概率论与数理统计2

1、1第二章 随机变量及其分布关键词：随机变量 概率分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量的函数22 离散型随机变量、几个经典例子 定义：值域可数的随机变量为离散量离散量。可以通过列举X取每个值得概率来刻画。10,1iiipp样本空间S X=x1，X=x2，X=xn， 由于样本点两两不相容111( )()iiiiP SP Xxp1、写出可能取值即写出了样本点2、写出相应的概率即写出了每一个样本点出现的概率P1x2xix1p2pipX# # 概率分布3 例：某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经 过3个独立的交通灯，设各灯工作独立，且设 各灯为红灯的概率为p，0p1，以X表示首次 停车时

2、所通过的交通灯数，求X的概率分布律。1(0)() P XP Ap；12(1)()(1) P XP A Ap p；2123(2)()(1) P XP A A App；3123(3)()(1) P XP A A Ap；pX0123pp(1-p)(1-p)2p(1-p)3 0 ,1 ,2 3XXXXS注意：为 的一个划分 解： 设Ai=第i个灯为红灯，则P(Ai)=p，i=1,2,3 且A1,A2,A3相互独立。4 例：从生产线上随机抽产品进行检测，设产品 的次品率为p，0p1，若查到一只次品就 得停机检修，设停机时已检测到X只产品， 试写出X的概率分布律。1121()()(1), 1,2,kkkP

3、 XkP A AAApp k 解：设Ai=第i次抽到正品，i=1,2, 则A1,A2,相互独立。 亦称X为服从参数p的几何分布。几何分布。5三个主要的离散型随机变量 01(p) 分布 二项分布Xpq01p样本空间中只有两个样本点即每次试验结果即每次试验结果互不影响互不影响在相同条件下在相同条件下重复进行重复进行(p+q=1),A A * * n重贝努利试验：设试验E只有两个可能的结果： p(A)=p,0p1,将E独立地重复进行n次，则称这一串的试验为n重贝努利试验贝努利试验。6例：1. 独立重复地抛n次硬币，每次只有两个可能的结果： 正面，反面，如果是不放回抽样呢？,A A,A A1 2P出现

4、正面 1 6P A 1 2P A 2.将一颗骰子抛n次，设A=得到1点，则每次试验 只有两个结果： 3.从52张牌中有放回地取n次，设A=取到红牌，则 每次只有两个结果：7设A在n重贝努利试验中发生X次，则并称X服从参数为p的二项分布二项分布，记()(1) 01kkn knP XkC ppkn， ， ，()Xb np，3123(0)()(1)P XP A A Ap3123(3)()P XP A A Ap223 21231231233(2)()(1)P XP A A AA A AA A AC pp113 11231231233(1)()(1)P XP A A AA A AA A AC pp ()

5、(1),0,1,2,kkn knP XkC ppkn一般0 1() 1nnkkn knkpqC p qqp 注：其中推导：设Ai i= 第i次A发生 ，先设n=38例： 设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能有一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法， 其一是由4个人维护，每人负责20台； 其二是由3个人共同维护80台。 试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。91,2,3,420iXA ii解：以 记“第一人维护的20台中同一时刻发生故障的台数”。 以表示事件“第 人维护的台中发生故障不能 及时维修”，则知80台中发生故障不

6、按第一种方法。 能及时维修的 概率为：123412P AAAAP AP X20,0.01 ,Xb而故有：1021kP XP Xk 12020010.010.990.0169kkkkC 12340.0169P AAAA即有：80,80,0.01 ,80YYb按第二种以 记台中同一时刻发生故障的台数，此时故台中发生故障而不能及时维修方法。的概率为： 380800410.010.990.0087kkkkP YC 10 例：某人骑了自行车从学校到火车站，一路上 要经过3个独立的交通灯，设各灯工作独 立，且设各灯为红灯的概率为p，0p1， 以Y表示一路上遇到红灯的次数。(1)求Y的概率分布律；(2)求恰

7、好遇到2次红灯的概率。 (3, )Ybp 331 ()(1), 0,1,2,3kkkP YkC ppk 2232 (2)(1)P YC pp 解：这是三重贝努利试验11 例：某人独立射击n次，设每次命中率为p， 0p0为常数，则称X服从参数为的指数指数分布分布。记为 0( )0 0 xexf xx( )XEP1 0( )0 0 xexF xx 00(|)P Xtt Xt00()()P XttP Xt001()1()tF tteF t()P Xt X具有如下的无记忆性：24 210tN ttPoissonTT例：某大型设备在任何长度为 的区间内发生故障的次数 服从参数为的分布，记设备无故障运行的

8、时间为 1 求 的概率分布函数； 已知设备无故障运行个小时，求再无故障运行 8个小时的概率。 / !, 0,1,2,ktP N tketkk解： 1 00TtFt当时， 1TFtP TtP Tt 0101tTtFtP N te 当时， 8182 18|10810P TP TTeP TP T25 正态分布定义：设X的概率密度为其中 为常数，称X服从参数为 的正态分布(Gauss分布)，记为可以验算：22()21( ) 2xf xex，2( ,)XN ( )1f x dx+ ( )f x dx22 tIedt记2212xttedt令2212tedt22()22xyIedxdy22200rdredr

9、2I( )1f x dx2, 2, 26称为位置参数(决定对称轴位置) 为尺度参数(决定曲线分散性)max21 ( )12 ( )23 ( )0( ,)xf xxfflimf xXN 关于对称0 f x1x550.51.0 f xx1.50.7980.3990.266027X的取值呈中间多，两头少，对称的特性。 当固定时，越大，曲线的峰越低，落在附近的概率越小，取值就越分散， 是反映X的取值分散性的一个指标。 在自然现象和社会现象中，大量随机变量服从或近似服从正态分布。282 ( ,) XN 当时 (0 1) ZNZ记， ，称 服从标准正态分布()()()baP aXb ()P aXb xt作

10、变换： 221 2xZxe的概率密度：221 ( )2txZxedt的分布函数： 1xx22()212xbaedx()P aXb2212btaedt( )yx( )x()x0yxxx29 例：2( ,)XN ()() (1)( 1)2 (1) 10.6826P XPX (2 )2 (2) 10.9544P X (3 )2 (3) 10.9974P X 查书后附表99.74%3268.26%2395.44%30 例：一批钢材(线材)长度(1)若=100，=2，求这批钢材长度小于97.8cm的概率；(2)若=100，要使这批钢材的长度至少有90%落在区间(97,103)内，问至多取何值？2() (

11、 ,)X cmN (97.8)P X 解：(1)97.8 100()21(1.1) 1 0.86430.1357查附表= 9710390%PX(2) 令：103 10097 1003 ()()2 () 190% 即3()0.9531.6451.823731 例：设某地区男子身高(1) 从该地区随机找一男子测身高，求他的身高大于175cm的概率；(2) 若从中随机找5个男子测身高,问至少有一人身高大于175cm的概率是多少？恰有一人身高大于175cm的概率为多少？2()(169.7,4.1 )X cmN (175)P X 解： (1) 5175(5, ), 0.0985cmbpp(2) 设 人中

12、有Y人身高大于，则Y其中175 169.71()4.1 1(1.293) 1 0.90150.0985 查表5(1)1(0)1 (1)0.4045P YP Yp 1145(1)(1)0.3253P YC pp32作业：1、设实随机变量Xf，f是概率密度。式证明概率论可数可加公理，即2、教科书P51-4-（1）；3、教科书P41-3；4、练习册P145-一-2；5、练习册P145-四；6、练习册P145-2（提示：查阅标准正太分布表）；7、P147-五；335 随机变量的函数问题：已知随机变量X的概率分布， 且已知Y=g(X)，求Y的概率分布。2(,)XN ，(0)P Y Xpi i0.2-10

13、10.50.3(0)0.5P X(1)P Y (1)(1)PXX (1)(1)0.5P XP X 例如，若要测量一个圆的面积，总是测量其半径，半径的测量值可看作随机变量X，若 则Y服从什么分布？例：已知X具有概率分布 且设Y=X2，求Y的概率分布。解：Y的所有可能取值为0,1即找出(Y=0)的等价事件(X=0)；(Y=1)的等价事件(X=1)或(X=-1)34例：设随机变量X具有概率密度 求Y=X2的概率密度。, 04( )80, Xxxfx其他2( )YFyP YyP XyPyXy 0( )0;YyFy当时， 16 ( )1YyFy当时， 016 y当时,11, 0168162 0, yyy

14、其他( )( )( )( ) ( )( ( ) ( )xau xadf xf t dtf xdxdf t dtf u x u xdx连续时，( ) ( )XYFxFy，解：分别记X,Y的分布函数为( )0YFyPXy()XFy( )yXft dt1(), 0162( ) 0, XYfyyyfy其他Y在区间(0,16)上均匀分布。35一般，若已知X的概率分布，Y=g(X)，求Y的 概率分布的过程为：12 ,(),()();jjiYYy yyYyXDP YyP XD1. 若 为离散量，则先写出 的可能取值：再找出的等价 事件得2. ( )() (), ( )()( )YYYYYFyP YyYyXD

15、FyP XDYfy若 为连续量，则先写出 的概率分布函数：，找出的等价事件得；再求出 的概率密度函数；关键是找出等价事件。36例：设 Y=2X,Z=X2,求Y,Z的概率分布。13X-110p131323Z01p1313Y-220p1313解：Y的可能取值为-2,0,2 Z的可能取值为0,1(Y=-2)的等价事件为(X=-1)(Z=1)的等价事件为(X=1)(X=-1)故得：37例： 2( ) ( )YXf xxYXYfy 设 的概率密度为，求 的概率密度( )YYFy解：设 的概率分布函数为 0( )YyFy当时，()P Yy2()P Xy( )yyf t dt00( )( )yyf t dt

16、f t dt( )( )YYfyFy1 ()(), 02 0 , 0fyfyyyy38( ),( )0 ( )0)() XXfxxg xg xYg XY 定理：设，或。， 则 具有概率密度为：( ( )( ) , ( ) 0, XYfh yh yyfy其他min( (),() max( (),()( )( )ggggh yxyg x其中，( )0,g x 证明：不妨设( )0h y 且：( )( ( ) ( )( ( )( )YXXfyfh y h yfh yh y( )0 g x 同理可证：当时，定理为真xh(y),yy0y=g(x)y g x则为单调增函数, ( )()( ()()0YyF

17、yP YyP g XyP X 当时，； y当时，( )1YFy ； y当时，( )()YFyP Yy( ()P g Xy( )P Xh y( )( )h yXft dt39( ),( )0( , ),( )0 ( )0)() ( ( )( ) , ( ) 0, min( ( ), ( ) max( ( ), ( )( )( )XXYXfxx f xa baxbg xg xYg XYfh yh yyfyg a g bg a g bh yxyg x推论：设当时或。， 则 具有概率密度为：其他其中，40例：2( ,) ( )YXXNYYfy 设， 求 的概率密度( )xyg x，3, 04( ) (

18、 )80, YxxXf xYXfy。若， 求 其他3( ) yg xx，131, 064( )24 0 , Yyyfy其他222( ,) (,)XNYaXbYN ab a 一般若，1 ( )0g x ，( )xh yy( )()YXfyfy2212ye(0,1)YN13 ( )xyh y2( )30g xx ，21331( )()3YXfyyfy解：例： 解：41 1 2,0,1XF xXF xYF XYU例：设 服从参数为 的指数分布，为 的分布函数。求；设试证即均匀分布 。 ,01 0 , 0 xexXf xx解：由前知, 1,0 0 ,0 xexF xx 1,02 0 ,0XeXYF XX 01Y YFyY记为 的概率分布函数, 00YyFyP Yy当时， 11YyFyP Yy当时， 011XYyFyPey当时，1XP ey 11P Xlny 0, 0 , 01 , 0,11, 1YyFyyyYUy即111lnyey 作业：1、P149-三;2、P149-二43复习思考题复习思考题 2 21.什么量被称为随机变量？它与样本空间的关系如何？2.满足什么条件的试验称为“n重贝努里试验”？3.事件A在一次试验中发生的概率为p,0p1。若在n次独立重复的试验