山东省济南市实验中学2021届高三二模数学试卷

1、内装订线学校:_姓名：_班级：_考号：_外装订线绝密·启用前山东省济南市实验中学2021届高三二模数学试卷题号一二三四五总分得分注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、选择题1.已知集合A=x5x1,B=xx24则AB=（ ）A2,3B2,3C2,1D2,12.已知复数z=(a3i)(3+2i)(aR)的实部与虚部的和为7，则a的值为（ ）A1B0C2D23.设a=50.3，b=log0.30.5，c=log30.4，则a，b，c的大小关系是（ ）AabcBbcaCcabDcba4.已知等差数列an的项数为奇数，其中所有奇数项之和

2、为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为（ ）A28B29C30D315.已知两圆相交于两点A1,3，Bt,1，两圆圆心都在直线x+2y+c=0上，则t+c的值为（ ）A3B2C0D16.市场调查发现，大约35的人喜欢在网上购买儿童玩具，其余的人则喜欢在实体店购买儿童玩具.经工商局抽样调查发现，网上购买的儿童玩具合格率为45，而实体店里的儿童玩具的合格率为910.现工商局12345电话接到一个关于儿童玩具不合格的投诉，则这个儿童玩具是在网上购买的可能性是（ ）A12B34C45D567.两个三口之家（父母+小孩）共6人去旅游，有红旗和吉利两辆车，每辆车至少乘坐2人，但两个小孩不能单

3、独乘坐一辆车，则不同的乘车方式的种数为（ ）A48B50C98D688.中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上，把刘徽常用的方法概括为“出入相补原理”：一个图形不论是平面的还是立体的，都可以切割成有限多块，这有限多块经过移动再组合成另一个图形，则后一图形的面积或体积保持不变利用这个原理，解决下面问题：已知函数f(x)满足f(4x)=f(x)，且当x0,2时的解析式为f(x)=log2(2x),0x1log2x,1x2，则函数y=f(x)在x0,4的图象与直线y=1围成封闭图形的面积是（ ）A2B2log23C4D4log23评卷人得分二、多选题9.调查机构对某高科技行业进行调

4、查统计，得到该行业从业者学历分布饼状图、从事该行业岗位分布条形图，如图所示则下列说法正确的是（ ）A该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上B该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的30%C该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生D该高科技行业中从事技术岗位的人员主要是博士10.已知fx=2cos2x+3sin2x10的最小正周期为，则下列说法正确的有（ ）A=2B函数fx在0,6上为增函数C直线x=3是函数y=fx图象的一条对称轴D512,0是函数y=fx图象的一个对称中心11.如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q分别是线段B1D1，AC上的动点，则下列

5、说法正确的有（ ）A线段PQ长度的最小值为2B满足PQ=22的情况只有4种C无论P，Q如何运动，直线PQ都不可能与BD1垂直D三棱锥PABQ的体积大小只与点Q的位置有关，与点P的位置无关12.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；第nnN*次得到数列1，x1,x2,x3,xk，2；记an=1+x1+x2+xk+2，数列an的前n项为Sn，则（ ）Ak+1=2nBan+1=3an3Can=32n2+3nDSn=343n

6、+1+2n3评卷人得分三、填空题13.设向量a=(1,m),b=(2,1)，且b(2a+b)=7，则m=_.14.已知sincos=38，且0,2，则cos2sin4的值为_.15.已知过抛物线y2=x焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过坐标原点O的直线与双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)交于M，N两点，点P是双曲线上一点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，若不等式k1+4k2(|AF|BF|)|AF|+|BF|恒成立，则双曲线的离心率为_.评卷人得分四、双空题16.任取一个正整数m，若m是奇数，就将该数乘3再加上1；若m是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步

7、骤后，必进入循环圈1421，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若m=5，则经过_次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m的可能值之和为_.评卷人得分五、解答题17.在平面四边形ABCD中，ABC=3，ADC=2，BC=4.（1）若ABC的面积为33，求AC；（2）若AD=33，ACB=ACD+3，求tanACD.18.已知an是递增的等比数列，前3项和为13，且3a1，5a2，3a3成等差数列.（1）求数列an的通项公式；（2）各项均为正数的数列bn的首项b1=1，其前n项和为Sn，且_，若数列cn满足cn=anbn，求cn的前n项和Tn.在如下三个条件中任意选择一个，

8、填入上面横线处，并根据题意解决问题.bn=2Sn1；2bn=bn1+bn+1n2，b2=3；SnSn1=Sn+Sn1n2.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19.如图，已知斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形，点M，N分别是B1C1和A1B1的中点，AA1=AB=BM=2，A1AB=60°.（1）求证：BN平面A1B1C1；（2）求二面角MABC的余弦值.20.每年的4月23日是世界读书日，设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，享受阅读带来的乐趣某高校为了解在校学生的每周阅读时间X（单位：小时），对全校学生进行了问卷调查从中随机抽取了100名学生的数据，统计如下表

9、：每周阅读时间X9,11)11,13)13,15)15,17)17,19)19,21)21,23频率0.050.10.150.40.20.060.04（1）根据频率分布表，估计这100名学生每周阅读时间的平均值X¯（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）若认为目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N(,2)，用（1）中的平均值X¯近似代替，且P(14X17.76)=0.5，若某学生周阅读时间不低于14小时，该同学可获得“阅读之星”称号.学校制定如下奖励方案：“阅读之星”可以获赠2次随机购书卡，其他同学可以获赠1次随机购书卡.每次获赠的随机购书卡的金额和对应的概率为

10、：购书卡的金额（单位：元）2050概率3414记Y（单位：元）为甲同学参加问卷调查获赠的购书卡的金额，求Y的分布列与数学期望.21.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F13,0，F23,0，过点F2的直线l与椭圆交于不同两点M，N.当直线l斜率为1时，弦MN的中点坐标为43,13.（1）求椭圆E的标准方程；（2）求F1MN的内切圆半径r最大时，直线l的方程.22.已知函数f(x)=exax(aR).（1）讨论函数fx的单调性；（2）当a=2时，求函数gx=fxcosx在2,+上的零点个数.参考答案1.C【解析】解出集合B的解集，按照交集定义求得交集即可.B=xx24

11、=2,2，则AB=2,1)故选：C2.C【解析】根据复数的乘法运算化简后即可求解.z=(a3i)(3+2i)=3a+2ai9i6i2=3a+6+(2a9)i，所以复数z的实部与虚部分别为3a+6，2a9，于是3a+6+2a9=7，解得a=2，故选：C3.D【解析】根据指对数的性质，即可比较a，b，c的大小.由a=50.31b=log0.30.50c=log30.4，cba.故选：D4.B【解析】本题可设等差数列an共有2n+1项，然后通过S奇S偶即可得出结果.设等差数列an共有2n+1项，则S奇=a1+a3+a5+a2n+1，S偶=a2+a4+a6+a2n，中间项为an+1，故S奇S偶=a1+

12、a3a2+a5a4+a2n+1a2n=a1+d+d+d=a1+nd=an+1，an+1=S奇S偶=319290=29，故选：B.5.A【解析】由相交弦的性质，可得AB与直线x+2y+c=0垂直，且AB的中点在这条直线x+2y+c=0上；由AB与直线x+2y+c=0垂直，可得3(1)1t=2，解可得t的值，即可得B的坐标，进而可得AB中点的坐标，代入直线方程可得c=2；进而将t、c相加可得答案根据题意，由相交弦的性质，相交两圆的连心线垂直平分相交弦，可得AB与直线x+2y+c=0垂直，且AB的中点在这条直线x+2y+c=0上；由AB与直线x+2y+c=0垂直，可得3(1)1t=2，解可得t=1，

13、则B(1,1)，故AB中点为(0,1)，且其在直线x+2y+c=0上，代入直线方程可得，0+2×1+c=0，可得c=2；故t+c=(1)+(2)=3；故选：A6.B【解析】根据已知条件，利用比例求得这个儿童玩具是在网上购买的可能性.工商局12345电话接到一个关于儿童玩具不合格的投诉，则这个儿童玩具是在网上购买的可能性是35×1535×15+25×110=325425=34.故选：B7.A【解析】先求所有乘坐情况，再求两个小孩单独乘坐一辆车的情况，即可求出结果6人乘坐的所有情况有C62C44A22+C63=15×2+20=50，两个小孩单独乘坐

14、一辆车的情况有C21=2，所以两个小孩不能单独乘坐一辆车，则不同的乘车方式的种数为502=48，故选：A8.C【解析】根据题设“出入相补原理”，结合函数y=f(x)在x0,4的图象与直线y=1围成封闭图形的特征及其对称性，应用数形结合的方法，移补图形可得矩形即可求面积.由题意知：f(x)关于x=2对称，而f(x)=log2(2x),0x1log2x,1x2，且f(0)=f(4)=1，f(2)=1，在x0,4，f(x)、f(4x)及y=1的图象如下，将所围成的图形在x轴下半部分阴影区域分成两部分相补到x轴上半部分阴影区域，可得到图示：由x轴、y轴、y=1、x=4所围成的矩形的面积，函数y=f(x

15、)在x0,4的图象与直线y=1围成封闭图形的面积为4.故选：C9.AB【解析】根据两个图形进行数据分析可得从饼状图知该高科技行业从业人员中学历为博士的占55%，占一半以上，A正确；从条形图该高科技行业中从事技术岗位的人数为总人数的39.6%，B正确；两个图形中没有反应从事的职业与学历的关系，CD错故选：AB10.BD【解析】首先化简函数fx=2sin2x+6，根据周期求=1，然后再判断三角函数的性质.fx=cos2x+3sin2x=2sin2x+6，22=，=1 fx=2sin2x+6 ，故A不正确；当x0,6时，2x+66,2 是函数y=sinx的单调递增区间，故B正确；当x=3时，2

16、15;3+6=56，sin56=12±1，所以不是函数的对称轴，故C不正确；、当x=512时，2×512+6=，sin=0，所以512,0是函数y=fx的一个对称中心，故D正确.故选：BD11.ABD【解析】对于A选项，当P，Q分别是线段B1D1，AC的中点时，满足；对于B选项，PQ=22只能是AD1,CD1,AB1,CB1四种；对于C选项，当P与B'点重合，点Q与C点重合时，故PQBD1；对于D选项，由于点P到平面ABQ的距离是2，底面QBA的面积随着点Q的移动而变化即可得答案.对于A选项，当P，Q分别是线段B1D1，AC的中点时，PQ是异面直线B1D1，AC的公

17、垂线，此时线段PQ长度最小，为2，故A选项正确；对于B选项，PQ=22只能是面对角线，此时PQ可以是AD1,CD1,AB1,CB1四种，故B选项正确；对于C选项，当P与B'点重合，点Q与C点重合时，此时的直线PQ（即B1C）与平面BC1D1垂直，故PQBD1，故C选项错误；对于D选项，由于点P到平面ABQ的距离是2，底面QBA的面积随着点Q的移动而变化，所以三棱锥PABQ的体积大小只与点Q的位置有关，与点P的位置无关，故D选项正确.故选：ABD12.ABD【解析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可.由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时k=1第

18、2次得到数列1,4,3,5,2，此时k=3第3次得到数列1, 5,4,7,3,8,5,7,2，此时 k=7 第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时k=15第n次得到数列1，x1,x2,x3,xk，2 此时k=2n1所以k+1=2n，故A项正确；结合A项中列出的数列可得： a1=3+3a2=3+3+9a3=3+3+9+27a4=3+3+9+27+81an=3+31+32+3n(nN*)用等比数列求和可得an=3+33n12则 an+1=3+33n+112=3+3n+232=3n+22+32又 3an3=33+33n123=9+3n+229

19、23=3n+22+32所以 an+1=3an3，故B项正确；由B项分析可知an=3+33n12=323n+1即an32n2+3n，故C项错误.Sn=a1+a2+a3+an=322+332+3n+12+32n=3213n132+32n=3n+24+3n294=343n+1+2n3，故D项正确.故选：ABD.13.1【解析】向量数量积的坐标表示，列式求m.2a+b=4,2m+1，b2a+b=7，2×4+2m+1=7，解得：m=1.故答案为：114.142【解析】根据sincos=38求出sin+cos，再利用二倍角公式和两角差的正弦公式化简原式即可求得由题意，(sin+cos)2=1+2

20、sincos=74，又0,2，所以sin+cos0，则sin+cos=72，所以cos2sin4=cos2sin222(sincos)=(cossin)(cos+sin)22(sincos)=142，故答案为：14215.2【解析】由k1+4k2(|AF|BF|)|AF|+|BF|可得k1+4k2AF+BFAFBF=1BF+1AF，直线AB为x=my+14，设A(x1,y1),B(x2,y2)，然后将直线方程与抛物线方程联立，消去x，利用根与系数的关系，结合已知可得1BF+1AF=4，由题意可得M，N关于原点对称，所以设M(x0,y0),N(x0,y0)，P(x3,y3)，可得k1k2=b2a

21、2，再利用基本不等式可得k1+4k224k1k2=4×ba，从而可得4×ba=4，进而可求出双曲线的离心率解：由k1+4k2(|AF|BF|)|AF|+|BF|恒成立，可得k1+4k2AF+BFAFBF=1BF+1AF，因为y2=x，所以F(14,0)，则设直线AB为x=my+14，设A(x1,y1),B(x2,y2)，令y10,y20，由x=my+14y2=x，得y2my14=0，则y1+y2=m,y1y2=-14，因为AF=1+m2y1,BF=1+m2y2，y1+y2=y1y2=(y1+y2)24y1y2=m2+1，所以1BF+1AF=1m2+1(1y1+1y2)=1m

22、2+1y1+y2y1y2=1m2+1m2+114=4，所以k1+4k24恒成立，因为直线MN过原点，所以M，N关于原点对称，设M(x0,y0),N(x0,y0)，P(x3,y3)，因为点P(x3,y3)在双曲线上，所以x32a2y32b2=1，所以k1k2=y3y0x3x0y3+y0x3+x0=y32y02x32x02=1x32x02b2(x32a21)b2(x02a21)=b2a2，所以k1+4k224k1k2=4×ba，当且仅当k1=4k2时取等号，所以4×ba=4，所以b=a，所以c2=b2+a2=2a2，即c=2a，所以离心率为e=ca=2，故答案为：216.

23、60;    5     41【解析】（1）设a1=1，根据“冰雹猜想”，分别写出后面的项，直至为1，求解；（2）若第5次步骤后变成1，则a6=1，根据“冰雹猜想”，写出前面的项，直至a1，求所有可能的首项.（1）当m=5时，a1=5，a2=5×3+1=16，a3=8，a4=4，a5=2，a6=1，所以需5次步骤后变成1；（2）若第5次步骤后变成1，则a6=1，a5=2，a4=4，a3=8或1 ，当a3=8，a2=16，a1=32或a1=5；当a3=1时，a2=2，a1=4，所以m的可能值是4,5,32，m的可能值

24、的和是4+5+32=41.故答案为：5；4117.（1）13；（2）337.【解析】（1）应用三角形面积公式有SABC=12ABBCsinABC，可求AB，由余弦定理即可求AC；（2）设ACD=，在RtACD中AC=ADsin，在ABC中应用正弦定理有BCsinBAC=ACsinABC，即可求tan，得解.（1）在ABC中，BC=4，ABC=3，SABC=12ABBCsinABC=33，可得AB=3，在ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC22ABBCcosABC=13，AC=13.（2）设ACD=，则ACB=ACD+3=+3，在RtACD中，AD=33，易知：AC=ADsin=33sin

25、，在ABC中，BAC=ACBABC=3，由正弦定理得BCsinBAC=ACsinABC，即4sin(3)=3332sin，2sin=3sin(3)=332cos32sin，可得tan=337，即tanACD=337.18.（1）an=3n1；（2）答案见解析.【解析】（1）设数列an的公比为q，由题意联立方程组求出a1和q即可求解；（2）选择：将bn+1=2Sn两边平方，根据bn=SnSn1n2可得bnbn1=2(n2)，由等差数列的定义知数列bn是等差数列，从而可求出bn通项公式，进而可得cn，最后利用错位相减法即可求解数列cn的前n项和Tn；选择：因为2bn=bn1+bn+1(n2)，b2

26、=3，所以由等差中项公式可得数列bn是等差数列，从而求出求出bn，以下同；选择：由SnSn1=Sn+Sn1得SnSn1=1，所以Sn为等差的数列，从而可求Sn，进而得Sn，再根据bn=S1n=1SnSn1n2求出bn，以下同.解：（1）设数列an的公比为q，由题意有a1+a2+a3=1310a2=3a1+3a3，所以a1+a3=10a2=3，所以3q+3q=10，即3q210q+3=0，解得q=13或q=3因为an是递增的等比数列，所以q1，所以q=3，所以a1=1，所以an=3n1.（2）选择：因为bn=2Sn1，所以4Sn=bn2+2bn+1，4Sn1=bn12+2bn1+1n2，两式相减

27、得4bn=bn2bn12+2bnbn1(n2)，即bn+bn1bnbn12=0(n2)，因为bn+bn10(n2)，所以bnbn1=2(n2)所以数列bn是以b1=1为首项，2为公差的等差数列，故bn=1+2(n1)=2n1，因此cn=(2n1)3n1，Tn=1×30+3×31+5×32+(2n1)×3n1，3Tn=1×31+3×32+5×33+(2n1)×3n，两式相减得2Tn=1+231+32+3n1(2n1)3n，即2Tn=1+2313n113(2n1)3n=1313n1(2n1)3n=2+3n(2n1)3n

28、=2(2n2)3n，所以Tn=1+(n1)3n.选择：由2bn=bn1+bn+1(n2)，b2=3，所以数列bn是以b1=1为首项，2为公差的等差数列，故bn=1+2(n1)=2n1，因此cn=(2n1)3n1，以下同；选择：由SnSn1=Sn+Sn1得SnSn1=1，Sn是以1为首项1为公差的等差的数列，Sn=n，Sn=n2，所以bn=SnSn1=2n1n2，检验n=1时也满足，所以bn=2n1，cn=(2n1)3n1，以下同.19.（1）证明见解析；（2）55.【解析】（1）通过判断BNA1B1和BNMN即可证明；（2）取AB的中点O，连结A1O，以点O为原点建立空间直角坐标系，求得平面M

29、AB和平面ABC的一个法向量，利用向量关系即可求解.（1）证明：连结MN，A1B，侧面ABB1A1是平行四边形，且A1AB=60°，所以A1BB1为正三角形，又点N分别是A1B1的中点，所以BNA1B1又因为AA1=AB=BM=2，所以BN=3，MN=1.所以BN2+MN2=BM2，所以BNMN，又A1B1MN=N，所以BN平面A1B1C1.（2）取AB的中点O，连结A1O，则A1O/BN.由（1）知A1O平面ABC，COAB，如图，以点O为原点，直线OE，OC，OA1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.则O(0,0,0)，A(0,1,0)，B(0,1,0)，C(3,0,

30、0)，A1(0,0,3)，B1(0,2,3)，M32,32,3，设平面MAB的一个法向量为n1=(x,y,z)，则n1OM，n1BM.所以32x+32y+3z=032x+12y+3z=0，可取n1=(2,0,1)，易得平面ABC的一个法向量为n2=(0,0,1)所以cosn1,n2=n1n2n1n2=55因为二面角A1ABM为锐角，所以其余弦值为5520.（1）15.88；（2）分布列见解析，48.125.【解析】（1）区间中点乘以对应的频率然后求和，可得阅读时间的平均值；（2）根据正态分布的对称性可得P(X14)=1P(X14)=114=34，由题意甲为“阅读之星”的概率为34 ，由“阅读之

31、星”可以获赠2次随机购书卡，以及每次获赠的随机购书卡的金额和对应的概率，可得Y的可能取值为20，40，50，70，100，然后写出分布列，求出期望.（1）x¯=10×0.05+12×0.1+14×0.15+16×0.4+18×0.2+20×0.06+22×0.04=15.88（2）由P(14X17.76)=0.5，且正态密度曲线关于x=15.88对称，所以P(X14)=P(X17.76)=1P(14X17.76)2=14P(X14)=1P(X14)=114=34，由题意甲为“阅读之星”的概率为34甲获赠购书卡金额Y

32、的可能取值为20，40，50，70，100P(Y=20)=14×34=316；P(Y=40)=34×34×34=2764；P(Y=50)=14×14=116；P(Y=70)=C2134×34×14=1864=932；P(Y=100)=34×14×14=364.故Y的分布列为：Y20405070100P3162764116932364所以E(Y)=20×316+40×2764+50×116+70×932+100×364=308064=4818故甲同学参加问卷调査获赠的购书卡的金额为48.125元.21.（1）x24+y2=1；（2）x±2y3=0.【解析】（1）利用点差法，结合直线l斜率、弦MN的中点坐标，求得a2,b2，由此求得椭圆E的标准方程.（2）利用三角形的面积公式得到r=14SF1MN，设直线l方程为x=my+3，通过求F1MN面积的最