2013高考数学必考点圆锥曲线解题方法归纳总结

1、-1 - 圆锥曲线解题方法归纳总结 知识储备： 1.1. 直线方程的形式 (1)(1) 直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 (2)(2) 与直线相关的重要内容 倾斜角与斜率k = tan ：用三0,二) (3)(3) 弦长公式 直线 y =kx +b上两点 A(Xj, yj, B(x2,y2)间的距离： AB = Ji + k2 为x2 =(1 k2)(x X2)2 4x2 (4)(4) 两条直线的位置关系 h h _l2：= kjk2= =- -1 1 11/12 =匕=k2且 d = b2 2 2、圆锥曲线方程及性质 (1)(1)、椭圆的方程的形式有几种？(三种

2、形式) 一、 x2 y2 标准方程： 1(m 0,n - 0 且 m = n) m n 距离式方程： (x c)2 y2，：/(x -c)2 y2 = 2a 参数方程：x = acosv, y = bsin v 、双曲线的 方程的形式有两种 2 2 标准方程：x y =1(mn：0) m n 距离式方程：| (x c)2 y2 -(x-c)2 y2 |=2a 、三种圆锥曲线的通径你记得吗? 2 2 椭圆:2b ;双曲线：2b ;抛物线：2p a a 方法储备 1 1、点差法(中点弦问题) AXD +By0 +C 夹角公式：tanoc = k2 k JA2 +B2 1 + k k 点到直线的距离

3、 d d = = 设 A x1, y1、 B X2, y2 ，M a,b 为椭圆 2 2 x_卷y =1的弦AB中点则有 -2 - 2 2 2 2 2222 工+y_=i,乞+竺=1 ；两式相减得（xix2）+（力一 I。 4 3 4 3 4 3 屮-讨 2 yi y2 3a =kAB = - 4b 2 2、联立消元法：你会解直线 与圆锥曲线 的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有 两个参数怎么办？ 设直线的方程， 并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判 别式 0，以及根与系数的关系， 代入弦长.公式，设曲线上的两点 A（xi, yi）, B（X2, y2）,

4、将这两点代入曲线方程得到 两个式子，然后a-，整体消元 .,若有两个字母 未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点 A A、B FB F 共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。 一旦设直线为y = kx b，就意味着 k k 存在。 3 3、求根公式法 2 2 Ap 例 5 5 设直线I过点 P P （ 0 0, 3 3）,和椭圆 + +- - = i= i 顺次交于 A A、B B 两点，试求 的取值范 9 4 PB 围 分析：本题中，绝大多数同学不难得到： 竺=_仝，但从此后却一筹莫展，问题的根源 PB XB 在于对题目的

5、整体把握不够事实上，所谓求取值范围，不外乎两 条路：其一是构造所求变量 关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程） ，这只需利用对应的思想实施；其二则是 构造关于所求量的一个不等关系 AP x 分析 i i：从第一条想法入手， = =A A 已经是一个关系式，但由于有两个变 量xA ,xB , PB XB 同时这两个变量的范围不好控制， 所以自然想到利用第 3 3 个变量一一直线 AB的斜率k. .问题就 转化为如何将XA,XB转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去 y y 得 出关于X的一元二Xi - X2 Xi X2 -3 - 次方程，其求根公式呼之欲出 -4 -

6、 方程，消去y得9k2 4 x2 54kx 40 2 -27k _6 9k -5 = 2 9k2 +4 因为椭圆关于 0时, 简解 1 1:当直线I垂直于 x x 轴时，可求得 AP PB 当I与 x x 轴不垂直时，设 A Xi,yi ,B（X2, y2），直线I的方程为: y = kx 3，代入椭圆 解之得 xi,2 -5 - y y 轴对称，点 P P 在 y y 轴上，所以只需考虑 k 0的情形. . 2 - -27k27k 6 6 9k 9k - -5 5 X Xi ，X X2 - -27k 27k - -6 9k6 9k2 - -5 5 所以 AP PB 2 9k +49k +4

7、2 X1 -9k 2 9k -5 一 = = _ =1=1 9k9k2 4 4 18k 1818 所以 X2 = (-54k)2 I 2 9k 2 9k -5 -1809k2 18 9 2 9 -5k2 2 1 1 9k 2 9k -5 929929 2 5 4 _0, ,解得 k -， 9 5k k2 AP 1 综上 _1_1： :：. PB 5 分析 2:2:如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源 由判别式值的非负性可以很快确定 k的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与 k联系起来. . 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于 AP PB 不是关于X1,X2的对称关系式原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我 X2 们可以构造关于 X-1 ,x2的对称关 系式. . 简解 2 2：设直线l的方程为：y = kx 3，代入椭圆方程，消去 y得 -6 - 9k2 4 x2 54kx 45 = 0 (* *) -54k 2 9k 4 45 9k2 4. 令生 =h +丄+ +2 2= = 3 32尹 . . X2 45k45k2 2020 在（* * ）中，由判别式.：_0,可得k2