养老金收支平衡精算模型

1、2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C题 我们的参赛报名号为（如果赛区设

2、置报名号的话）： 3820 所属学校（请填写完整的全名）： 广东科学技术职业学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 黄东成指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 康海刚日期： 2011 年 9 月 9 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：养老金收支平衡精算模型摘要本文针对企业退休职工养老金的问题，通过建立合理的假设，综合运用Logistic阻滞增长模型、傅立叶级数拟合、折现率、精算模型等方法讨

3、论影响职工养老金的各因素，并对影响养老金的各个因素作了详细的分析和提供了较为实际的建议。针对问题一，假设在未来中国经济发展稳定增长的情况下，根据附件提供的数据，运用曲线拟合和Logistic增长模型，建立年均工资预测模型。首先对原数据进行简单的曲线拟合，结果成指数趋势增长，而指数的增长趋势与经济发展规律和国家经济发展战略不符，属于理想状况；之后通过引进与经济发展相关的Logistic增长模型对山东省职工的年均工资进行预测，并采用四点法求得Logistic增长趋势方程的最大上限值，确定Logistic增长模型的趋势方程式，最后采用R方检验法进行检验。预测得到山东省2011年的年均工资为37827

4、.86元，在2021年实现年均工资翻一番（64684.56元），2035年时年均工资翻两番，达到93199.61元，整体上符合国家的经济发展战略。针对问题二，建立养老金替代率计算模型。首先根据养老金原理得出基础养老金和个人账户养老金公式，运用问题一的Logistic增长模型，并在考虑职工年龄阶段性跳层的基础上，引用傅立叶级数拟合60-64岁阶段的月均工资，获得2000-2034年各年龄段年均工资，在此基础上，借助MATLAB编程解出各缴费年龄段的替代率。最后对替代率进行灵敏度分析。针对问题三，建立养老保险基金缺口分析模型。首先分别从基础养老金和个人账户养老金两方面讨论缺口情况，并在引进折现率的

5、基础上综合讨论养老保险基金的缺口情况，主要针对社会统筹基金和个人账户基金两方面进行分析，最后推算缴存的养老保险基金和领取的养老金之间的平衡点。针对问题四，建立养老保险收支平衡精算模型。首先对影响养老保险收支平衡的因素进行取舍，忽略社会统筹基金中其他相关因素对收支平衡的影响，只重点考虑影响个人账户的收入和支出的相关因素。通过考虑社会平均退休年龄、平均余命、生存概率等因素，并根据未来给付精算现值等于未来缴费精算现值的精算平衡方法，对个人账户养老金在计算时点的缴费现值和未来给付精算现值进行比较，得到收支平衡时的替代率与退休年龄和工资增长率的关系，并算出当满足目标替代率时退休年龄和工资增长率的范围。然

6、后针对本问题养老金平衡模型的影响因素作了分析和提供了建议措施。最后，通过对中国养老保险的现状和弊端做了简单的分析和提出相应的建议。关键词：Logistic 傅立叶级数拟合 折现率 灵敏度分析 养老保险平衡精算模型I目 录摘要 . I1、问题重述 . 12、问题假设 . 13、符号说明 . 24、问题分析 . 34.1 背景分析 . 34.2 问题一分析 . 34.3 问题二分析 . 34.4 问题三分析 . 44.5 问题四分析 . 45、模型建立与求解 . 45.1 问题一 . 45.1.1 工资增长指数模型 . 45.1.2 工资增长Logistic模型 . 75.1.3 模型结果比较与分

7、析 . 105.2 问题二 . 115.2.1 基础养老金 . 115.2.2 个人账户养老金 . 125.2.3 替代率 . 125.2.4 灵敏度分析 . 145.3 问题三 . 155.3.1 基础养老金缺口分析 . 155.3.2 个人账户养老金缺口分析 . 165.3.3 养老保险基金缺口分析 . 175.4 问题四 . 175.4.1养老金平衡精算模型 . 175.2 关于养老金体系的思考 . 216、模型优化与推广 . 216.1 养老金平衡精算模型的敏感性分析 . 216.1.1工资增长率 . 216.1.2实际利率 . 227、模型的优缺点 . 227.1 模型的优点 . 2

8、27.2 模型的缺点 . 22参考文献 . 221、问题重述养老金也称退休金，是一种根据劳动者对社会所作贡献及其所具备享受养老保险的资格，以货币形式支付的保险待遇，用于保障职工退休后的基本生活需要。我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，即企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。这两个账户我们合称为养老保险基金。退休后，按职工在职期间每月（或年）的缴费工资与社会平均工资之比（缴费指数），再考虑到退休前一年的社会平均工资等因素，从社会统筹账户中拨出资金（基础养老金），加上个人工资账户中一定比例的资

9、金（个人账户养老金），作为退休后每个月的养老金。养老金会随着社会平均工资的调整而调整。如果职工死亡，社会统筹账户中的资金不退给职工，个人账户中的余额可继承。个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，为简单起见，利率统一设定为3%。养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切关系；工资的增长又与经济增长相关。近30年来我国经济发展迅速，工资增长率也较高；而发达国家的经济和工资增长率都较低。我国经济发展的战略目标，是要在21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。现在我国养老保险改革正处于过渡期。养老保险管理的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老

10、龄化社会的顺利过渡。影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%. 替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之差。附件1是山东省职工历年平均工资数据；附件2是2009年山东省某企业各年龄段职工的工资分布情况，附件3是养老金的计算办法。请建立数学模型，解决如下问题：问题一：对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你

11、认为是简化、合理的假设，并参考附件1，预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。问题二：根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率。问题三：假设该企业某职工自 2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支

12、平衡。问题四：如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为可以采取什么措施。请给出你的理由。2、问题假设1、假设21世纪中叶我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。2、假设职工缴纳养老保险基金过程不会中断，直到该职工退休。13、假设所有的职工都是从每年的1月份开始缴费，每年缴足12个月，而退休后也是从每年的1月份开始领取养老金。4、假设社会经济发展过程中无经济危机产生，国民经济增长稳定，并忽略老龄化影响。5、假设中等发达国家的人均收入标准为9000-10000美元1。3、符号说明24、问题分析4.1 背景分析养老金也称退休金、退休费，是一种最主要的养老保险待遇。1997年国务

13、院发布的国务院关于建立统一的企业职工基本养老保险制度的决定和2005年12月3日国务院发布的国务院关于完善企业职工基本养老保险制度的决定等国家有关文件规定，在劳动者年老或丧失劳动能力后，根据他们对社会所作的贡献和所具备的享受养老保险资格或退休条件，按月或一次性以货币形式支付的保险待遇，主要用于保障职工退休后的基本生活需要。现在我国养老保险改革正处于过渡期，在养老保险中养老金过低则退休职工的生活水准低，但养老保险基金收支平衡容易维持；养老金过高则退休职工的生活水准高，但养老保险基金收支平衡较难维持，有时还会出现缺口。故需要对养老保险进行管理，维持养老保险基金的收支平衡，稳定退休职工的正常生活，促

14、进社会稳定发展，稳定养老保险基金可持续发展，稳定社会经济发展。4.2 问题一分析根据山东省1978-2010年全省职工年平均工资，首先通过绘制散点图，分析变化趋势，满足指数函数增长趋势。假设在理想状况下，没有其它因素的影响，通过拟合得到指数函数，并检验该指数函数，且进行预测和制图。显然在现实实际中这种爆炸式的指数增长模式显然是不合理的，在经济增长的影响下，年均工资在未来发展过程中会受到阻滞而发生变化，以“S”型增长方式增长应更为合理。在这种情况下，无法得知年均工资受到阻滞后会发生何种变化，故引入人均GDP值。首先通过搜索2011年山东省统计年鉴，得到1978-2010年的人均GDP，对此进行拟

15、合，发现人均GDP在此时间阶段也是呈现指数增长。所以将人均GDP和理想年均工资进行相关性分析，且得到结果是两者的相似度很高，说明了两者的增长趋势几乎一致。则可通过人均GDP的总体增长趋势，来间接体现年均工资的总体增长趋势。从整个社会发展趋势来看人均GDP的总体增长趋势是类似S型曲线增长，也就是符合Logistic阻滞增长趋势，后期的增长趋势会逐渐趋向于某一最大值。故此可以间接说年均工资的总体增长趋势也是满足Logistic阻滞增长模型的，对此建立年均工作Logistic增长模型。可借助MATLAB和已知数据求出增长函数，并进行检验，通过检验验证的增长函数则可进行预测将来的年均工资。比较理想状况

16、下和经济增长影响下的年均工资预测值，结合中等发达国家的人均收入标准为9000-10000美元1，和我国经济发展的战略目标，是要在21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平，即在2050年左右达到中等发达国家水平。从中来比较说明两种模型中哪一种更加符合实际，能够用来进行预测。4.3 问题二分析本问需要计算各种情况下的养老金替代率，那么则从确定替代率的因素入手。题中已经告知替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例，则问题转换为求解职工退休时的养老金和退休前的工资。由于一个企业的状况是不可能稳定不变的，所以题目提供的2009年的状况不能代表其它年份的企业情况，从题目提供的数据中可

17、得到2009年山东省某企3业职工的月平均工资和全省职工的年平均工资，而且全省职工的年平均工资是符合Logistic增长模型的，那么可以通过对两者进行做比例处理，间接说明了企业职工月均工资也是符合Logistic增长趋势的。对各个年龄阶段的工资取中值代表该工资阶段的数值，那么则可以得到企业整体的月均工资和各年龄阶段的月均工资。企业各年龄段职工工资与该企业平均工资的比值看作职工缴费指数的参考值，得到各年龄段的比值，从而也能够间接说明各年龄段职工工资也是符合Logistic增长趋势。那么就可以这些数据来计算预测各年龄阶段的基础养老金、个人账户养老金和替代率。并对影响替代率的因素进行简单的灵敏度分析。

18、4.4 问题三分析本题需要分析在不同的年龄退休，养老保险基金的缺口情况，及养老保险基金和领取养老金之间的收支平衡。分别从社会统筹基金和个人账户基金的缺口和收支平衡，再结合两者分析养老保险基金的缺口情况。根据基础养老金计算公式得出基础养老金总额，根据企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户规则计算缴纳社会统筹基金总额，则单独分析其缺口情况。根据个人账户养老金计算原理得到个人账户养老金总额，通过引进折现率计算个人账户基金总额。对社会统筹基金和个人账户基金都出现缺口；社会统筹基金和个人账户基金都高于平衡，不会出现缺口；还有可能出现社会统筹基金和个人账户基金两个基金中一个高于平衡而

19、另一个低于平衡三种情况综合分析养老金的综合缺口情况。4.5 问题四分析由问题三的模型上可知，替代率是会受到缴费率、平均工资增长率和退休年龄等因素影响，而养老保险基金收支平衡则是会受到替代率的影响的，并且不仅仅只受到替代率单因素的影响。所以，针对养老保险的收支平衡问题，笔者建立基于中国现行基本养老保险制度的社会统筹与个人账户相结合的部分积累制养老保险收支平衡模型，对涉及到的社会统筹基金收支平衡的影响因素不予以考虑，在社会统筹上仅考虑在未来给付时给与个人账户的现值，重点考虑在个人账户上收入和支出对整体养老金收支平衡的影响。在分析个人账户对养老金平衡影响的因素上，考虑社会平均退休年龄、平均余命和生存

20、概率等因素，在现实的养老保险平衡问题上引用温利民在工程数学学报建立的个人账户养老金精算模型，通过利用整体的养老金在计算时点的缴费现值及未来给付精算现值比较，得出在养老保险基金收支平衡时，影响替代率的因素，详细分析相关因素的影响并给出相应的建议和措施等应对情况。5、模型建立与求解5.1 问题一5.1.1 工资增长指数模型在理想状况下，忽略特殊情况出现，假设未来中国经济发展过程中无经济危机发生，忽略老龄化影响，工资增长的形式是稳定的，随着社会经济的快速增展，职工的工资也会随之呈增长趋势发展。本题提供了1978年2010年山东省职工平均工资数据，可通过绘画散点图得到该职工平均工资的增长趋势，得图如下

21、：4图5.1.1 1978年-2010年山东省职工平均工资散点图由图5.1.1，从增长趋势上看，职工平均工资的增长趋势近乎呈现指数增长，结合题目附件1的数据，借助MATLAB进行指数拟合，得到指数拟合函数：y=415.3´e0.1327t （5.1.1）根据（5.1.1）式，拟合出1978-2010年山东省职工年均工资，并与实际数据相比较。表5.1.1 1978-2010年实际、预测年均工资表9041.1，指数年均工作的标准差为9026.8，可见该拟合函数误差性低，可用于预测。5图5.1.2 指数增长模型检验误差图利用（5.1.1）式，预测2011-2035年山东省职工年均工资，得到

22、具体数据如下表：表5.1.2 2011年-2035年山东省职工平均工资预测表元，平均每个月的工资约为76168元，相对于2011年，几乎增长了30倍，达到甚至超过了高等发达国家水平，这与经济增长规律和国家经济发展纲要不相符。汇总原数据和预测数据，作出相应的增长趋势图如下。显然，这种增长方式只适用于经济高速发展的初期和进行短期的预测，对于经济发展的后期和长期预测应该是不合理的。6图5.1.3 1978年-2035年山东省职工平均工资指数拟合图5.1.2 工资增长Logistic模型在现实中，职工的年均工资不可能会一直处于指数增长状况，在增长过程中会受到经济发展、国家政策、环境变换等因素的影响。养

23、老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切关系，工资的增长又与经济增长相关，所以从经济发展对工资增长的影响入手。图5.1.4 1978年-2010年山东省的人均GDP值拟合图可以从图5.1.3看出人均GDP在1978-2010年是符合指数增长的，故将此图与工资指数增长模型图进行比较。7图5.1.5 1978年-2010年山东省的人均GDP值与工资增长比较图从比较图中可以看出两者之间的相似程度比较高，都具有一定的增长规律，故此对两者进行相关性分析，通过SPSS软件得到人均GDP与年均工资的相关性如下：表5.1.3 人均GDP与年均工资的相关性表中的正相关，那么也就能够从侧面说明年均工资的

24、增长趋势与人均GDP的增长趋势相似，甚至趋于一致。而人均GDP符合从整个社会发展趋势来看是满足Logistic增长模型的，搜索可得1950-2002年美国人均GDP的增长趋势，也是呈现“S”型增长，那么就可以间接说明年均工资的增长趋势也是符合Logistic增长模型。图5.1.6 1950-2002年美国人均GDP增长趋势图8根据我国近30年来的经济发展，快速的经济发展导致工资增长率也随之增高，而发达国家的经济增长比较缓慢，工资增长率也比较低。对此我国经济政策制定了经济发展的战略目标，争取要在21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。假设我国按照制定的经济发展战略步骤走，在21世

25、纪中叶达到中等发达国家水平，那么在达到该水平之前，我国的经济发展趋势将会是出现先快速增长，后类似发达国家的缓慢发展，趋近某个发展水平。这与前面的分析相符合。从年均工资的增长趋势类似人口的增长趋势的特点，建立阻滞增长模型3（Logistic模型），Logistic增长模型函数如下：y= （5.1.2） max-r(t-t0)1+(-1)´ex0xmax其中xmax为Logistic方程中的最大上限值，x0表示初始年份的初始数值，t0表示初始年份时间，t表示实际年份，r为阻滞系数。本题中x0=566， t0=1978且根据年均工资各个点的数值，通过四点法4公式确定Logistic方程中的

26、最大上限值。xmax=x2xn-1´(x1+xn)-x1xn´(x2+xn-1)（5.1.3） x2xn-1-x1xn代入实际数据，进行简单计算可得到xmax=101805。根据题目提供数据，并结合公式（5.1.2），通过计算解得r=0.1305，代入各个参数值，得到年均工资的Logistic增长函数如下：y= （5.1.4） -0.1305(t-1978+1)1+(-1)´e566101805借助MATLAB对公式（5.1.4）进行均方根误差（R方）检验，检验得到R方=0.9843<1。R square称为方程的确定系数，取值0-1之间，越接近1，表明方程

27、的变量对y的解释能力越强。经过检验获得的R方为0.9843<1，且很接近1，那么说明该方程的变量对y的解释能力很强，误差性很小，则可通过本函数对未来的年均工资进行预测。需要预测2011年-2035年每年的年均工资，即t的取值范围为34,58,将t值代入公式（5.1.4），计算得到2011-2035年的预测年均工资如下表：表5.1.4 2011-2035年的年均工资预测表9年的预测年均工资为基底，在2021年实现年均工资翻一番，在2035年时的年均工资翻两番，并达到93199.61元，整体上符合国家的经济发展战略。为了能够明确的看出年均工资的增长趋势，将数据制成折线图如下：图5.1.7 1

28、978年-2035年山东省职工平均工资Logistic拟合图由折线图可以明显看出年均工资的增长趋势，2010年-2022年间呈现快速增长，而2026年后慢慢趋向平缓增长，与1950-2002年美国人均GDP的增长趋势相似，符合Logistic增长模型的发展趋势。5.1.3 模型结果比较与分析指数拟合模型和Logistic增长模型均在不同的假设下，对2011-2035年山东省职工年平均工资进行预测，且都得出预测结果如下：表5.1.5 指数拟合和Logistic增长工资预测总合表出，指数拟合模型的增长速度远比Logistic增长速度快，而在2035年，指数拟合预测得到的工资为914014元，Log

29、istic增长预测得到的工资为93199.61元，两者的数值相差10倍左右，而Logistic增长预测2035年的工资在指数拟合预测中2018年就10已经达到。根据朱孔来在对世界“中等发达国家”的界定1中推算2050年前后，中等发达国家的人均GDP大致在9000-10000美元左右，换算成人民币约57508-63898元，而我国经济发展的战略目标，是要在21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平，即在2050年左右达到中等发达国家水平。若通过指数拟合进行预测，则在2015年就已经超出了中等发达国家的水平，且年均增长指数爆发，这显然是不符合实际现状的。而通过Logistic增长模型预

30、测的情况，在2019年开始进入中等发达国家行列，并逐年缓慢增长。由于社会经济会随着时间增长，增长速率会每年不同，但受到的阻滞力越大，故本模型还是相对比较合理，比较符合实际的，可作为我国人均工资的预测。5.2 问题二根据2005年12月颁布的国务院关于企业职工基本养老金保险制度的决定(国发200538号),我国实行的是由社会统筹账户和个人账户相结合的现行统一的基本养老保险制度。参加市城镇企业职工基本养老保险社会统筹的人员，达到国家规定的退休年龄，实际缴费年限满15年以上的，按月计发基本养老金。职工退休时的养老金由两部分组成：P=Pb+PrP为养老金，Pb为基础养老金，Pr为退休时的个人账户养老金

31、，故本文从基础养老金和个人账户养老金两方面讨论职工退休时的养老金。5.2.1 基础养老金根据基础养老金的原理计算公式：（全省上年度在岗职工月平均工资+本人指数化月平均缴费工资）基础养老金=´缴费年限´1%2那么可以从全省上年度在岗职工月平均工资、本人指数化月平均缴费工资和缴费年限来计算得出基础养老金的值，为了能够更好的进行运算，将以上原理公式转换为数学公式如下：(T+S)Pb=´m´1% （5.2.1） 2而公式（5.2.1）中的本人指数化月平均缴费工资则能够通过以下公式计算得到。x1´S=c1cc+x2´1+××

32、×+xm´1c1c2cm （5.2.2） n将公式（5.2.2）简化处理，提取公因子，得到式子（5.2.3）如下：mxixic1´ååci=1ciS=c1´i=1i （5.2.3） nnm并将S代入（5.2.1）式，得到（5.2.4）式如下：11xiåcT+c1´i=1i´m´1% （5.2.4） Pb=2m5.2.2 个人账户养老金现已知个人账户养老金的计算原理为：个人账户养老金=个人账户储存额÷计发月数。我国企业职工基本养老保险是企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹

33、基金账户，再把职工个人工资按一定的比例（8%）缴纳到个人账户中。在这种方案中，是职工在拿到个人工资前，企业已经从原本的职工工资总额缴纳到社会统筹基金账户中，发给职工的实际工资再按8%的比例缴纳到个人账户中去。而个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，本题中将利率统一设定为3%。根据上述条件约束，得出个人账户养老金的计算公式如下：Pr=5.2.3 替代率 G=MåT´Q´(1+3%)i=1m(m-i)M(i=1,2,.,m) （5.2.5）已知基础养老金和个人账户养老金的计算公式，则讨论在实际状况中，某企业的整体体系是不可能一直保持稳定不变的，2009年的

34、企业状况不能代表2000年的状况，对此需要进行深入探讨。从题目附件提供的数据，仅可以得知2009年山东省某企业分年龄职工数量及薪酬分布表、1978-2010年山东省职工平均工资。根据某企业分年龄职工数量及薪酬分布表，对各个月工资范围采取取中值的方法，通过计算可得到该企业的月平均工资为2580元。在此则具有2009年山东省某企业的月平均工资和2009年山东省职工年平均工资，而全省的经济发展是带动企业的经济发展的，那么某企业的平均工资则也会与省职工的平均工资有一定的影响。假设省职工平均工资与企业职工平均工资存在一定的影响比例，设两者之间的比值为L，则比例关系式如下：比值L=2009年某企业职工月平

35、均工资´12 2009年山东省职工年平均工资代入具体数值可解得比值L=1.043。人的年龄会随着时间的增长而增长，即要考虑工资也会随着时间的增长而改变，在本题中，主要考虑员工年龄阶段性地跳层。即每过5年，员工的工资都会因年龄阶段的改变而改变。而员工的在处于某个年龄阶段时，该年龄阶段的工资也会受企业的人均工资水平的影响，在问题一中已经得出省职工年平均工资符合Logistic增长规律，那么企业职工平均工资也符合Logistic增长规律，已求得企业职工年均工资与省职工年均工资的比例为1.043，可获得某年企业职工年平均工资增长规律式如下：12y企业年均工资=101805´L （5

36、.2.6） -0.1305(t-1978+1)1+(-1)´e566而企业各年龄阶段职工工资与企业平均工资的比值是一个定值，且可以看作职工缴费指数的参考值，则可以间接说明企业各年龄段职工工资也是符合Logistic增长规律的。通过2009年山东省某企业各年龄段工资分布表可知各年龄阶段在各个月收入范围的计数，该企业的月平均工资为2580元，得到各年龄阶段的职工月平均工资如下：表5.2.1 2009年各年龄阶段的职工月平均工资表据进行简单计算求解，具体数据如下：表5.2.2 2009年职工缴费指数表阶段的职工月平均工资表达式为：y职工月均工资=101805´L´wi

37、（5.2.7） -0.1305(t-1978+1)1+(-1)´e566假设从2000年开始全省年平均工资都落在Logistic曲线上，由于时间和年龄的需要，假设当2000年开始缴纳养老保险，某职工30岁，该职工等到65岁才退休，那么该职工需要缴纳养老保险到2034年，2035年退休开始领取养老金。而其余缴纳养老保险的年龄和领取养老金的年龄假设都在这个假设范围内，因此有必要进行预测到2034年的数据。单单从题目提供的数据，只能知道55岁和60岁退休前的工资，而不能得到65岁退休前的工资，那么引用傅立叶级数f(x)=a0+a1*Cos(w*x)+b1*Sin(w*x)对已有数据进行拟合

38、，得到函数如下：f(x)=0.86-0.3008*Cos(0.3964*x)+0.22495*Sin(0.3964*x) （5.2.8） 拟合得到60-64岁阶段的月平均工资为2688.34元，计算得出职工缴费比值为1.0419。根据Logistic增长函数（5.1.4）计算得到2000-2034年山东全省年平均工资，由式子（5.2.6）和（5.2.7）分别可以求出2000-2034年企业年均平均工资和各个年龄阶13段的年均工资，具体数据见附件2，部分数据如下：表5.2.3 2000-2034年各年龄阶段年均工资系，根据员工开始投保时的年龄所处的年龄区间，可以知其刚开始投保时的工资，以及其以后

39、工资的发展状况。替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。本文在此将退休前一年的月平均工资作为退休前的工资，并根据退休前的工资，进行两者比例。 H=Pb+Pr (5.2.9) Z其中H为替代率，Z代表退休前的工资，根据表5.2.3的数据，结合式子（5.2.4）和（5.2.5），借助MATLAB软件编程求出各缴费年龄段的基础养老金、个人账户养老金和替代率，具体数据见下表。表5.2.4 各缴费年龄段养老金及替代率5.2.4 灵敏度分析在本题中对替代率产生影响的因素有投保年龄和退休年龄，根据这两个影响因子对替代率的影响进行简单的灵敏度分析。采用控制变量法，控制某一个影响因子，分析另一个因子对

40、目标的影响。首先控制投保年龄，分析退休年龄对替代率的影响，当投保年龄为20时，退休年龄对替代率的影响；再次控制退休年龄，分析投保年龄对替代率的影响，当退休年龄为60时，投保年龄对替代率的影响。通过MATLAB可获得两种情况的影响情况图，如图5.2.1.14图5.2.1 投保年龄和退休年龄对替代率的影响情况图从图5.2.1可以看出，在控制投保年龄的情况下，替代率会随着退休年龄的增长而呈现曲线增长；在控制退休年龄的情况下，替代率会随着投保年龄的增长而出现波动性下降。5.3 问题三假设某企业某职工自2000年起从30岁开始缴纳养老保险，一直缴费到退休，而退休后则一直领取养老金，直到75岁死亡。在这个

41、过程中，退休时间是一个分界时间点，退休前一直缴费，退休后一直领取。设退休年龄为55岁，那么该职工的缴费时间是从30岁到54岁，领取养老金的时间为55岁到75岁。5.3.1 基础养老金缺口分析从问题二的模型中可得知基础养老金的计算公式（5.2.4）如下：xiåcT+c1´i=1in´m´1% （5.3.1） Pb=2m在问题二中已经推算出全省职工年平均工资符合Logistic增长趋势，那么全省上年度在岗职工月平均工资同样是符合Logistic增长趋势的，即可通过与该曲线的关系计算出来，通过MATLAB求解得出55岁退休前全省上年度在岗职工月平均工资为792

42、11元。而在问题二中已经计算得出具体2000-2034年的企业月平均工资，部分数据如表5.3.1。表5.3.1 2000-2034年企业月平均工资表个月员工可以领取得到的基础养老金，从而进一步累加算出退休后职工领取到的基础养老金总额。通过计算得出该职工的缴费年限为25年，职工指数化年平均指数为1.1394，借助MATLAB运算得到退休后该职工领取的养老金总额为509330元。15我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，即企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。企业把职工工资总额按20%的比例缴纳

43、到社会统筹基金账户中，针对个人来说，每位职工都将原有工资的20%缴纳到社会统筹基金账户中去。由于每个月的职工工资是可知的，则2000-2004年采用30-34岁段的平均工资，2005-2009年采用35-39岁段的平均工资，2010-2014年采用40-44岁段的平均工资以此类推直到54岁那年。那么通过简单累加就可以计算出该职工总共缴纳了多少钱到社会统筹基金账户中，即可得该职工的缴纳社会统筹基金总额为235690。基础养老金是从社会统筹基金账户中调拨出来的，而某职工退休后领取的基础养老金总额和退休前缴纳的社会统筹基金总额都可计算出来，那么通过比较退休前后的数额差距，来说明职工在基础养老金方面是

44、否达到收支平衡。当退休年龄为55岁时，退休前缴纳社会统筹基金总额为235690元，退休后领取基础养老金总额为509330元，不出现缺口，多获得273640元。同样道理，可计算退休年龄为60岁和65岁时的情况。当退休年龄为60岁时，退休前缴纳社会统筹基金总额为332650元，退休后领取基础养老金总额为488660元，不出现缺口，多获得156010元。当退休年龄为65岁时，退休前缴纳社会统筹基金总额为429840元，退休后领取基础养老金总额为376070元，出现缺口，少获得53770元。5.3.2 个人账户养老金缺口分析已知个人账户养老金的计算原理为：个人账户养老金=个人账户储存额÷计G

45、发月数，得到等式为Pr=。 M即在职工刚退休时，每个员工都会有一个对应的M值，也就数个人账户养老金计发月数（M值的具体数值可以参考题目附件3表一）。而G则为个人账户储存额，是每个月职工工资的8%的累加和，同样由于员工每个月的平均工资是可计算的，那么该职工个人工资账户总额为124760元。根据养老保险精算模型5可以得知，个人账户收支平衡，有一个很重要的因素，折现率。折现率是指将未来有限期预期收益折算成现值的比率，本金化率和资本化率或还原利率则通常是指将未来无限期预期收益折算成现值的比率。假设第1年缴纳的资金为U，那么经过折现率折算之后，相对于第i年来说，U的实际资金小于U，也就是俗话说的“手边的

46、1分钱能抵远在天边的1元”。在此，本论文把银行的利率看作成现金增值的量，即为折现率。那么每年提取一部分个人账户养老金后，其个人账户总额的变化是可以得知的。从第一年缴纳的金额为基底，将往后每年的缴纳的金额按3%的折现率，以（1+3%）n折现回第一年进行累加。根据这种规律，利用MATLAB进行计算，得到一下结果。当退休年龄为55岁时，退休前缴纳个人账户资金总额为124760元，退休后领取个人账户养老金总额为134950元，损失10191元。当退休年龄为55岁时，退休前缴纳个人账户资金总额为186980元，退休后领取个人账户养老金总额为198490元，损失11505元。当退休年龄为55岁时，退休前缴

47、纳个人账户资金总额为259240元，退休后领取个人账户养老金总额为270620元，损失11379元。165.3.3 养老保险基金缺口分析通过对55、60、65岁三个退休年龄的基础养老金缺口分析和个人账户养老金缺口分析，整理得到情况如下表：表5.3.2 55、60、65岁退休前后养老金情况表出现缺口，那毫无疑问养老保险基金会出现缺口；可能出现社会统筹基金和个人账户基金都高于平衡，不会出现缺口；还有可能出现社会统筹基金和个人账户基金两个基金中一个高于平衡而另一个低于平衡。在这种情况下则需要将社会统筹基金和个人账户基金相加起来分析。而在分析人口账户基金缺口的情况下，是通过折现率换算得到了，那么现在则需要通过折现率反推回去，通过一下公式得到实现。死亡时个人账户(折现后)基金+社会统筹基金=总投入Si=Si-1-(V0´(1+3%)i-1+qi) （5.3.2）其中V0为个人账户基金，Si为退休后第i年后总投入还剩余的，qi为退休后第i年的基础基金。通过MATLAB计算可得，当退休