复合函数求导27078

1、第四节一元复合函数)(),(xuufy求导法则xuuyxydddddd本节内容本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分xxufuufyd)()(d)(d微分法则机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元复合函数的求导法则 第九章 )(),(ttfz一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则定理定理. 若函数,)(, )(可导在点ttvtu),(vufz 处偏导连续, ),(vu在点在点 t 可导, tvvztuuztzddddddz则复合函数证证: 设 t 取增量t ,vvzuuzz)()(22vu)

2、(o则相应中间变量且有链式法则vutt机动 目录 上页 下页 返回 结束 有增量u ,v ,0t令,0,0vu则有to)( 全导数公式全导数公式 )tvvztuuztzto)(zvutt)()(22vu )(o )()(22tvtu0(t0 时,根式前加“”号)tvtvtutudd,dd机动 目录 上页 下页 返回 结束 tvvztuuztzdddddd若定理中 说明说明: ),(),(vuvuf在点例如例如:),(vufztvtu ,易知:,0)0 , 0()0 , 0(ufuz但复合函数),(ttfz 21ddtz)0, 0(ddddtvvztuuz010100)0 , 0()0 , 0(

3、vfvz偏导数连续偏导数连续减弱为偏导数存在偏导数存在, 2t0,22222vuvuvu,0022vu机动 目录 上页 下页 返回 结束 则定理结论不一定成立.推广推广:1) 中间变量多于两个的情形. 例如, ),(wvufz tzdd321fff2) 中间变量是多元函数的情形.例如,),(, ),(, ),(yxvyxuvufzxz1211ff2221ffyzzzwvuvuyxyxttttuuzddtvvzddtwwzddxuuzxvvzyuuzyvvz机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(, )(, )(twtvtu又如,),(, ),(yxvvxfzxz121ffyz22 ffz xy

4、x注意注意: 这里xzxfxz表示固定 y 对 x 求导,xf表示固定 v 对 x 求导口诀口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导xfxvvfyvvf与不同,v机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 设设,sinyxvyxuvezu.,yzxz求解解:xzveusin)cos()sin(yxyxyeyxyz)cos()sin(yxyxxeyxveusinxuuzxvvzveucosyuuzyvvzveucosy1 x1 zvuyxyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.,sin,),(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解解:xu2222zyxexyxyx

5、eyxx2422sin22)sin21(2zyxyxuyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yx cos2机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 设 ,sintvuz.ddtzztvutttzddtevtttetcos)sin(costuuzddtvvzddtz求全导数,teu ,costv 解解:tusintcos注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与机动 目录 上页 下页 返回 结束 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.为简

6、便起见 , 引入记号,2121vuffuff ),(1zyxzyxf例例4. 设 f 具有二阶连续偏导数, ),(zyxzyxfw求.,2zxwxw解解: 令,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy则zxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy121 fyxf 2221,ff机动 目录 上页 下页 返回 结束 (当 在二、三象限时, )xyarctan例例5. 设二阶偏导数连续,求下列表达式在),(yxfu 222222)2(,)()() 1 (yuxuyuxu解解: 已知sin,cosryr

7、xuryxyx极坐标系下的形式xrruxu(1), 则xyyxrarctan,22rxru,rxxr x2xy2)(1xy22yxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 xu2ryururusincosyuyrru2221)(1,yxxyryyrxyxrurucossinyu22222)(1)()()(urruyuxu题目 目录 上页 下页 返回 结束 ryru2rxuuryxyx 已知rsin) (rurusincos)(xux 22)2(xururuxusincosuryxyx) (rxu) (xururusincos222cosru2cossinrucosrsinxurrucossin22

8、222sinru2rru2sin2cos) (r注意利用注意利用已有公式已有公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 22yu2222yuxu21r22xu22222222sincossin2cosrurrururruru22sincossin2rruru22coscossin2同理可得22ru2221urrur 122)(ururrr22222222coscossin2sinrurruru题目 目录 上页 下页 返回 结束 二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分设函数),(, ),(, ),(yxvyxuvufz的全微分为yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuz

9、d)(uzvzuz可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, )dd(yyuxxu)dd(yyvxxv则复合函数) (fz ),(, ),(yxyxudvzvd都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 )cos( )sin(yxyxeyx例例1 .,sinyxvyxuvezu.,yzxz求例例 6. 利用全微分形式不变性再解例1. 解解:) (dd zuveudsin)cos()sin(yxyxyeyx)cos()sin(yxyxyexzyx)cos()sin(yxyxxeyzyx所以veusinvveudcos )

10、cos( )sin(yxyxeyx)(dyx)(dyx )cos()sin(yxyxxeyx)d(dyx xdyd)dd(yxxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 复合函数求导的链式法则“分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导”例如例如, ),(, ),(yxvvyxfuuvyxyxxu1f 3f;1yu2f 3f22. 全微分形式不变性, ),(vufz 对不论 u , v 是自变量还是因变量,vvufuvufzvud),(d),(d机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题,1),(2xyyxf,2),(21xyxfxy1. 已知求.),(22xyyxf解解: 由1),(2xxf两边对 x 求导, 得02),(),(2221xxxfxxfxxxf2),(211),(22xxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. ) )1 , 1(, 1() 1 (ff1)(dd3xxx1)1 , 1 ( f1dd)(32xxx3),(,(1xxfxf