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文档简介
1、第三节第三节 微积分基本公式微积分基本公式基本问题:基本问题:(1定积分与原函数或不定积分之间的联系;定积分与原函数或不定积分之间的联系;(2连续函数一定存在原函数;连续函数一定存在原函数;(3提供计算定积分的有效而有简便的方法。提供计算定积分的有效而有简便的方法。(一变速直线运动中位置函数与速度函数之间的关系(一变速直线运动中位置函数与速度函数之间的关系0abtt)()( tvts 则则)(tvv batdtv )()(as)(bs)(ts Ss)(tss 设物体在设物体在 t 时刻的位置为:时刻的位置为:速度为:速度为:)()(asbs 速度函数速度函数 v (t) 在时间区间在时间区间
2、a , b 上的定积上的定积分等于其原函数分等于其原函数 s (t) 在区间端点的函数值之差在区间端点的函数值之差 上述特殊问题中得出来的关系,在一定条件下具有上述特殊问题中得出来的关系,在一定条件下具有普遍性。普遍性。物体在时段物体在时段 a , b 上上经过的距离为:经过的距离为:(二积分上限函数及其导数(二积分上限函数及其导数设设 f (x) 在区间在区间 a , b 上连续,上连续,x 为区间为区间 a , b 内的任意一点,那么内的任意一点,那么 f (x) 在在 a , x 上也连续,上也连续,考察积分考察积分 xaxdxf)(显然,任给一个显然,任给一个 , ,bax 由由1式就
3、有一个确定的积分式就有一个确定的积分值与之对应,值与之对应,)(x abxyx)(xfy 0所以所以1在在 a , b 上定义了一上定义了一个新函数,称之为积分上限函数,记为个新函数,称之为积分上限函数,记为 xatdtf)((1) xatdtfx)()(bxa 问题:积分上限函数问题:积分上限函数 (x)是否可导?若能,其是否可导?若能,其导数等于什么?导数等于什么?)(x abxxx )(xfy xy0)(xx xxatdtf )( xatdtf)()(x )()(xxx xxxtdtf )( xf )( )( fx )( f xxx 0lim)( xxxxx )()(lim0 xx ,0
4、时时当当xxx 0lim)( )(lim0 fx )(lim fx )(xf xxxtdtf )( xxxtdtf )( xatdtfx)()(定理定理1:如果函数:如果函数 f (x) 在在 a , b 上连续,那么上连续,那么积分上限函数积分上限函数 xatdtfx)()(在在 a , b 上可导,并且它的导数为上可导,并且它的导数为)( x )()(xftdtfxddxa 或或)(xf 定理定理2原函数存在定理)原函数存在定理): 如果函数如果函数 f (x) 在在区间区间 a , b 上连续,则积分上限函数上连续,则积分上限函数 xatdtfx)()(就是就是 f (x) 在区间在区间
5、 a , b 上的一个原函数。上的一个原函数。重要意义:重要意义:(1肯定了连续函数的原函数是存在的肯定了连续函数的原函数是存在的.(2初步揭示了积分学中的定积分与原函数之初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系间的联系.)()(xftdtfxddxa 或或)( x )(xf Ctdtfdxxfxa )()((三牛顿(三牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式 xatdtfx)()(设函数设函数 f (x) 在在 区间区间 a , b 上连续,考察定积分上连续,考察定积分 baxdxf)(假设假设 F(x) 是是 f (x) 在在 a , b 上的一个原函数上的一个原函数 , ,)()(0CxFx
6、,)()(0CaFa )(0aFC ,)()()(aFxFx 因因此此)()()(aFxFtdtfxa 即即再在该式两边同取再在该式两边同取 x = b 得得 baxdxf)()()(aFbF 又又也也 是是 f (x) 在在 a , b 上的原函数上的原函数 , bxa 定理定理3:设函数:设函数 f (x) 在在 区间区间 a , b 上连续,上连续,)()()(aFbFxdxfba (1)F(x) 是是 f (x) 在在 a , b 上的一个原函数,那么上的一个原函数,那么公式公式1称为牛顿称为牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式意义:意义:(1进一步揭示了定积分与原函数或不定进一步揭示了定积分
7、与原函数或不定积分之间的联系积分之间的联系.(2提供了计算定积分的有效而有简便的方法。提供了计算定积分的有效而有简便的方法。注意:注意:,时时当当ba abbaxdxfxdxf)()(公式公式1仍成立。仍成立。 )()(bFaF )()(aFbF baxF)(记记为为 例例1: 121xdx 12|ln x|2|ln|1|ln 2ln 例例2:求正弦函数:求正弦函数xysin xy0 xysin 解:这是一个曲边梯形,解:这是一个曲边梯形,0sin xy 0sinxdxS 0cosx )0cos(cos 2 在在 0 , 上与上与 x 轴轴所围成的平面图形的面积。所围成的平面图形的面积。并且在
8、并且在 0 , 上曲顶弧上曲顶弧 所以所以简单举例简单举例解:在解:在 - 2, -1 上,上,,1连连续续x|ln x是一个原函数,是一个原函数, 121xdx例例3 3.)1cos2(202 dxxx.22423 解:解: 22200201cos2 dxdxxxdx 202)1cos2( dxxx20sin2 x 20331 x 20 x )0sin2(sin2 0)2(313 )02( 202)1cos2( dxxx2033sin2 xxx .22423 例例4: 1121xdx11)1( x)11(11 2 因为函数因为函数,01)(2 xxf,01112 xdx与所计算的结果矛盾。与
9、所计算的结果矛盾。这是由于这是由于21)(xxf 1,1 所以由性质所以由性质5 知知在积分区间在积分区间上不连续上不连续,在,在 x = 0 处为无穷间断,不能用牛顿莱布尼处为无穷间断,不能用牛顿莱布尼兹公式。兹公式。性质性质5:如果在区间:如果在区间 a , b 上,上,f (x) 0 , 那么那么)(0)(baxdxfba 综合举例综合举例一、关于变上限函数的例题一、关于变上限函数的例题 xatdtfx)()()( x )()(xftdtfxddxa 或或)(xf (1上限是自变量,下限是常数,与积分上、下上限是自变量,下限是常数,与积分上、下限的大小无关。限的大小无关。连续函数连续函数
10、(2积分上限本身也是自变量积分上限本身也是自变量 x 的可导函数,即的可导函数,即,)()()( xatdtfxG .?)( xG(2积分上限本身也是自变量积分上限本身也是自变量 x 的可导函数,即的可导函数,即,)()()( xatdtfxG .?)( xG若令若令,)()( uatdtfuF,)(xu 那么那么 G(x) 由由 F(u),u = (x) 复合而成,即复合而成,即 )()(xFxG )(xGdxdududF )()(xuf )( )(xxf )()()()(xxftdtfdxdxa (3积分上限是常数,积分下限是自变量积分上限是常数,积分下限是自变量 x 的的可导函数,即可导
11、函数,即,)()()( axtdtfxG .?)( xG,)()()( xatdtfxG )(xG )( )(xxf )()()()(xxftdtfdxdax )()()(xxtdtfdxd )()(xxf )()(xxf (4积分上下限都是自变量积分上下限都是自变量 x 的可导函数。的可导函数。积分限为变量的函数求导汇总积分限为变量的函数求导汇总)()(xftdtfxddxa )()(xftdtfxddax )()()()(xxftdtfdxdxa )()()()(xxftdtfdxdax )()()()()()()(xxfxxftdtfdxdxx 例例2:求极限:求极限21cos02lim
12、xtdextx 解:解:)00(型型21cos02limxtdextx xxexx2 )(coslim2cos0 xxexx2)sin(lim2cos0 xxexxsin2lim2cos0 21 e)()()()(xxftdtfdxdax 例例1: xatdtxdd2sin2sinx 例例 3 3 设设)(xf在在), 0 内内连连续续, 且且0)( xf.证证明明函函数数 xxdttfdtttfxF00)()()(在在), 0( 内内为为单单调调增增加加函函数数. 证证 xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf )(xF xdtttfdxd0)( xdttf0)
13、( xdttft0)( xdttfdxd0)(2000)()()()()( xxxdttfdtttfxfdttfxxf20)( xdttf2000)()()()( xxxdttfdtttfdttfxxf200)()()()( xxdttfdttftxxf 2000)()()()()()( xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF证证例例 3 3 设设)(xf在在), 0 内内连连续续, 且且0)( xf.证证明明函函数数 xxdttfdtttfxF00)()()(在在), 0( 内内为为单单调调增增加加函函数数. ,0时时当当 x,0)( xf, 0)()( tftx, 0)()(0 x
14、dttftx, 0)( xF所以在所以在 ( 0 , + ) 内,内,F (x) 为单调增加函数。为单调增加函数。证证200)()()()()( xxdttfdttftxxfxF例例 3 3 设设)(xf在在), 0 内内连连续续, 且且0)( xf.证证明明函函数数 xxdttfdtttfxF00)()()(在在), 0( 内内为为单单调调增增加加函函数数. 例例4:求:求 2sinxxtdtxdd解:解: 2sinxxtdtxdd)(sin22 xx)()()()()()()(xxfxxftdtfdxdxx )(sin xx2sin2sinxxx 例例5:设:设 ,)()()()(2axt
15、dtftxxFxa )(limxFax求求其中,其中,f (x) 为连续函数。为连续函数。解:解:)(limxFax)00(型型2)()()(limaxtdtftxxaax )(2)()(limaxtdtftxxddxaax xatdtftx)()( xaxatdtfttdtxf)()( xaxatdtfttdtfx)()( xatdtftxxdd)()( xatdtf )()(xfx )(xfx ,)()()()(2axtdtftxxFxa xatdtftx)()( xaxatdtfttdtfx)()(例例5:设:设 )(limxFax求求其中,其中,f (x) 为连续函数。为连续函数。解:
16、解:)(limxFax)(2)()(limaxtdtftxxddxaax xatdtf)()(limxFax)(2)(limaxtdtfxaax 2)(limxfax 2)(af 例例6:求:求 31|2|xdx解:先去被积函数中的绝对值解:先去被积函数中的绝对值 322212|2|xxxxx 31|2|xdx 21)2(xdx 32)2(xdx21222 xx32222xx 52129 二、关于牛顿二、关于牛顿- 莱布尼兹公式的例题莱布尼兹公式的例题 例例7:设:设 4212212)(2xxxxxf求求 k 值,使值,使340)(3 kxdxf解:因为解:因为 32)(xdxf 322)1(xdx322 340 ,22 k所以所以故由定积分的可加性有故由定积分的可加性有 3)(kxdxf 32
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