第2章离散时间信号与系统的频域分析

1、2.12.1序列的傅里叶变换的定义及性质序列的傅里叶变换的定义及性质2.2 2.2 序列的序列的Z Z变换变换 2.32.3系统函数与频率响应系统函数与频率响应 信号和系统的分析方法有两种：信号和系统的分析方法有两种：时域分析方法时域分析方法和频域分析方法和频域分析方法。 对于对于连续时间系统，时域分析方法采用微分方连续时间系统，时域分析方法采用微分方程描述，频域分析方法则采用拉普拉斯变换和傅里程描述，频域分析方法则采用拉普拉斯变换和傅里叶变换叶变换。 而对于而对于离散时间系统，时域分析方法采用差分方离散时间系统，时域分析方法采用差分方程描述，频域分析方法则用程描述，频域分析方法则用Z Z变换

2、或傅里叶变换变换或傅里叶变换。 其中傅里叶变换指的是序列的傅里叶变换，它和其中傅里叶变换指的是序列的傅里叶变换，它和连续时间系统中的傅里叶变换是不一样的，但都是连续时间系统中的傅里叶变换是不一样的，但都是线性变换，很多性质是类似的。线性变换，很多性质是类似的。 Z Z变换变换在离散时间系统中的作用，就如同拉普在离散时间系统中的作用，就如同拉普拉斯变换在连续时间系统中的作用一样，它可把描拉斯变换在连续时间系统中的作用一样，它可把描述离散时间系统的差分方程转化为简单的代数方程，述离散时间系统的差分方程转化为简单的代数方程，使其求解大大简化。使其求解大大简化。 本章学习序列的本章学习序列的傅里叶变换

3、和傅里叶变换和Z Z变换变换，以及利，以及利用用Z Z变换分析信号和系统的频域特性。变换分析信号和系统的频域特性。 本章学习内容是数字信号处理这一领域的基础。本章学习内容是数字信号处理这一领域的基础。2.1.1 序列的傅里叶变换的定义序列的傅里叶变换的定义2.1.2 常用序列的傅里叶变换常用序列的傅里叶变换2.1.3 序列的傅里叶变换的性质序列的傅里叶变换的性质 2.1.2 常用序列的傅里叶变换常用序列的傅里叶变换1 1单位脉冲序列单位脉冲序列 2矩形序列矩形序列 设设N N=5=5，幅度与相位随，幅度与相位随w w变化曲线如图变化曲线如图2-12-1所示。所示。3实指数序列实指数序列2.1.

4、3 序列的傅里叶变换的性质序列的傅里叶变换的性质1 1线性线性 2时移与频移时移与频移3. 周期性周期性4对称性对称性5时域卷积定理时域卷积定理7帕斯瓦尔（帕斯瓦尔（Parseval）定理）定理6频域卷积定理（复卷积定理）频域卷积定理（复卷积定理）22j1( )(e) d2nx nX2.2.1 Z变换的定义及其收敛域变换的定义及其收敛域2.2.2 序列特性对序列特性对Z变换收敛域的变换收敛域的影响影响2.2.3 Z反变换反变换2.2.4 Z变换的基本性质变换的基本性质 在连续时间信号与系统中，在连续时间信号与系统中，拉普拉斯变拉普拉斯变换换可以看作傅里叶变换的一种可以看作傅里叶变换的一种推广。

5、推广。 在离散时间信号与系统中，也可按类似在离散时间信号与系统中，也可按类似的方法将傅里叶变换加以推广，即为的方法将傅里叶变换加以推广，即为Z Z变换变换。 Z Z变换在分析和表示离散时间系统中起着变换在分析和表示离散时间系统中起着重要的作用，它可把描述离散时间系统的差重要的作用，它可把描述离散时间系统的差分方程转化为简单的代数方程，使其求解过分方程转化为简单的代数方程，使其求解过程大大简化。程大大简化。2.2.1 Z变换的定义及其收敛域变换的定义及其收敛域2.2.2 序列特性对序列特性对Z变换收敛域的影响变换收敛域的影响1有限长序列有限长序列2右边序列右边序列3左边序列左边序列4双边序列双边

6、序列2.2.3 Z反变换反变换1 1Z Z反变换的表达式反变换的表达式2Z反变换的计算方法反变换的计算方法 求求Z Z反变换的方法通常有三种：幂级数展反变换的方法通常有三种：幂级数展开法（长除法）、部分分式展开法和围线积开法（长除法）、部分分式展开法和围线积分法（留数法）。分法（留数法）。2.2.4 Z变换的基本性质变换的基本性质1 1线性性质线性性质2移位性质移位性质3与指数序列相乘与指数序列相乘4序列的线性加权（序列的线性加权（Z域求导数或域求导数或X(z)的微分）的微分）5复序列的共轭复序列的共轭6翻褶序列翻褶序列7初值定理初值定理8终值定理终值定理9时域卷积时域卷积10频域卷积（复卷积

7、定理）频域卷积（复卷积定理） 11帕斯瓦尔定理帕斯瓦尔定理2.3.1系统函数的定义系统函数的定义2.3.2 系统函数和差分方程系统函数和差分方程2.3.3 系统函数的收敛域与系统的系统函数的收敛域与系统的因果稳定性因果稳定性2.3.4 频率响应频率响应2.3.5 IIR和和FIR系统系统 2.3.1系统函数的定义系统函数的定义 信号和系统的频域特性一般用序列的傅里信号和系统的频域特性一般用序列的傅里叶变换和叶变换和Z Z变换进行分析。变换进行分析。 我们知道，一个线性时不变系统可以用它我们知道，一个线性时不变系统可以用它的单位脉冲响应的傅里叶变换来表示。的单位脉冲响应的傅里叶变换来表示。 单位

8、脉冲响应的傅里叶变换相当于系统的单位脉冲响应的傅里叶变换相当于系统的频率响应，频域中输出等于输入的傅里叶变频率响应，频域中输出等于输入的傅里叶变换与系统单位脉冲响应傅里叶变换的乘积。换与系统单位脉冲响应傅里叶变换的乘积。( )()H sH j 连续系统的频率特性2.3.2 系统脉冲传递函数和差分方程系统脉冲传递函数和差分方程2.3.3 系统函数的收敛域与系统的系统函数的收敛域与系统的因果稳定性因果稳定性 2.3.4 频率响应频率响应1 1系统频率响应的意义系统频率响应的意义 我们知道，线性时不变系统具有如下基我们知道，线性时不变系统具有如下基本特性：对于一个正弦输入的稳态响应也是本特性：对于一

9、个正弦输入的稳态响应也是一个正弦，其频率与输入相同，其幅度和相一个正弦，其频率与输入相同，其幅度和相位取决于系统。位取决于系统。 正是由于线性时不变系统具有这种特性，正是由于线性时不变系统具有这种特性，使得信号的正弦或复指数表示法在线性系统使得信号的正弦或复指数表示法在线性系统分析中起着非常重要的作用。分析中起着非常重要的作用。2频率响应的几何确定法频率响应的几何确定法 根据极点和零点的向量特性，容易得出：根据极点和零点的向量特性，容易得出： （1 1）原点处的极点和零点对频率响应的）原点处的极点和零点对频率响应的幅度并无影响，它们只是在相位中引入一个幅度并无影响，它们只是在相位中引入一个线性

10、分量；线性分量； （2 2）极点主要影响频响的峰值，极点越）极点主要影响频响的峰值，极点越靠近单位圆，峰值就越尖锐，当极点处于单靠近单位圆，峰值就越尖锐，当极点处于单位圆上，该点的频响就出现位圆上，该点的频响就出现，这相当于该，这相当于该频率处出现无耗谐振；频率处出现无耗谐振； （3 3）零点主要影响频响的谷值，零点越）零点主要影响频响的谷值，零点越靠近单位圆，谷值越小，当处于单位圆上时，靠近单位圆，谷值越小，当处于单位圆上时，幅度为幅度为0 0。例例2-20 2-20 利用几何法分析系统利用几何法分析系统 的幅频特性。的幅频特性。( )( )()y nx nx nN 例例2-21 2-21

11、设系统的差分方程为设系统的差分方程为 试求其频率响应。试求其频率响应。2.3.5 IIR和和FIR系统系统1 1无限长单位脉冲响应系统无限长单位脉冲响应系统 如果一个离散时间系统的单位脉冲响应如果一个离散时间系统的单位脉冲响应延伸到无穷长，即延伸到无穷长，即n n时，仍有值，这样的时，仍有值，这样的系统称做无限冲激响应系统，简称系统称做无限冲激响应系统，简称IIRIIR（Infinite Impulse ResponseInfinite Impulse Response）系统。）系统。 这表明，在任何时刻系统的输出响应不这表明，在任何时刻系统的输出响应不仅与此时刻和此时刻以前时刻的输入有关，仅

12、与此时刻和此时刻以前时刻的输入有关，而且与此时刻以前的输出有关。而且与此时刻以前的输出有关。 在由差分方程确定输出时，需要进行迭在由差分方程确定输出时，需要进行迭代运算。代运算。 因而通常将这种差分方程称为递归方程，因而通常将这种差分方程称为递归方程，这种方程所描述的系统也称为递归系统。这种方程所描述的系统也称为递归系统。 如果一个离散时间系统的单位脉冲响应如果一个离散时间系统的单位脉冲响应是有限长序列，这样的系统称作为有限冲激是有限长序列，这样的系统称作为有限冲激响应系统，简称响应系统，简称FIRFIR（Finite Impulse Finite Impulse ResponseResponse）系统。）系统。2有限长单位脉冲响应系统有限长单位脉冲响应系统 这表明，在任何时刻系统的输出响应只这表明，在任何时刻系统的输出响应只与此时刻和此时刻以前时刻的输入有关，而与此时刻和此时刻以前时刻的输入有关，而与此时刻以前的输出无关。与此时刻以前的输出无关。 在由差分方程确定输出时，不需要进行在由差分方程确定输出时，不需要进行迭代运算。迭代运算。 因而通常将这种差分方程称为