北航偏微分第一章习题解答

1、一、偏微分方程建立1:在弦横振动的问题中,若弦受到一与速度成正比的阻力,试导出弦的阻尼振动方程。 解:(1如图1.1所示,考虑弦中任意小段x的受力情况。x1.1图依题意,设单位长弦线所受的阻力为t(表示的是阻力常数,则在振动过程中,bu b x 221cos cos T T 段所受到的纵向的力为11(t bu x x ,所受到的横向的力为x 221sin sin T T +其中10<2T ,和分别表示的是1T x 段两端受到的拉力。(2由题意,弦仅做横向运动,而无纵向振动,于是由Newton 运动定律得到:2212211cos cos sin sin (t t T T T T bu x

2、x =10(t x u x x x +=+ 表示的弦线的密度,表示的弦线的加速度。 tt u 其中(3在小振动的情况下,有:1122n (u x sin tan (,sin ta ,x x u x t x t =21cos cos 1=+,=(tt x x u x x x于是,方程就化为:1221(,(,(x x t T T T T u x x t T u x t bu x =+令=+ 即可以化成:(,(,x x t t u x x t u x t T bu x x (t x u x x +=+0x 最后令:,得到:2tt t xx u cu a u +=其中2a ,T bc =。2.细杆或弹

3、簧受到某种外界原因而产生纵向振动,以表示静止时在(,u x t x 点处在时刻 离开原位置的偏移,假设振动过程中所发生的张力服从虎克定律,试证明满足方程t (,u x t 2222(u u x E t x=( 其中x 为杆的密度,为杆的杨氏模量。E解:(1设细杆的横截面积为,在细杆上取位于S xx至x+(,处的小微元,设p x处单位面积受到的弹力。x t为在x ,x t s分析小微元在水平方向上的受力情况: 向左:(,x t S (,p 向右:x x t +(x gS x x x Sp 小微元的重力为:(x xx gS x d +=+(tt u x x +小微元的平均加速度为(2由牛顿第二定律

4、得到下面这个方程:22(1x xx u p x x t s p x t s s x dx t +=(,(,(3又由虎克定律知道:(,(,u x t p x t E =x E ,其中为杨氏模量。 则(1方程的左端可进行下列变形:(,(,(,(,x x xu t E +u t p x x t p x t E += 其中上式右端根据Taylor 展开还可以进一步变形成:2(,(,2(,(2x u t p x x t p x t E x o x +=+(3x xx gS x dx gS x x x +=+0(又由中值定理:(其中 1<。将(2(3代入(1中,两边同时约去x 和得到: S 2222

5、(,u t E x (x u o x x t=+0x 令:即得到杆的位移所满足的方程:2222(u u x E t x=。3.试证:圆锥形枢轴的振动方程为:221122x u x E u x h x h =h t 其中为圆锥的高。解:(1如图所示,h 左x +的部分作为分析的小微元。 x x 到选择圆锥上从小微元相关量的计算:两侧面积:2222a 1,x x S S h h =x a 1+=左右 体积:x x22x V a (1d h h22=a x(1x x += 其中10<x x,tS 。分析微元受到的力: 向右的:p(+左p(x,tS 右向左的:(2对小微元运用牛顿第二定律,得到:

6、22222222x p(x x,ta 1p(u x V a t h x x h h +=22x,ta 1ux(1(1t (3由虎克定律:(,u x t t E (,p x x =(1的左端可变形为2222222x p(x x,ta 1p(x,ta 1(, 1(, 1(,1(x x xx x h h u t E E h h u x t x E x x x h u t o x =+=+(22a (3将(1式两端同时约去,且将(2代入(1中,即得:22(,1(u x t x E x o x x h +x 1x x x h += 两边约去x ,并令,0x 即得到圆锥形枢轴的振动方程:221122x u

7、 x u E x h x h =t4. 一均匀细杆直径为,假设它在同一截面上的温度是相同的,杆的表面和周围介质发生热交换,服从于规律l 11(k u u dSdt dQ =1k 1u其中表示热交换系数,表示周围介质的温度,又假设杆的密度为,比热为,热传导系数为,试导出此时的温度所满足的方程。c k u解: 设细杆的横截面积为,因杆在同一横截面上的温度相同,故温度仅为0S u ,t x 的函数。取杆上到x x x +1t 2t 之间的小微元。在任意时间到内,此微元内的热量的改变来源于三个部分:(1 x 处截面左方部分传递给小微元的热量;x +x x x处截面右方部分传递给小微元的热量;+(2 x

8、(3 周围介质传递给小微元的热量。其中第(1,(2部分可以由热传学中的富里埃实验定律得到:物体在无穷小时段内传过一个无穷小面积的热量与物体温度沿曲面的法向方向的方向倒数dt dS dQ dS u n 成正比,即u dQ k dSdt =k n ,其中称为热传导系数。负号的出现是因为热量的流向与温度梯度的正向相反。因此我们从考虑小微元吸热的角度来看,(1和(2中的热量分别是:120t x t ukS x dt ,120t x x tu kS dt x +11(x x。 对于(3,我们可以依据题目中给出来的细杆与周围介质的热交换规律得到:12t t xxk u u dxd +t表示的是杆的横截面的

9、周长。其中此时,小微元吸收的热量也可以同过比热的形式来描述,并可以进行以下变形:122020(, ( x xxt t c S u x t u c S u x 11(,(,(,x t dxt u x t u x t c S dt t +x = (1 其中x (x,x x +。将两种形式统一写到一起即可以得到下面这个方程:11122200 t t t x x x t t t u ukS dt kS dt xx x +12110(,x xxt t k u u dxdtu x t c S dt t +=将关于时间的积分号写到一起,有:12011(0(,0t x xx x x t x u u u x t

10、 kS x k u u dx c S dt x x t +=1,2t t (2 由于时间的任意性,可知可以去掉积分号,011(0(,0x xx x x xu u u x t kS k u u dx c S xx t +=(3又因为:22111(x xx x xxu u u xx x k u u dx k +=1(4(5x u x u x其中x (x,x x +。把(4,(5代入(3中,且两边同时约掉x 0x ,并令即可得到:20112(u u kS k u u c S 0t=x u 即得到温度满足的方程:21120(k u u u x c S u k t c = 小结:从上面几道题的求解过程,

11、我们可以得到依据实际问题建立偏微分方程的基本思想分成下面的三步:(1从所研究的系统中划出一小部分,分析邻近部分与这一部分的相互作用;(2依据物理学规律,如牛顿第二定律,能量守恒定律,虎克定律等,用具体的数学方程来表示这个作用关系;(3化简,整理,并将小部分无限趋向零,即得到研究问题所满足的偏微分方程。二:偏微分方程的基本概念1.给出下列偏微分方程的阶数,然后以线性和非线性将它们分类,如果是线性的,指明是齐次还是非齐次。223(1(21(3(4(5xxy x x xxyy xx yy xx t x u y u u u e u uu u u u +=+=+=2ln(103yy x u y u yu

12、 u +=解:相关概念的复习:定义:一个方程称为阶的线性偏微分方程,如果它可以写成下面的形式:方程的左边是未知函数及其只至阶的偏导数的线性组合,线性组合的稀疏系数恰好是独立变量的函数,方程的右边必为某个给定的独立变量的函数n u n f ,如果f 恒为零,那么这样的方程成为齐次的,否则成为非齐次的。那么对于上面的方程,分别有:(1三阶,线性,齐次;(2一阶,非线性;(3四阶,线性,非齐次;(4二阶,非线性;(5二阶,线性,齐次;2判断下列二阶变系数偏微分方程属于哪种类型,并将其化成标准形式。2222(1(2(3xx xx xx y u x u u x +=+20200yy xy yy yy x

13、 u xyu y u u +=解:上面的三个方程分别属于三种类型,大家可以从其中学习到将变系数偏微分方程(,(,(,(,(xx xy yy x ,(,(,y A x y u B x y u C x y u D x y u E x y +u F x y u G x y +=244B AC x y 化成标准形式的方法。(1首先依据202=0,0x y >,知道除了=22(y dy x dx =上外,方程处处为双曲型的。对应的特征方程为:0 22(求解上面特征方程得到:dy dx x dy x y dx y=或 对上述第一个方程积分得到对应的特征曲线,22111,22dx y x c =+yd

14、y x = 同理可以得到第二个特征曲线:2221122y x c =+ 那么我们做下列变量替换:221122y x 2211,22y =+x依据:2222222222222222222(2(2(2u u u xu xu x x xu u u yu yu y y yu u u u 2222u u x x x x x u x u x u u u u u u u y y y y x x x =+=+=+=+=+=+=+ 222222222(2u u yy y y u y u y u u u +=+得到方程化简后的形式:222(u u 222(u 24C =。(2首先依据0B A =22(x dy x

15、ydxdy y dx +=,知道方程处处为抛物型的。 对应的特征方程为:22(20求解上面特征方程得到:dy y dx x=对上述方程积分得到对应的特征曲线,ln dy dx ln ,c y x c y e y x=+=x 那么我们做下列变量替换:,yy x= 依据:22222222222342222222221(2(2(2(u u u y u x x x xu u u u u y y y xu u u u u x x x x x y y u u x x u u u u y y y y y 2222u x x =+=+=+=+=+=+2222222321y y u u 222222212(u

16、u u u u x x u u u u x yx y x y x y x y x y x y y y u u u x x x =+=+=得到方程化简后的形式:20,00y u u y =即(44B AC 。(3首先依据202x =0x ,知道除了=上外,方程处处为椭圆型的。对应的特征方程为:222(dy x dx +=(0求解上面特征方程得到:dy ix dx=±对上述第一个方程积分得到对应的特征曲线,211,2ixdx y x i c dy =+ 同理可以得到第二个特征曲线:2212y x i c =+22, 那么我们做下列变量替换:y x =依据:2222222222222222

17、22222(2(42(2(u u u xu x x xu u u u y y yu u u u 222222u u x x x x x u u u u u u y y y y x x x u y y =+=+=+=+=+224u y u =得到方程化简后的形式:12u u u +=2yy x y u u u 。 3 判断下面常系数偏微分方程的类型,并将其化成标准形式。45xx xy u u +=49B AC解:常系数偏微分方程从本质上是隶属于变系数偏微分方程的,因此可以套用上面的方法来判断其类型,并将其化成标准形式。 首先依据02=>0,0x y ,知道除了=上外,方程处处为双曲型的。对

18、应的特征方程为:224(dy 5(0dxdy dx +=求解上面特征方程得到:114dy dy dx dx=或 对上述第一个方程积分得到对应的特征曲线,114y x =+2c 同理可以得到第二个特征曲线:y x c =+那么我们做下列变量替换:1,4y x y x =依据:22222222222222222214(2(11162(2(u u u u u x x x u u u u u y y y u u uu 2222u u x x x x u u u u u uu y y y y x x x y =+=+=+=+=+=+22222u u y y u u u +=+得到方程化简后的形式:183

19、9u u =24A 。小结:将两个变量的二阶偏微分方程化成标准形式的方法如下:1依据C 的符号来判断方程的类型。B 2找到原方程所对应的特征方程,并求解对应的积分曲线。 3依据积分曲线的形式,选择合适的变量替换,整理得到化简后的形式。三:求解偏微分方程的一些基本方法。1、注意到31u x (,y x =是线性偏微x 6y xx u u =22(,u x y y =2y =188xx y u u x 的一个解,是y 的一个解,求y xx u u =+1u 1f 的一个解。 解:复习叠加原理:令是线性偏微分方程L u =的一个解,是线性偏微分方程2u L u 2f =的一个解,则对于任意常数2,是

20、21,c c c u +112c f c f 1122c u L u +的解。=由题意,令:xx y L u u u 6,1(,f x y x f =2(,2x y y =,=123(,4(,。由于188x y f x y f x y +=32(,34u x y x y 188y x由叠加原理知道:123(,4u x y =将是方程y xx u u =+的一个解。2、考虑对于非线性一阶偏微分方程x y -u(u -u=02(0x y x y u u u u u u +=或等价的(u 可以得到两个解,x y e e ,证明21x y c e c e +2c (x y L u u u u u 将不是方程的解,除非0。10c =或=解:定义(=121212121212221212(x x y y x y x y x y y x L c u c v c u c v c u c v c u c v c u c