线性代数第六章二次型ppt课件

1、在平面解析几何中，为看清二次曲线在平面解析几何中，为看清二次曲线 122cybxyax 的外形，可以采用坐标变换的外形，可以采用坐标变换cossinsincosxxyyxy 化二次曲线为规范形化二次曲线为规范形 , 122ybxa 由此二次曲线的几何性质便一目了然由此二次曲线的几何性质便一目了然.定义定义6.1 二次齐次多项式二次齐次多项式nnnxxaxxaxaxxxf11211221112122,nnxxaxa22222222nnnxa称为称为nnxxx,21的一个的一个元二次型，元二次型，实二次型实二次型.简称二次型简称二次型. 假设系数假设系数ija和变量和变量都为实数，那么称都为实数，

2、那么称f为为nxxx,21那么二次型那么二次型f可以表示为矩阵方式：可以表示为矩阵方式： nnnxxaxxaxaxxxf112112211121,nnxxaxaxxa222222122122211nnnnnnnxaxxaxxa,),(2121222211121121AXXxxxaaaaaaaaaxxxTnnnnnnnn,),();, 2 , 1,(21TnjiijxxxXnjiaa记记以下我们只讨论实二次型以下我们只讨论实二次型.其中其中A为对称阵为对称阵. 二次型二次型f与对称阵与对称阵A确立了确立了 1-1 对应关系。称二次型对应关系。称二次型f独一确定的对称阵独一确定的对称阵A为二次型为

3、二次型f的矩阵的矩阵.A的秩为二次型的秩为二次型f的秩的秩.2322212522xxxf的矩阵的矩阵5222A的秩为的秩为3；称对称阵称对称阵例如，例如，而对称阵而对称阵1030213143A确定的二次型为确定的二次型为.62243121232221xxxxxxxf称上述称上述2f那样只含平方项的二次型为规范形那样只含平方项的二次型为规范形.AXXfT为规范形当且仅当为规范形当且仅当f的矩阵的矩阵A为对角阵为对角阵.易见易见nxxx,21和和nyyy,21之间的关系式之间的关系式两组变量两组变量nnnnnnnnnnypypypxypypypxypypypx2211222212121212111

4、1 称为从称为从nxxx,21到到nyyy,21PYX 换换. 其矩阵方式其矩阵方式的一个线性变的一个线性变其中其中,),(21TnxxxX,),(21TnyyyY,212222111211nnnnnnpppppppppPP称为线性变换的矩阵称为线性变换的矩阵. 假设假设P问题：如何用可逆线性变换问题：如何用可逆线性变换,PYX 将二次型将二次型AXXfT 化为规范形化为规范形. ).()()()()(YgYAPPYPYAPYAXXXfTTTT线性变换为可逆线性变换或非退化线性变换线性变换为可逆线性变换或非退化线性变换.可逆，那么称可逆，那么称PYX 代入代入AXXfT 后，得后，得将将易证易

5、证APPT仍为对称阵仍为对称阵. 二次型二次型)(Yg为规范形当且仅当为规范形当且仅当APPT 为对角阵为对角阵.一、正交变换法一、正交变换法.正交变换有比普通可逆线性变换更好的性质：正交变换有比普通可逆线性变换更好的性质：nR中的正交变换中的正交变换的内积因此也不改动向量的长度和夹角的内积因此也不改动向量的长度和夹角. 定理定理 6.1 YQX 不改动向量不改动向量证明证明 ).,(),(2121212121YYYYYQQYQYQYQYQYTTTT假设假设Q为正交阵，那么线性变换为正交阵，那么线性变换),( ,nRYXYQX称为正交变换称为正交变换.n阶矩阵阶矩阵正交变换正交变换QYX 把把

6、nR中的规范正交基中的规范正交基nXXX,21变为变为nR中的规范正交基中的规范正交基.,21nQXQXQX定理定理 6.2 对于对于n元实二次型元实二次型,)(AXXXfT存在正交变换存在正交变换,QYX 可将该二次型化为规范形：可将该二次型化为规范形：,2222211nnyyyf其中其中n,21是对称阵是对称阵A的特征值的特征值.Q的列向量组的列向量组n,21是单位正交特征是单位正交特征., 2 , 1niAiii向量组，且向量组，且例例 6.1 用正交变换用正交变换QYX 化二次型化二次型323121232221444444xxxxxxxxxf为规范形，并给出正交变换矩阵为规范形，并给出

7、正交变换矩阵.Q解解 f的矩阵为的矩阵为,422242224A由由. 0)2)(8(200020111)8(4222428884222422242321rrrEA对于对于, 221 解解, 02XEA,0000001112 EA可得可得 0321xxx它的一个根底解系为：它的一个根底解系为： 得特征值得特征值. 8, 2321.101,01121 正交化得：正交化得： ,011111112122),(),(.12121对于对于, 83解解 , 08XEA0001101014222422248EA它的根底解系为：它的根底解系为： ,1113令令 ,321Q即为所求正交变换矩阵即为所求正交变换矩阵

8、. 于是正交变换于是正交变换QYX 化二次型化二次型f为规范形：为规范形：.822232221yyyf.8221AQQ满足满足.;03131313626161221211再将再将321,单位化得：单位化得：例例 6.2 用正交变换用正交变换 化以下二次型为规范形化以下二次型为规范形,.3432),(23322221321xxxxxxxxf 并写出该正交变换所对应的正交变换矩阵并写出该正交变换所对应的正交变换矩阵.解解 f的矩阵为的矩阵为,320230002A由由)5)(2)(1 (320230002 EA对于对于, 11 解解, 0XEA,000110001,220220001EA它的一个根底

9、解系为：它的一个根底解系为： 得特征值得特征值. 5, 2, 1321.1101对于对于, 21 解解, 02XEA,1000100001202100002 EA它的一个根底解系为：它的一个根底解系为： .0012 对于对于, 53解解 , 05XEA0001100012202200035EA它的根底解系为：它的根底解系为： ,1103令令 ,321Q即为所求正交变换矩阵即为所求正交变换矩阵. 于是正交变换于是正交变换QYX 化二次型化二次型f为规范形：为规范形：.52232221yyyf.5211AQQ满足满足.0;001;021213221211再将再将321,单位化得：单位化得： 第三节

10、第三节 惯性定理惯性定理 一、惯性定理一、惯性定理实二次型的规范形普通不独一实二次型的规范形普通不独一.但假设一个实二次型但假设一个实二次型AXXXfT)(经恣意一个可逆线性变换经恣意一个可逆线性变换PYX 化为规范形化为规范形YYT 后，就有后，就有),()()(rankAPPrankArankT于是一个实二次型于是一个实二次型AXXfT 而对角阵而对角阵的秩等于它的主对角线上非零元的个数，的秩等于它的主对角线上非零元的个数，中平方项的个数就等于中平方项的个数就等于).(Arank故规范形故规范形YYT经不同可逆线性变换化为不同规范形后，标经不同可逆线性变换化为不同规范形后，标准形中所含的平

11、方项个数都等于准形中所含的平方项个数都等于).(Arank实二次型实二次型AXXfT的规范形中的正平方项的的规范形中的正平方项的 更进一步有：更进一步有：定理定理 6.3 (惯性定理惯性定理) 对于一个对于一个n元实二次型元实二次型AXXfT 经恣意一个可逆线性变换化为规范形经恣意一个可逆线性变换化为规范形2222211nnykykykf后，规范形中正平方项的个数后，规范形中正平方项的个数p和负平方项的和负平方项的q都是独一确定的，且都是独一确定的，且).(Arankqp(本定理的证明略去本定理的证明略去). 个数个数p称为实二次型称为实二次型AXXfT或或A的的q称为实二次型称为实二次型的负

12、惯性指数。的负惯性指数。AXXXfT)(2222211nnykykyk可以写成以下方式的规范形：可以写成以下方式的规范形：.)(22112211qpqpppppzczczczcXf 个数个数负平方项的个数负平方项的个数正惯性指数正惯性指数,AXXfT或或A其中其中)., 1( , 0qpici进一步令进一步令), 1();, 2 , 1(1nqpjwzqpiwczjjiii 那么那么 AXXfT 可以化为：可以化为：AXXXfT)(221221qpppwwww形如上式规范形称为实二次型的规范形形如上式规范形称为实二次型的规范形.定理定理 6.4 对于任一个对于任一个n 元实二次型元实二次型AX

13、XfT都可经适当的可逆线性变换化为规范形：都可经适当的可逆线性变换化为规范形：AXXXfT)(.221221qpppwwww 且规范形是独一的且规范形是独一的.第四节第四节 正定二次型正定二次型定义定义 6.2 6.2正定性正定性 假设对恣意假设对恣意0X 都有都有n元实二次型元实二次型AXXfT 0(或或0(0)改为改为半负定矩阵的定义半负定矩阵的定义.例如例如 232221321142),(xxxxxxf 是正定二次型是正定二次型.2322213212322),(xxxxxxf 是负定二次型是负定二次型.222132134),(xxxxxf是半正定二次型是半正定二次型.2322213214

14、2),(xxxxxxf既不是正定既不是正定或负定二次型，也不是半正定或半负定或负定二次型，也不是半正定或半负定二次型二次型,称为不定二次型称为不定二次型.由定义易得如下性质：由定义易得如下性质：1 实对称阵实对称阵A正定当且仅当正定当且仅当A负定负定.2 假设实二次型假设实二次型AXXfT正定，那么正定，那么AXXfT经恣意可逆线性变换经恣意可逆线性变换PYX 后所得的二次型后所得的二次型)()()()()(YgYAPPYPYAPYAXXXfTTTT证明证明 1 显然显然 2 0YRYn且任给，那么对恣意可逆阵，那么对恣意可逆阵,P有有, 0 PYX经可逆线性变换经可逆线性变换PYX 后，后，

15、. 0)()()()(AXXPYAPYYAPPYYgTTTT即即)(Yg 也正定也正定.也正定也正定定理定理 6.5 设设A为为 阶实对称阵，阶实对称阵，,AXXfT那么以下几个命题等价：那么以下几个命题等价：A正定，或正定，或AXXfT是正定二次型；是正定二次型；A的特征值全大于零；的特征值全大于零；A的正惯性性指数为的正惯性性指数为n4存在可逆阵存在可逆阵,B使得使得.BBAT; n123证明证明 1 2 2 设设AXXfT经正交线性变换经正交线性变换QYX 化为规范形：化为规范形：AXXfT2222211)(nnTTyyyYAQQY其中其中i是是A的特征值的特征值. 令令,0 , 0 ,

16、 1 , 0 , 0TiieY那么那么. 0iiQYX由由AXXfT 是正定二次型得是正定二次型得.0iiTiiTTiiTiieeYAQQYAXXXf23 3 假设假设A 的特征值全大于零，那么的特征值全大于零，那么AXXfT经正交线性变换经正交线性变换 QYX 化为规范形：化为规范形：.2222211nnyyyf34 4 假设假设A 的正惯性指数为的正惯性指数为, n 那么那么AXXfT可经适当可逆线性变换可经适当可逆线性变换PYX 化为规范形化为规范形 ,22221nyyyf即存在可逆阵即存在可逆阵由于由于, 0i故故A的正惯性性指数为的正惯性性指数为. nP使得使得 ,EAPPT由此由此

17、 ,)(11PPAT 记记,1 PB那么那么,)()(11TTTBPP即即.BBAT41 1 假设存在可逆阵假设存在可逆阵B 使得使得,BBAT那么那么对对, 0,XRXn 有有, 0BX 故故即. 0)()(2BXBXBXBXBXTTTAXXfTf是正定二次型或是正定二次型或A正定正定.定理定理 6.6 实对称阵实对称阵 nnijaA是它的各阶顺序主子式全大于零，即是它的各阶顺序主子式全大于零，即 , 0111a, 0222112112aaaa. 0An 正定的充要条件正定的充要条件 0212222111211kkkkkkkaaaaaaaaa,(称为称为 的的 阶顺序主子阶顺序主子式式.)Ak推论推论 实对称阵实对称阵 nnijaA负定的充要条件负定的充要条件, 0111a, 0222112112aaaa, 01kk. 01An是它的顺序主子式满足：是它的顺序主子式满足：,例例 6.3 判别判别3231212322212812432xxxxxxxxxf能否正定能否正定.414136462A由于