等腰(边)三角形的典型题强化训练(含答案)

1、等腰（边）三角形的典型题强化训练 等腰（边）三角形的典型题强化训练一选择题（共1小题）1如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边ACD和等边BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N给出以下三个结论：AE=BDCN=CMMNAB其中正确结论的个数是（）A0B1C2D3二解答题（共29小题）2（2012遵义）如图，ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PEAB于E，连接PQ交AB于D（1）当BQD=30时，

2、求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由3（2012牡丹江）如图，ABC中AB=AC，P为底边BC上一点，PEAB，PFAC，CHAB，垂足分别为E、F、H易证PE+PF=CH证明过程如下：如图，连接APPEAB，PFAC，CHAB，SABP=ABPE，SACP=ACPF，SABC=ABCH又SABP+SACP=SABC，ABPE+ACPF=ABCHAB=AC，PE+PF=CH（1）如图，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若A=30，ABC的面积为49，

3、点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=_点P到AB边的距离PE=_4（2011梅州）如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正APC和正PBD（1）当APC与PBD的面积之和取最小值时，AP=_；（直接写结果）（2）连接AD、BC，相交于点Q，设AQC=，那么的大小是否会随点P的移动面变化？请说明理由；（3）如图2，若点P固定，将PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180），此时的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）5（2011绍兴）数学课上，李老师出示了如下框

4、中的题目小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系请你直接写出结论：AE_DB（填“”，“”或“=”）（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE_DB（填“”，“”或“=”）理由如下：如图2，过点E作EFBC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC若ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）6（2010衡阳）已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE=

5、CD求证：BD=DE7（2010贵港）如图所示，在ABC中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上的一点，且CE=BD，连接DE交BC于点P（1）求证：PE=PD（2）若CE：AC=1：5，BC=10，求BP的长8（2009宜昌）已知：如图，AF平分BAC，BCAF，垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF，AF相交于P，M（1）求证：AB=CD；（2）若BAC=2MPC，请你判断F与MCD的数量关系，并说明理由9（2009绍兴）如图，在ABC中，AB=AC，BAC=40，分别以AB，AC为边作两个等腰直角三角形ABD和ACE，使BAD=CAE=90（1）求DBC的度数；（2

6、）求证：BD=CE10如图，已知ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F（1）线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论（2）求BFD的度数11（2009本溪）在ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作ADE，使AD=AE，DAE=BAC，连接CE（1）如图1，当点D在线段BC上，如果BAC=90，则BCE=_度；（2）设BAC=，BCE=如图2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；当点D在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论12（2008绍兴）附加题，学

7、完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q求证：BQM=60度（1）请你完成这道思考题；（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：若将题中“BM=CN”与“BQM=60”的位置交换，得到的是否仍是真命题？若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到BQM=60？若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到BQM=60？请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：_；_；_并对

8、，的判断，选择一个给出证明13（2008内江）如图，在ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE，BAD=BCE，AD与CE相交于点F，试判断AFC的形状，并说明理由14（2007宜宾）已知；如图，在ABC中，AB=BC，ABC=90度F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF（1）求证：AE=CF；（2）若CAE=30，求EFC的度数15（2007常州）已知，如图，延长ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连接D，E，F，得到DEF为等边三角形求证：（1）AEFCDE；（2）ABC为等边三角形16（2006日照）如图，已知，等腰RtOAB中，AO

9、B=90，等腰RtEOF中，EOF=90，连接AE、BF求证：（1）AE=BF；（2）AEBF17（2006兰州）如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件：DBO=ECO；BDO=CEO；BD=CE；OB=OC（1）上述四个条件中，哪两个可以判定ABC是等腰三角形？（2）选择第（1）题中的一种情形为条件，试说明ABC是等腰三角形18（2006莱芜）两个全等的含30，60角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC试判断EMC的形状，并说明理由19（2006郴州）如图，在ABC中，A

10、B=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由20（2005云南）已知：如图，在等腰ABC中，AB=AC，O是底边BC上的中点，ODAB于D，OEAC于E求证：AD=AE21（2004十堰）如图，已知ABC中，AB=AC，D、E分别是AB和BC上的点，连接DE并延长与AC的延长线交于点F，若DE=EF，求证：BD=CF22（2004呼和浩特）如图，在ABC中，BA=BC，B=120，AB的垂直平

11、分线MN交AC于D，求证：AD=DC23（2004河北）已知：如图，等边三角形ABC的边长为6，点D，E分别在边AB，AC上，且AD=AE=2若点F从点B开始以每秒1个单位长的速度沿射线BC方向运动，设点F运动的时间为t秒当t0时，直线FD与过点A且平行于BC的直线相交于点G，GE的延长线与BC的延长线相交于点H，AB与GH相交于点O（1）设EGA的面积为S，写出S与t的函数关系式；（2）当t为何值时，ABGH；（3）请你证明GFH的面积为定值；（4）当t为何值时，点F和点C是线段BH的三等分点24（2002河南）如图所示，在RtABC中，AB=AC，A=90，点D为BC上任一点，DFAB于F

12、，DEAC于E，M为BC的中点，试判断MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论25（2012泸州）如图，ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连接AE求证：AEBC26（2009辽阳）如图，ABC为正三角形，D为边BA延长线上一点，连接CD，以CD为一边作正三角形CDE，连接AE，判断AE与BC的位置关系，并说明理由27（2009荆州）如图，D是等边ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由28（2008达州）含30角的直角三角板ABC（B=30）绕直角顶点C沿逆时针方向旋转

13、角（90），再沿A的对边翻折得到ABC，AB与BC交于点M，AB与BC交于点N，AB与AB相交于点E（1）求证：ACMACN；（2）当=30时，找出ME与MB的数量关系，并加以说明29（2008桂林）已知：ABC为等边三角形，D为AB上任意一点，连接CD（1）在CD左下方，以BD为一边作等边三角形BDE（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）连接AE，求证：CD=AE30（2008毕节地区）数学课上，同学们探究下列命题的准确性：（1）顶角为36的等腰三角形具有一种特性，即经过它的某一顶点的一条射线可把它分成两个小等腰三角形为此，请你解答：如图，已知在ABC中，AB=AC，A=36，射线BD平

14、分ABC交AC于点D求证：DAB与BCD都是等腰三角形；（2）在证明了该命题后，有同学发现：下面两个等腰三角形也具有这种特性请你在下列两个三角形中分别画出一条射线，把它们分别分成两个小等腰三角形，并在图中标出所画小等腰三角形两个底角的度数；（3）接着，同学们又发现：还有一些既不是等腰三角形也不是直角三角形的三角形也具有这种特性，请你画出两个具有这种特性的三角形示意图（要求两三角形不相似，而且既不是等腰三角形也不是直角三角形，并标出每一个小等腰三角形各内角的度数）等腰（边）三角形的典型题强化训练参考答案与试题解析一选择题（共1小题）1如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、B

15、C为边并且在AB的同一侧作等边ACD和等边BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N给出以下三个结论：AE=BDCN=CMMNAB其中正确结论的个数是（）A0B1C2D3考点：平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质分析：由ACD和BCE是等边三角形，根据SAS易证得ACEDCB，即可得正确；由ACEDCB，可得EAC=NDC，又由ACD=MCN=60，利用ASA，可证得ACMDCN，即可得正确；又可证得CMN是等边三角形，即可证得正确解答：解：ACD和BCE是等边三角形，ACD=BCE=60，AC=DC，EC=BC，ACD+DCE=DCE+ECB，即ACE=DCB，A

16、CEDCB（SAS），AE=BD，故正确；EAC=NDC，ACD=BCE=60，DCE=60，ACD=MCN=60，AC=DC，ACMDCN（ASA），CM=CN，故正确；又MCN=180MCANCB=1806060=60，CMN是等边三角形，NMC=ACD=60，MNAB，故正确，故选D二解答题（共29小题）2（2012遵义）如图，ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PEAB于E，连接PQ交AB于D（1）当BQD=30时，求AP的长；（2）当运动过程中线段

17、ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形分析：（1）由ABC是边长为6的等边三角形，可知ACB=60，再由BQD=30可知QPC=90，设AP=x，则PC=6x，QB=x，在RtQCP中，BQD=30，PC=QC，即6x=（6+x），求出x的值即可；（2）作QFAB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出APEBQF，再由AE=BF，PE=QF且PEQF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+B

18、F=AB，DE=AB，由等边ABC的边长为6可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变解答：解：（1）ABC是边长为6的等边三角形，ACB=60，BQD=30，QPC=90，设AP=x，则PC=6x，QB=x，QC=QB+BC=6+x，在RtQCP中，BQD=30，PC=QC，即6x=（6+x），解得x=2；（2）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变理由如下：作QFAB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，又PEAB于E，DFQ=AEP=90，点P、Q速度相同，AP=BQ，ABC是等边三角形，A=ABC=FBQ=60，在APE和BQF中，AEP=BFQ=90，APE=

19、BQF，在APE和BQF中，APEBQF（ASA），AE=BF，PE=QF且PEQF，四边形PEQF是平行四边形，DE=EF，EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，又等边ABC的边长为6，DE=3，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变3（2012牡丹江）如图，ABC中AB=AC，P为底边BC上一点，PEAB，PFAC，CHAB，垂足分别为E、F、H易证PE+PF=CH证明过程如下：如图，连接APPEAB，PFAC，CHAB，SABP=ABPE，SACP=ACPF，SABC=ABCH又SABP+SACP=SABC，ABPE+ACPF=ABCHAB=AC，PE+PF=CH（1）如图，P为B

20、C延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若A=30，ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=7点P到AB边的距离PE=4或10考点：等腰三角形的性质；三角形的面积分析：（1）连接AP先根据三角形的面积公式分别表示出SABP，SACP，SABC，再由SABP=SACP+SABC即可得出PE=PF+PH；（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，再由ABC的面积为49，求出CH=7，由于CHPF，则可分两种情况进行讨论：P为底边BC上一点，运用结论PE+PF=CH；P

21、为BC延长线上的点时，运用结论PE=PF+CH解答：解：（1）如图，PE=PF+CH证明如下：PEAB，PFAC，CHAB，SABP=ABPE，SACP=ACPF，SABC=ABCH，SABP=SACP+SABC，ABPE=ACPF+ABCH，又AB=AC，PE=PF+CH；（2）在ACH中，A=30，AC=2CHSABC=ABCH，AB=AC，2CHCH=49，CH=7分两种情况：P为底边BC上一点，如图PE+PF=CH，PE=CHPF=73=4；P为BC延长线上的点时，如图PE=PF+CH，PE=3+7=10故答案为7；4或104（2011梅州）如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上

22、的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正APC和正PBD（1）当APC与PBD的面积之和取最小值时，AP=a；（直接写结果）（2）连接AD、BC，相交于点Q，设AQC=，那么的大小是否会随点P的移动面变化？请说明理由；（3）如图2，若点P固定，将PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180），此时的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）考点：等边三角形的性质；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质分析：（1）设AP的长是x，然后利用x表示出两个三角形的面积的和，利用二次函数的性质即可求得x的值；（2）首先证得APDCPB，然后根据三角形的外角的性

23、质即可求解；（3）旋转的过程中，（2）中得两个三角形的全等关系不变，因而角度不会变化解答：解：（1）设AP的长是x，则BP=2ax，SAPC+SPBD=xx+（2ax）（2ax）=x2ax+a2，当x=a时APC与PBD的面积之和取最小值，故答案为：a；（2）的大小不会随点P的移动而变化，理由：APC是等边三角形，PA=PC，APC=60，BDP是等边三角形，PB=PD，BPD=60，APC=BPD，APD=CPB，APDCPB，PAD=PCB，QAP+QAC+ACP=120，QCP+QAC+ACP=120，AQC=180120=60；（3）此时的大小不会发生改变，始终等于60理由：APC是等

24、边三角形，PA=PC，APC=60，BDP是等边三角形，PB=PD，BPD=60，APC=BPD，APD=CPB，APDCPB，PAD=PCB，QAP+QAC+ACP=120，QCP+QAC+ACP=120，AQC=180120=605（2011绍兴）数学课上，李老师出示了如下框中的题目小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系请你直接写出结论：AE=DB（填“”，“”或“=”）（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE=DB（填“”，“”或“=”）理由如下：如图2，过点E作EFBC，交AC于点F

25、，（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC若ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）考点：全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质分析：（1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理求出D=ECB=30，ABC=60，求出D=DEB=30，推出DB=BE=AE即可得到答案；（2）作EFBC，证出等边三角形AEF，再证DBEEFC即可得到答案；（3）分为四种情况：画出图形，根据等边三角形性质求出符合条件的CD即可解答：解：（1）答案为：=（2）答案为：=证明：在等边ABC中，A

26、BC=ACB=BAC=60，AB=BC=AC，EFBC，AEF=ABC，AFE=ACB，AEF=AFE=BAC=60，AE=AF=EF，ABAE=ACAF，即BE=CF，ABC=EDB+BED，ACB=ECB+FCE，ED=EC，EDB=ECB，EBC=EDB+BED，ACB=ECB+FCE，BED=FCE，在DBE和EFC中，DBEEFC（SAS），DB=EF，AE=BD（3）解：分为四种情况：如图：AB=AC=1，AE=2，B是AE的中点，ABC是等边三角形，AB=AC=BC=1，ACE是直角三角形（根据直角三角斜边的中线等于斜边的一半），ACE=90，AEC=30，D=ECB=BEC=3

27、0，DBE=ABC=60，DEB=1803060=90，即DEB是直角三角形BD=2BE=2（30所对的直角边等于斜边的一半），即CD=1+2=3如图2，过A作ANBC于N，过E作EMCD于M，等边三角形ABC，EC=ED，BN=CN=BC=，CM=MD=CD，ANEM，BANBEM，=，ABC边长是1，AE=2，=，MN=1，CM=MNCN=1=，CD=2CM=1；如图3，ECDEBC（EBC=120），而EDC不能等于120，否则EDC不符合三角形内角和定理，此时不存在EC=ED； EDCABC，ECBACB，又ABC=ACB=60，ECDEDC，即此时EDEC，此时情况不存在，答：CD的

28、长是3或16（2010衡阳）已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE=CD求证：BD=DE考点：等边三角形的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质分析：欲证BD=DE，只需证DBE=E，根据等边三角形的性质及角的等量关系可证明DBE=E=30解答：证明：ABC为等边三角形，BD是AC边的中线，BDAC，BD平分ABC，DBE=ABC=30CD=CE，CDE=EACB=60，且ACB为CDE的外角，CDE+E=60CDE=E=30，DBE=DEB=30，BD=DE7（2010贵港）如图所示，在ABC中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上的

29、一点，且CE=BD，连接DE交BC于点P（1）求证：PE=PD（2）若CE：AC=1：5，BC=10，求BP的长 考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质分析：（1）过点D作DFAC交BC于点F，由等腰三角形性质和平行线性质可得DBF=DFB，可推得DB=DF，由因为已知CE=BD，即可得DF=CE，通过AAS可得DFPECP，即得到PE=PD（2）由已知条件易证得BDFBAC，且=，由BC=10，可得BF、EC的长；由DFPECP可得PF的长，即可得BP的长解答：（1）证明：过点D作DFAC交BC于点F，ACB=DFBFDP=EAB=AC（已知），ACB=ABC，ABC=DFB，DF=

30、DB；又CE=BD（已知），CE=DF；又DPF=CPE，ECPDFP，PE=PD；（2）解：CE=BD，AC=AB，CE：AC=1：5（已知），BD：AB=1：5，DFAC，BDFBAC，=；BC=10，BF=2，FC=8，DFPECP，FP=PC，PF=4，则BP=BF+FP=68（2009宜昌）已知：如图，AF平分BAC，BCAF，垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF，AF相交于P，M（1）求证：AB=CD；（2）若BAC=2MPC，请你判断F与MCD的数量关系，并说明理由考点：轴对称的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质分析：（1）由点D与点A关于点E对称易证A

31、C=CD，再根据角平分线，及垂直得到AC=AB，可得答案AB=CD；（2）易证CAD=CDA=MPC，CMA=BMA=PMF，可得到MCD=F解答：（1）证明：AF平分BAC，CAD=DAB=BAC，D与A关于E对称，E为AD中点，BCAD，BC为AD的中垂线，AC=CD在RtACE和RtABE中，（注：证全等也可得到AC=CD）CAD+ACE=DAB+ABE=90，CAD=DAB，ACE=ABE，AC=AB（注：证全等也可得到AC=AB），AB=CD（2）解：F=MCD，理由如下：BAC=2MPC，又BAC=2CAD，MPC=CAD，AC=CD，CAD=CDA，MPC=CDA，MPF=CDM

32、，AC=AB，AEBC，CE=BE（注：证全等也可得到CE=BE），AM为BC的中垂线，CM=BM（注：证全等也可得到CM=BM）EMBC，EM平分CMB（等腰三角形三线合一）CME=BME（注：证全等也可得到CME=BME），BME=PMF，PMF=CME，MCD=F（注：证三角形相似也可得到MCD=F）9（2009绍兴）如图，在ABC中，AB=AC，BAC=40，分别以AB，AC为边作两个等腰直角三角形ABD和ACE，使BAD=CAE=90（1）求DBC的度数；（2）求证：BD=CE考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质分析：（1）根据等腰三角形的性质及三角形内角

33、和定理即可求得DBC的度数；（2）证明ABDACE即可得到结论解答：（1）解：ABD为等腰直角三角形，DBA=45又AB=AC，BAC=40，ABC=70DBC=115；（2）证明：ABD和ACE均为等腰直角三角形，BAD=CAE=90，AB=AD，AC=AE又AB=AC，AB=AD=AC=AEABDACEBD=CE10如图，已知ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F（1）线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论（2）求BFD的度数考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质分析：（1）根据等边三角形的性质可知BAC=C=60，AB=CA，结合A

34、E=CD，可证明ABECAD，从而证得结论；（2）根据BFD=ABE+BAD，ABE=CAD，可知BFD=CAD+BAD=BAC=60解答：（1）证明：ABC为等边三角形，BAC=C=60，AB=CA在ABE和CAD中，ABECAD AD=BE（2）解：BFD=ABE+BAD，又ABECAD，ABE=CADBFD=CAD+BAD=BAC=6011（2009本溪）在ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作ADE，使AD=AE，DAE=BAC，连接CE（1）如图1，当点D在线段BC上，如果BAC=90，则BCE=90度；（2）设BAC=，BCE=如图

35、2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；当点D在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论考点：全等三角形的判定；等腰三角形的性质分析：（1）问要求BCE的度数，可将它转化成与已知角有关的联系，根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出ABDACE，再根据全等三角形中对应角相等，最后根据直角三角形的性质可得出结论；（2）问在第（1）问的基础上，将+转化成三角形的内角和；（3）问是第（1）问和第（2）问的拓展和延伸，要注意分析两种情况解答：解：（1）90理由：BAC=DAE，BACDAC=DAEDAC即BAD=CAE在ABD与ACE中， ABDACE，B

36、=ACEB+ACB=ACE+ACB，BCE=B+ACB，又BAC=90BCE=90；（2）+=180，理由：BAC=DAE，BAC+DAC=DAE+DAC即BAD=CAE在ABD与ACE中， ABDACE，B=ACEB+ACB=ACE+ACBB+ACB=，+B+ACB=180，+=180；当点D在射线BC上时，+=180；理由：BAC=DAE，BAD=CAE，AB=AC，AD=AE，ABDACE（SAS），B=ACE，BAC+B+BCA=180，BAC+BCE=BAC+BCA+ACE=BAC+BCA+B=180，+=180；当点D在射线BC的反向延长线上时，=理由：DAE=BAC，DAB=EA

37、C，AD=AE，AB=AC，ADBAEC（SAS），ABD=ACE，ABD=BAC+ACB，ACE=BCE+ACB，BAC=BCE，即= 12（2008绍兴）附加题，学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q求证：BQM=60度（1）请你完成这道思考题；（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：若将题中“BM=CN”与“BQM=60”的位置交换，得到的是否仍是真命题？若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到BQM=60？若将题中的条件“点M，N分别在正三

38、角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到BQM=60？请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：是；是；否并对，的判断，选择一个给出证明考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质分析：（1）在ABM和BCN中，根据判定ABMBCN，所以BAM=CBN，则BQM=BAQ+ABQ=MBQ+ABQ=60度（2）同样还是根据条件判定ACMBAN，得到AMC=BNA，所以NQA=NBC+BMQ=NBC+BNA=18060=120，即BQM=60；同上，证明RtABMRtBCN，得到AMB=BNC，所以，QBM+QMB=90，BQM=90，即B

39、QM60解答：（1）证明：在ABM和BCN中，ABMBCN，BAM=CBN，BQM=BAQ+ABQ=MBQ+ABQ=60（2）是；是；否的证明：如图，在ACM和BAN中，ACMBAN，AMC=BNA，NQA=NBC+BMQ=NBC+BNA=18060=120，BQM=60的证明：如图，在RtABM和RtBCN中，RtABMRtBCN，AMB=BNC又NBM+BNC=90，QBM+QMB=90，BQM=90，即BQM60 13（2008内江）如图，在ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE，BAD=BCE，AD与CE相交于点F，试判断AFC的形状，并说明理由考点：等腰三角形的判定；全等三

40、角形的判定与性质分析：要判断AFC的形状，可通过判断角的关系来得出结论，那么就要看FAC和FCA的关系因为BAD=BCE，因此我们只比较BAC和BCA的关系即可根据题中的条件：BD=BE，BAD=BCE，BDA和BEC又有一个公共角，因此两三角形全等，那么AB=AC，于是BAC=BCA，由此便可推导出FAC=FCA，那么三角形AFC应该是个等腰三角形解答：解：AFC是等腰三角形理由如下：在BAD与BCE中，B=B（公共角），BAD=BCE，BD=BE，BADBCE（AAS），BA=BC，BAC=BCA，BACBAD=BCABCE，即FAC=FCAAF=CF，AFC是等腰三角形14（2007宜宾

41、）已知；如图，在ABC中，AB=BC，ABC=90度F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF（1）求证：AE=CF；（2）若CAE=30，求EFC的度数考点：等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质分析：根据已知利用SAS判定ABECBF，由全等三角形的对应边相等就可得到AE=CF；根据已知利用角之间的关系可求得EFC的度数解答：（1）证明：在AEB和CFB中，ABECBF（SAS）AE=CF（2）解：AB=BC，ABC=90，CAE=30，CAB=ACB=（18090）=45，EAB=4530=15ABECBF，EAB=FCB=15BE=BF，EBF=90，BFE

42、=FEB=45EFC=180901545=3015（2007常州）已知，如图，延长ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连接D，E，F，得到DEF为等边三角形求证：（1）AEFCDE；（2）ABC为等边三角形 考点：全等三角形的判定；等边三角形的判定分析：（1）关键是证出CE=AF，可由AE=AB，AC=BF，两两相加可得再结合已知条件可证出AEFCDE（2）有（1）中的全等关系，可得出AFE=CED，再结合DEF是等边三角形，可知DEF=60，从而得出BAC=60，同理可得ACB=60，那么ABC=60因而ABC是等边三角形解答：证明：（1）BF=AC，AB=AE（已知）FA=

43、EC（等量加等量和相等）（1分）DEF是等边三角形（已知），EF=DE（等边三角形的性质）（2分）又AE=CD（已知），AEFCDE（SSS）（4分）（2）由AEFCDE，得FEA=EDC（对应角相等），BCA=EDC+DEC=FEA+DEC=DEF（等量代换），DEF是等边三角形（已知），DEF=60（等边三角形的性质），BCA=60（等量代换），由AEFCDE，得EFA=DEC，DEC+FEC=60，EFA+FEC=60，又BAC是AEF的外角，BAC=EFA+FEC=60，ABC中，AB=BC（等角对等边）（6分）ABC是等边三角形（等边三角形的判定）（7分）16（2006日照）如图，已

44、知，等腰RtOAB中，AOB=90，等腰RtEOF中，EOF=90，连接AE、BF求证：（1）AE=BF；（2）AEBF 考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质分析：（1）可以把要证明相等的线段AE，CF放到AEO，BFO中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得AO=BO，OE=OF，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去BOE的结果，当然相等了，由此可以证明AEOBFO；（2）由（1）知：OAC=OBF，BDA=AOB=90，由此可以证明AEBF解答：证明：（1）在AEO与BFO中，RtOAB与RtOEF等腰直角三角形AO=OB，OE=OF，AOE=90BOE=BOF，AEOBFO（S

45、AS），AE=BF；（2）延长AE交BF于D，交OB于C，则BCD=ACO，由（1）知：OAC=OBF，BDA=AOB=90，AEBF17（2006兰州）如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件：DBO=ECO；BDO=CEO；BD=CE；OB=OC（1）上述四个条件中，哪两个可以判定ABC是等腰三角形？（2）选择第（1）题中的一种情形为条件，试说明ABC是等腰三角形考点：等腰三角形的判定分析：（1）要证ABC是等腰三角形，就要证ABC=ACB，根据已知条件即可找到证明ABC=ACB的组合；（2）可利用DOB与EOC全等，得出OC=OB，再得出OC

46、B与OBC相等，就能证明ABC与ACB相等解答：解：（1），和；（2）以为条件，理由：OB=OC，OBC=OCB又DBO=ECO，DBO+OBC=ECO+OCB，即ABC=ACB，AB=AC，ABC是等腰三角形18（2006莱芜）两个全等的含30，60角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC试判断EMC的形状，并说明理由 考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质分析：欲判断EMC的形状，需知道其三边关系根据题意需证EM=CM，由此证明EMDCMA即可依据等腰直角三角形性质易证解答：解：连接MAEAD=30，BAC=6

47、0，DAB=90，EDACAB，DA=AB，ED=AC，DAB是等腰直角三角形，又M为BD的中点，MDA=MBA=45，AMBD（三线合一），AM=BD=MD，（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）EDM=MAC=105，在MDE和CAM中，ED=AC，MDE=CAM，MD=AMMDECAMDME=AMC，ME=MC，又DMA=90，EMC=EMA+AMC=EMA+DME=DMA=90MEC是等腰直角三角形19（2006郴州）如图，在ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并

48、加以证明；（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由 考点：等腰三角形的性质分析：（1）连接AD，根据三角形ABC的面积=三角形ABD的面积+三角形ACD的面积，进行分析证明；（2）类似（1）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系即三角形ABC的面积=三角形ABD的面积三角形ACD的面积解答：解：（1）DE+DF=CG证明：连接AD，则SABC=SABD+SACD，即ABCG=ABDE+ACDF，AB=AC，CG=DE+DF（2）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，但有DEDF=CG理由：连接AD，则SABD=SABC+SACD，即ABDE=ABCG+ACDFAB=AC，DE=CG+DF，即DEDF=CG同理当D点在CB的延长线上时，则有DEDF=CG，说