第一讲 插值法

1、航海数学航海数学Nautical MathematicsSeptember 7, 2015武汉理工大学武汉理工大学 航运学院航运学院刘文刘文第一章第一章 航海数值内插法航海数值内插法 插值法是一种古老的数学方法，早在一千多年前的隋唐时期定制历法时就广泛应用了二次插值。刘焯将等距节点的二次插值应用于天文计算。 插值理论却是在17世纪微积分产生后才逐步发展起来的，Newton插值公式理论是当时的重要成果。 由于计算机的使用以及航空、造船、精密仪器的加工，插值法在理论和实践上都得到进一步发展，获得了广泛的应用。在航海数值计算中，经常要用到一些专用表册，如：航海表、吃水差表等等，这些表册都是按一定的函

2、数关系编排的，如： 数值内插在航海工程中的意义数值内插在航海工程中的意义 根据已知的x值，查表可求得y值，但是表内不可能一一列出全部y值，当所求的函数值y正好在两表列数值之间，利用表列数据间的引数求y值的方法称为内插法。内插法：内插法：利用函数表册，根据任意居间引数查取相应函数的方法。 内插分类：内插分类：a：按使用目的： 正内插已知引数求函数； 反内插已知函数求引数。b b：按引数的个数：按引数的个数： 单内插、双内插、三内插c c：按函数的性质：按函数的性质： 线性内插、变率内插、高次内插第一节第一节 比例内插比例内插 (Proportional Interpolation)一比例单内插一

3、比例单内插 (proportional single interpolation)1比例正内插 已知 求 。 比例内插公式：Ox0y0 x1y1xyf(x)xyabced 比例内插的几何意义：用表列引数两点的直线代替曲线进行内插，即以弦代替曲线进行内插。结论：1）f(x)为线性函数，求得的y值没有误差 2) f(x)为非线性函数，求得的y值有df误差 Ox0y0 x1y1xyf(x)xyabcedf：对非线性函数，表间距越小，利用线性内插求得的函数值的误差越小。但是表的篇幅会增大。 Ox0y0 x1y1xyf(x)xyabcedf：只要在误差允许的范围内，均可采用线性内插。例211：设物标高h

4、，垂直角，水平距离Dh ctg，利用该式编表如下： （1）求4，h13.4m时的D*？ （2）求5，h13.4m时的D*？ 2. 比例反内插比例反内插 (inverse proportional interpolation) 内插的逆运算，已知求？ 内插的逆运算，已知求？ 比例内插公式 比例反内插公式 二二. 比例双内插比例双内插 (proportional double interpolation)当函数有两个自变量时，用比例双内插求近似解。比例双内插是比例单内插的自然推广。比例单内插是比例双内插的特殊情形。比例双内插可按照比例单内插的计算方式进行计算。例212：由例211的计算结果，求h1

5、3.4m，4.4时的D？ 例212：由例211的计算结果，求h13.4m，4.4时的D？ 例212：由例211的计算结果，求h13.4m，4.4时的D？ 例213：由例211的计算结果，求h13.5m，3.5时的D？ 第二节第二节 变率内插变率内插 (Interpolation by Rate of Change) 当函数是非线性函数时，如果用比例内插计算将会导致一定的计算误差为了尽量减小该误差，则引进了变率内插。 当函数是非线性函数时，如果用比例内插计算将会导致一定的计算误差为了尽量减小该误差，则引进了变率内插。 一一. 变率单内插变率单内插 (single interpolation by

6、 rate of change)利用表中给出的函数变化率进行内插。 变率变率比例比例区别：区别：比例内插只依赖于两点间连线的斜率；变率内插依两点间局部斜率的变化而变化。l（1） 用比例内插 y5.5l（2） 用x2变率内插l y44（2.32）5.2l（3） 用x3变率内插l y96（2.33）4.8l（4） 用yx2直接计算l y5.294684916234yxdydx例221：用yx2造表，求x2.3时的y？分析：分析： 比例内插误差大； x2的变率内插较准。结论：结论：使用变率内插时，为减小误差，应使用最接近实际引数的表列引数所对应的函数为基准 。yxof(x)x0y0 x1y1xyypyx0yx1变率内插的几何意义： l准确值yl按x0变率内插，为yx0l按x1变率内插，为yx1l yx0 最接近准确值y 。 l按比例内插，为yp二二. 变率双内插变率双内插 (double interpolation by rate of change)令函数的表达形式为在点处的泰勒展开为 即 例222：求h13.4m，4.4时的D？ 总结总结查算由非线性函数造的函数表，不论用比例内插还是变率内插都会导致一定的误差。在精度允许的情况下可采用任意一种