClm2022-2-210immllmePmlmllYcos! ! 412,lml, 2, 1, 0;, 2 , 1 , 02022-2

4、-211 的正交归一关系及cosmlmP202mmimimdee 110! ! 122 sincoscosllmlmlmlmlmlmllxPxPdPP缔合勒让德函数正缔合勒让德函数正交归一关系交归一关系200*,sinmmllmllmYYdd2022-2-212前几个球函数：前几个球函数：4100Ycos4310YieYsin831, 11cos31650, 2YieYsincos8151, 2ieY222, 2sin32152022-2-213z轴对称轴对称: :m=0lmmlllmllmlmmlllmllmmPrDrCmPrBrArusincos coscos,11llllllPrBrAr

5、ucos,1球对称球对称: :l= =m=0=0 rBAru三、拉普拉斯方程的通解三、拉普拉斯方程的通解2022-2-214四、球坐标系中亥姆霍兹方程的分离变量四、球坐标系中亥姆霍兹方程的分离变量0sin1sinsin1122222222ukururrurrr012 222RllrkrRRr krBnkrAjrRll lmmlllmllmlmmlllmllmmPkrjDkrjCmPkrjBkrjArusincos coscos,类似于拉普拉斯方程的分离变量类似于拉普拉斯方程的分离变量球贝塞尔函数球贝塞尔函数诺诶函数诺诶函数2022-2-215例例 1 1 在均匀外电场在均匀外电场E0 0中置入

6、半径为中置入半径为 r0 0的导体的导体球，取球心为坐标原点，导体球上接有电池，球，取球心为坐标原点，导体球上接有电池，使球与地保持电势差为使球与地保持电势差为u0 0，求球内、外的电势。，求球内、外的电势。设导体球置入前坐标原点的电势为零设导体球置入前坐标原点的电势为零五、球形域上的定解问题五、球形域上的定解问题2022-2-216u1u2u0E0除球面上有自由电荷分布外，除球面上有自由电荷分布外，球内、外均无自由电荷分布，球内、外均无自由电荷分布，故故u1 1与与u2 2均满足拉普拉斯方程均满足拉普拉斯方程如图选取坐标系，原点在球心、如图选取坐标系，原点在球心、极轴沿极轴沿E0 0方向的球

7、坐标系方向的球坐标系解：解：xyzrO球坐标系球坐标系2022-2-217012 , 0rru022 , 0rrucos02limrEur 00102ururu1 1、定解问题、定解问题2022-2-21801uu cos12llllllPrBrAu2 2、根据对称性得通解形式、根据对称性得通解形式2022-2-219coscos0rEPrAllll3 3、根据边界条件求系数、根据边界条件求系数1 0 ,01lAEAlcoscos102llllPrBrEucos02limrEur2022-2-220 00102ururu01000coscosuPrBrEllll1 , 0 0 , ,30010

8、00lBrEBruBl23000002coscosrrErrurEu外场外场电池电池感应感应2022-2-221 例例2 2 半球的球面保持一定温度半球的球面保持一定温度u0cos ，半，半球底面保持零度，试求这个半球的稳定温度球底面保持零度，试求这个半球的稳定温度分布，设球半径为分布，设球半径为r0 0如图选取坐标系，如图选取坐标系，原点在球心原点在球心解：解：xyzrO球坐标系球坐标系u0cos2022-2-22220 , , 002rru1 1、定解问题、定解问题cos,00uru02,ru2022-2-2232 2、将、将u作奇延拓，将半球问题转化为全球问题作奇延拓，将半球问题转化为全

9、球问题0 , , 002rrucos,00uru有限, 0u因因为为Pl(x)定义在区间定义在区间-1,1,即即 在区间在区间0, 。目前的。目前的 区间为区间为0, /2，所以要作，所以要作奇延拓。奇延拓。以以 = /2为对称为对称点，点，cos 正好是奇延拓正好是奇延拓u0cos2022-2-224xyzrO球坐标系球坐标系cos 关于点关于点 = /2为为点对称点对称，故故cos 正好是从正好是从0, /2到到0, 0, 的的奇延拓奇延拓2022-2-225cos12llllllPrBrAu2 2、根据对称性得通解形式、根据对称性得通解形式3 3、根据边界条件求系数、根据边界条件求系数有

10、限, 0u0lB2022-2-226coscos100PuPrAllll1 0 ,001lAruAl20 ,cos,00rruru2022-2-227例例3 3 在上例中，若半球底面绝热，求在上例中，若半球底面绝热，求这个半球里的稳定温度分布。这个半球里的稳定温度分布。20 , , 002rrucos,00uru02,ru1 1、定解问题、定解问题2022-2-2282 2、将、将u作偶延拓，将半球问题作偶延拓，将半球问题转化为全球问题转化为全球问题0 , , 002rrucos,00uru有限, 0u因导数为零，应以因导数为零，应以 = /2作偶延拓。以作偶延拓。以 /2为对称为对称点，点，|cos |为偶延拓为偶延拓u0cos2022-2-229xyzrO球坐标系球坐标系|cos |关于点关于点 = /2为为轴对称轴对称，故故|cos |正好是从正好是从0, /2到到0, 0, 的的偶延拓偶延拓2022-2-230cos12llllllPrBr