第二章平面向量小结复习课zx

1、平面向量复习课平面向量复习课一一. .基本概念基本概念1.1.向量及向量的模、向量的表示方法向量及向量的模、向量的表示方法1)1)图形表示图形表示2)2)字母表示字母表示3)3)坐标表示坐标表示ABaAB 有向线段有向线段AB:| |aAB 向量的模( , )axiy jx y( , )( , )aOAx yA x y 点(,)BABAaABxxyy 一一. .基本概念基本概念2.2.零向量及其特殊性零向量及其特殊性3.3.单位向量单位向量a0aa0)5(00)4(00)3(a/0)2(0)1( 方方向向任任意意 0)6( a0)7(00|a|a 0aa共共线线的的单单位位向向量量与与非非零零

2、向向量量一一. .基本概念基本概念4.4.平行向量平行向量5.5.相等向量相等向量6.6.相反向量相反向量方向相同或相反方向相同或相反的非零向量叫做平行向量的非零向量叫做平行向量长度相等且方向相同长度相等且方向相同的向量叫做相等向量的向量叫做相等向量.在保持在保持长度和方向不变的前提下长度和方向不变的前提下,向量可以平行移动向量可以平行移动.平移先后两向量相等平移先后两向量相等任一组平行向量都可平移到同一直线上任一组平行向量都可平移到同一直线上( (共线向量共线向量) )区分向量平行、共线与几何平行、共线区分向量平行、共线与几何平行、共线长度相等且方向相反长度相等且方向相反的向量叫做相反向量的

3、向量叫做相反向量.0)a(a, a)a( 注意：保证同起点，若不是则平移到同一起点注意：保证同起点，若不是则平移到同一起点0,7.7.两个非零向量两个非零向量 的夹角的夹角ab与一一. .基本概念基本概念ABC1.向量加法的三角形法则向量加法的三角形法则2.向量加法的平行四边形法则向量加法的平行四边形法则3.向量减法的三角形法则向量减法的三角形法则abABBCAC ABCDabABADAC 中，abABADDB 首尾相接首尾相接共起点共起点共起点共起点二二. .基本运算（向量途径）基本运算（向量途径）向量加法的运算律向量加法的运算律( (交换律、结合律）交换律、结合律）在同一个平行四边形中把握

4、：在同一个平行四边形中把握：及其模的关系及其模的关系ba, ba, b, a |b|a|ba|b|a| 2222|2(| | | )a ba babADBCab;ABDC ADBC ;ACabDBab 3.3.实数与向量的积实数与向量的积是一个向量是一个向量共共线线的的向向量量是是一一个个与与 aa 二二. .基本运算（向量途径）基本运算（向量途径）a| | |0,00,000,0aaaaaaaaaa其长度：其方向：若则当时，与 同向；当时与 反向；当时方向任意若则对于任意的实数 ，都有4.4.两个非零向量两个非零向量 的的数量数量积积ab与a b | |cosab向量数量积的几何意义向量数量

5、积的几何意义|cosbba叫做向量 在 方向上的投影注意：投影为实数，注意：投影为实数， 可正可负可为零可正可负可为零|cos|a bba 二二. .基本运算（向量途径）基本运算（向量途径）运算律运算律222(1)()2abaa bb 22(2)() ()ababab3 ()()a b ca b c （ ）4 a ba cbc （ ）(5)bca ba c (6)00a ba 或b=0 222(7)()a bab判断：判断：1122(,),(,),1)2)3)4)axybxyababaa b 若则)yy,xx(2121 )yy,xx(2121 )y,x(11 二二. .基本运算（坐标途径）基本

6、运算（坐标途径）2121yyxx 5)|6)cos|aa aa bab 2121yx 222221212121yxyxyyxx 1./ /baba 向量 和非零向量2.ab非零向量 和则则若若),y,x(b),y,x(a2211 0yxyx1221 0yyxx2121 三三. .两个等价条件两个等价条件ba有唯一的实数 ，使0a b ab四四. .一个基本定理一个基本定理2.2.平面向量基本定理平面向量基本定理.eeeea, a,ee2122112121基基底底平平面面内内所所有有向向量量的的一一组组叫叫做做表表示示这这一一、把把不不共共线线的的向向量量使使有有且且只只有有一一对对实实数数任任

7、一一向向量量那那么么对对于于这这一一平平面面内内的的向向量量共共线线的的是是同同一一平平面面内内的的两两个个不不、如如果果 利用向量分解的利用向量分解的“唯一性唯一性”来构建实系数方程组来构建实系数方程组变式变式1：已知：已知ABC和平面内一点和平面内一点P，若满足，若满足则点则点P与与ABC的位置关系是（的位置关系是（ ）A.P在在AC边上边上 B.P在在AB边上或其延长线上边上或其延长线上C.P在在ABC 外部外部 D.P在在ABC 外部外部PAPBPCAB 变式变式2：在：在ABC中，若中，若试判断点试判断点O与与ABC的位置关系的位置关系OA OBOB OCOC OA 例例2.2.12

8、02,3,.abcab dbacd 已知两单位向量 与 的夹角为，若试求 与 的夹角的余弦值题型二：向量的模与夹角问题题型二：向量的模与夹角问题34ab 变式1：已知，且(a+2b) (2a-b) 4， 求a与b夹角 的范围？223,4916321836cos3236cos144abab 222因为，所以a， b所以(a+2b)(2a-b)=2aa bb解：1cos2003所以又因为，所以，02,3,45abababab变式2：已知与 的夹角为，求使与的夹角是锐角时 的取值范围。例例3. 题型题型3：向量的坐标运算：向量的坐标运算(1)( 3,4)(5,2),cosaba b a b 已知，求

9、， ， ，(2,3)( 2,4),( 1, 2),abc (2)已知，求2 ) ()()a bababa bc ，（， ，(a+b)(2,3)( 2,4),( 1, 2),abc (2)已知，求2)()()()aba b a ba b ca b ，（， ， (3)已知向量已知向量a=(1，2)，b=(3，4)，求，求a在在b方向上的投影方向上的投影(4) 已知向量已知向量a=(2,1),b=(3,x) , 若若(2a-b)和和b共线共线,则则x= ； 若若(2a-b)和和b垂直垂直,则则x= .1,21012(2, 1),1.abba bab c 已知向量 与 同向，（），（）求向量 的坐标；

10、（ ）若c求（） a补的值：105102,42000,0aba bab cb c a （）设 =（ ，2 ）其中，则，所以，所以（2 ）（ ）由题意知所以（解：）1.利用向量解题的基本思路有两种。一是几何法：利用向量加减法利用向量解题的基本思路有两种。一是几何法：利用向量加减法的法则，抓住几何特征解题；二是坐标法：建立恰当的坐标系，将的法则，抓住几何特征解题；二是坐标法：建立恰当的坐标系，将向量用坐标表示，然后利用向量的坐标运算解题。向量用坐标表示，然后利用向量的坐标运算解题。2.树立和强化应用向量解题的意识，尤其是与几何相关的问题，特树立和强化应用向量解题的意识，尤其是与几何相关的问题，特别是垂直和平行关系，用向量法解决最为简单。别是垂直和平行关系，用向量法解决最为简单。3.向量与三角函数结合的问题，通常是将向量的数量积与模用坐标向量与三角函数结合的问题，通常是将向量的数量积与模用坐标运算后转化为三角函数问题，然后用三角函数基本公式求解，其中运算后转化为三角函数问题，然后用三角函数基本公式求解，其中涉及到的有关向量的知识有：涉及到的有关向量的知识有：向量的坐标