曲线积分和曲面积分

1、曲线积分和曲面积分一、一、基本内容（一）第一型曲线积分与曲面积分1. 第一型曲线积分（1）第一型曲线积分的定义 若L是封闭的，则记作lf（x,y,z）ds（2）第一型曲线积分的计算2. 第一型曲面积分（1）第一型曲面积分的定义（2）第一型曲面积分的计算（二）第二型曲线积分1第二型曲线积分的定义当 LPcos 其中cosds,cos设 F （x, y, z） P（x, y, z）, Q（x, y, z）, R（x, y, z）Q cos dsR cos ds .L， L都存在时,cos 是L的单位切向量，称LPdx Qdy RdzLPdxLQdyLRdz为一般形式的第二型曲线积分2.第二型曲线积

2、分的计算3. 格林公式及其一些命题（1）格林公式P Q（2） 若P（x,y）、Q（x,y）、 y、x在单连通域D上均连续，则下列四个命题 等价：1）ABPdx Qdy只依赖于区域D内的起点A与终点B，而与连结A、B的积分 路径无关；2）在区域D 上, Pdx Qdy是某一个函数F（x,y）的全微分，且点（a,b）是D内的某一定点，点（x,y）是D内的动点；Q P3）x y在区域D上的每一点处都成立；:Pdx Qdy 04）L，其中L是D内的任意一条逐段光滑的闭曲线.（三）第二型曲面积分1. 第二型曲面积分的定义Pdydz Qdzdx Rdxdy称为一般形式的第二型曲面积分，当是闭曲面时，积o分

3、号将写成2. 第二型曲面积分的计算R(x,y,z)dxdyRx,y, f (x, y)dxdyDP(x, y, z)dydz Q(x, y, z)dzdx同理计算3奥-高公式与斯托克斯公式Pdydz Qdzdx(1)Rdxdy(上xR)dxdydz z/ RQ门()dydz(2) yz4.向量场的散度与旋度1lim PdydzN V(上zR)dzdxx(卫xP )dxdy ydivF称QdzdxRdxdyz为散度,rotF称(1)计算l(x y)dS,其中L为连接°(°，0)，线.解：如图10-1 , °A : x 0; y y;ds dy ；°B :

4、x x; y x; dsAB : x x; y 1; ds. 2dx .dx10ydy(x x)、2dx (x0 01)dx 2A(0,1)cost)的第一拱1.(2)yds，其中 L 为摆线 x a(t Sint)解：摆线的第一拱，则t Q2 .一 2 ?a . 2a o (1 cost)dt (2a)2a(1P为旋度.、练习题计算下列第一型曲线积分:y a (a 0):xyds(3) L ，其中L是解：f(x，y) xy是关于x的奇函数，而L是关于y轴对称.由第一型曲线积分的对称性知:l xyds 0原式22 a22 costdt 2a2u x2ds（5） L解：，其中L为圆周L的参数方程

5、为：x a cost, y a si nt,22zt 2dtadt:x2ds2Lytcos21 adt a2 aBC : x-asint,2t 0,2 2 2（6 ）计算球面x y的边界曲线的形心.解：不妨假设1 ,如图Mx其中0, y a cost, z asin t,dsAB BC AC ds2a在第一象限上10-33 ABdsAB BC AC XdsAB : x a cost, yasin t,z 0,dsadt, t %adt, t02；7AC : x asin t, y 0, z a cost, ds adt, t 0,MxOncost adtadt 2a2M x 4aM 3又由于图

6、形的对称性知4a32 2(7)设L的方程为x y求L对于原点处的单位质点引力F .解：L的极坐标方程为r a(1 cos )a(x2 xy2)(a0)ds,r2( ) r ( )2d a . 2(1 cos )ddFds GG 2 dsr adFxcos dF geos dsa2G(cos-cos)d08G3a由L对称性知Fy 0 .计算下列第二型曲线积分：2 2L(x2xy)dx (y 2xy)dyL, L为抛物线(1),其线密度x2 ( 1 x(x2a1)y2)解：原式1 (2x51 1(X2 2x3) (x44x4 2x3 x2)dx(2)OmA nOyarcta n dy dxx2x3

7、) 2xdx14152，其中OmA为抛物线段y x , OnA为直线yy arcta n dy 解：原式OmAAnO xdx图 10-412 x arcta nxdx 10442 2 2(y z )dx 2yzdy x dz“ 厶(3) L, L为沿参数增加的方向进行的曲线x t,y t2,z t3 (0 t 1)解：原式1(3t6 2t4)dt 035 .2 2 2 2 2 2(4) L(y z )dx (z X )dy (X y )dz, L为球面的第一象限中的部分2 2 2 .x y z1的边界，当沿着它的正向进行时曲面的外面保持在左方.解：如图10-4，由对称性知原积分为3 AB(y2

8、 z2)dx (z2 x2)dy (x2 y2)dzAB: x cost, y sin t,z 0，t从o 到 2 .3 2 (si n2t 0)( si nt) (0 cos21) cost 0dt 原积分 0(y 2xey)dx (x2ey(5)2 丿A(1,0)3 02 (sin3t cos3 t)dtx,y 0,x从 1 到 0 .e x)dy, L是从0(°,°)沿曲线y前(x2 )到点解：补充直线段AO，AO:xQ _原积分 L A00A1.o ex(1cosy)dx (y sin y)dync(6)L，其中l为域0x ，0y sinx的正方向的周线.解：由格林

9、公式，0dxsin x x1e ydy (1 e )xdy ydx(7) L x"052,L为沿正向进行，而不经过坐标原点的简单闭曲线.解：(1)若原点不在L所围的区域D内，直接应 用格林公式(2 )若原点在L所围成的区域D内，如图10-5， 222 在原点附近作一个充分小的圆周I：x y ，其方向为顺时针方向，设L与I所围成的复连域为D1，则1 1 2dxdy 222Di(8)(3, 1) (3y x)dx (y 3x)dy(0,1)(x y)36x 6y(x y)4Q P解：x y故积分与路径无关.如图10-6，选取路径ACB，计算积分. 原积分2 0 2"4)(x2

10、ex cos2y)dx 2exsin 2ydy(9)(Q 2ex si n2y解：x y，故积分与路径无关,如图10-7，选取路径OAB计算积分.原积分(2、2(e -) e -33-1B(3,-1)/4图 10-6B(1,/4)计算下列第一型曲面积分：xyzdS(1)，是2x 2y z 2解: z 2 2x 2y，dS .1 (Zx)2在第一象限的部分.(Zy)2dxdy3dxdy如图10-8116x(106、31x) dx20- (x2 y2 z2)dS(2),的表面.AxOa图10-8a2 2是、x y z解：如图10-9，取1 ： za, dS dxdy22取 2:z x y ,(zx

11、)2dS 1(zy)2dxdy2dxdy二(x2则z2)dS(2.21) 2a2a2 (i2)a4图 10-9设曲面z x转动惯量.解：由对称性知：y (0 z a)的面密度为1,求其质心坐标及对于坐标轴的:z x2y2,ds1(Zx)MdS.2dxdy2 aDxy12d.2r rdr2 aM003.(0,°，二 a)22故质心坐标为(Zy)2dxdy . 2dxdyx y 03、2 a44由对称性知IxIyrdr计算下列第二型曲面积分：2 xzdxdyz(1),是由解：由高斯公式知2所围成的立体的表面内侧.zdxdydv2rdr r2 dz0(2)立体表面外侧.2 2y zdxdy

12、 x ydzdx是由-(x2ay2)2a及z 0所围成解：由高斯公式(x2 y2)dvrdra dz0(x2(3)2(x 1) (yyz)dz (y2xz)dzdx(z2xy)dxdy为球面解:(x22 21) (z 1)1的外侧.2 2yz)dz (y xz)dzdx (z xy)dxdy(2x 2y2z)dvxdv由对称性知ydvzdv6 xdv故原积分设 x 1 r sin则仍有dxdydz2cos2r siny 1 r sindrd d6 xdv10(1 rsinsin z 1 r cos2 cos )r sindr(4)求向量 外侧的流量.y乙xz,xy穿过曲面(0 z h)的全表面

13、流向解:yzdydzxzdzdx xydxdy0dv测验题1. 1.填空(1) L是曲线41，其周长为s，则:xyds 0L，又 L 即:2L (xyx2 4y24y2)ds 等于.解：由积分的对称性知o (xy x2故L(2) L是顺时针方向的光滑封闭曲线，所围成的平面图型的面积为:l 2xdy 5ydx4y )ds ： 4ds 4sA，则解：由格林公式，l 2xdy 5ydx(2 5)dD3A(3).(4)略.2. 2选择(1).(2).(3)略.I< 2 2(x 4y e)dydz sin(xy)dzdx(4)，其中是平面x2z 40被柱面2x2y- 1164所截得部分的上侧，则1

14、等于().eA. 41616(eB. 41)C.O/ 16D.(e1) n 1,0,2? 12cos故5cos0cos5dydz有1 dSv5dzdx 0dSdxdydSIe(x2 4y2)1 dS 0.5e(x2D xy4y2)Odxdy1x2 4y2e dxdy 2dxy选取坐标:I 122 02r cos2e4r0r sin贝y dxdy 2rdrd2rdr1），应选B.3.计算下列各题/ x(L(e siny 到(0,1).y)dxx2(e cosy 3x)dy，其中 L 是从 A(1,0)沿 x32y31 x 0解：补充直线段BO ,y y)dx (ex cos yOA 其中 O(0

15、,0), B(0,1)、丨 / X .L(e sin3x)dyL BOOA4dOB OA1ocosydy1°ydx033sin td (cos t) 2sinlsin 1求摆线x a(t sint)sinl12。讪 n4tsin6 t)dt sin1a(1cost)(0ds 解：,(xt)2(yt)2dta .,2(1 cost)dtt )的弧的重心.2a sin - dt2Ldst2a sin dt 4a2MxxdsL2a28a20a(ttsin - dt216a308a23sin t)2a sin± dt2t 3 (cos cos t)dt 0 2 2MyL ydsa(12a2sin -dt0 2cost)2asin - dt2(si nt si n*)dt4a24a2316 2a3-Mx4-My4xaya故M3，M30 (zy)dx(x z)dy(x(3)计算Ly)dZ，其中L是X y12从z轴正向看L的方向为顺时针方向.2 2解：取为x y z 2被X y1所截得的部分，由右手定则方向为下侧，根据斯托克斯公式有:(z y) dx (x z)dy (x y)d