本章主要介绍了单跨静定梁和多跨静定梁的内力分析计算1

1、第三章第三章 静静 定定 梁梁本章主要介绍了单跨静定梁和多跨静定梁的内力分本章主要介绍了单跨静定梁和多跨静定梁的内力分析计算及内力图的绘制方法。通过本章的学习，主要应析计算及内力图的绘制方法。通过本章的学习，主要应掌握：掌握：（1 1） 梁的内力及其正负号规定；梁的内力及其正负号规定；（2 2） 单跨静定梁内力计算及内力图绘制方法单跨静定梁内力计算及内力图绘制方法；（3 3） 多跨静定梁的内力分析计算多跨静定梁的内力分析计算。 本章提要本章提要本本 章章 内内 容容3.1 3.1 单跨静定梁的内力计算；单跨静定梁的内力计算；3.2 3.2 斜梁的斜梁的内力计算；内力计算；3.3 3.3 多跨静

2、定梁的内力计算。多跨静定梁的内力计算。 静定梁包括单跨静定梁（简支梁、悬臂梁、外伸梁） 和多跨静定梁，分别见图1(a)、(b)、(c)和(d)所示。 静定梁的受力分析是其它杆系结构受力分析的基础，因此掌握静定梁受力分析的基本方法，将有助于进一步结合几何组成分析去研究其它杆系结构的内力计算。3.1 3.1 单跨静定梁的内力计算单跨静定梁的内力计算3.1.1 3.1.1 粱内截面上的内力及正负号规定粱内截面上的内力及正负号规定由材料力学可知，在一般荷载作用下，梁内任一截由材料力学可知，在一般荷载作用下，梁内任一截面上通常有三种内力，即面上通常有三种内力，即轴力轴力N N、剪力、剪力Q Q和弯矩和弯

3、矩M M。 内力的正负号规定：内力的正负号规定： 轴力轴力N N：以拉力为正；：以拉力为正； 剪力剪力Q Q：对隔离体顺时针旋转为正；：对隔离体顺时针旋转为正； 弯矩弯矩M M：使杆件下侧受拉为正。：使杆件下侧受拉为正。 3.1.2 3.1.2 指定截面内力的计算指定截面内力的计算计算梁计算梁指定截面指定截面内力采用的基本方法是内力采用的基本方法是截面法截面法，即，即沿计算截面用一假想截面将构件切开，取任一侧为研究沿计算截面用一假想截面将构件切开，取任一侧为研究对象，在荷载和支座反力等外力和截面上内力的作用下，对象，在荷载和支座反力等外力和截面上内力的作用下，隔离体处于平衡状态，利用静力平衡方

4、程即可求出三个隔离体处于平衡状态，利用静力平衡方程即可求出三个内力。内力。例例1 1 如图如图3.2a3.2a所示简支梁，试计算距所示简支梁，试计算距A A支座距离为支座距离为1m1m处处C C截面上的内力。截面上的内力。图2 解：解：（1 1）求支座反力）求支座反力先假设反力方向如图所示，以先假设反力方向如图所示，以整梁为研究对象：整梁为研究对象：X=0:X=0:X XA A-P=0-P=0 X XA A=P=4kN=P=4kN M MB B=0: Y=0: YA A* *l-ql-q* *l l* *0.50.5* *l=0l=0 Y YA A=0.5ql=0.5ql =0.5 =0.53

5、 34kN=6kN4kN=6kN Y=0: YA+YY=0: YA+YB B=ql=ql Y YB B=ql=ql-VA-VA =(3 =(34-6) kN4-6) kN=6kN=6kN(2)(2)求指定截面内力求指定截面内力 从指定从指定c c截面截开梁，取左半为对象，受力如图截面截开梁，取左半为对象，受力如图示：示：由静力平衡条件得：由静力平衡条件得：X=0: NX=0: NC C+X+XA A=0 N=0 NC C=-X=-XA A=-4kN=-4kNY=0: -QY=0: -QC C+Y+YA A-q-q* *l=0l=0 Q QC C=Y=YA A-q-q* *1=1=（6-36-3

6、* *1 1）=3kN=3kN M MC C=0: Y=0: YA A* *1-M1-MC C-q-q* *1 1* *0.5=00.5=0 Mc=YMc=YA A* *1-q1-q* *0.50.5* *1=(6-31=(6-30.5) 0.5) =4.5kN =4.5kNm m 由上述例题可知：由上述例题可知：梁内某截面上的轴力梁内某截面上的轴力N N等于该截面任一侧所有外力等于该截面任一侧所有外力沿梁轴切线方向所作投影的代数和；沿梁轴切线方向所作投影的代数和；( (其中：背离截面投影为正，反之为负。其中：背离截面投影为正，反之为负。) ) 梁内某截面上的剪力梁内某截面上的剪力Q Q等于该

7、截面任一侧所有外力等于该截面任一侧所有外力沿梁轴法线方向所作投影的代数和；沿梁轴法线方向所作投影的代数和；( (其中：绕截面顺转投影为正，反之为负。其中：绕截面顺转投影为正，反之为负。) ) 梁内某截面的弯矩梁内某截面的弯矩M M等于该截面任一侧所有外力对等于该截面任一侧所有外力对该截面形心的力矩的代数和。该截面形心的力矩的代数和。( (其中：下拉为正，反之为负。其中：下拉为正，反之为负。) ) 根据上述结论，可以不画隔离体受力图，不列平衡根据上述结论，可以不画隔离体受力图，不列平衡方程而直接计算截面内力，亦称方程而直接计算截面内力，亦称“直接外力法直接外力法”22()()d Qqxd xd

8、MQd xdMd Qqxd xd x 3.1.3 3.1.3 内力图的绘制内力图的绘制（1 1）根据微分关系作图根据微分关系作图 荷载集度荷载集度q(xq(x) )、剪力、剪力Q Q和弯矩和弯矩M M之间的微分关系：之间的微分关系：例例2 2 绘制例绘制例1 1简支梁的内力图。简支梁的内力图。解解: : 在例在例.1.1中已求出该简支梁的支座反力，下面确定控中已求出该简支梁的支座反力，下面确定控制截面上的内力，该梁的控制截面包括支座制截面上的内力，该梁的控制截面包括支座A A、支座、支座B B和梁的中点。和梁的中点。 支座支座A A：根据静力平衡条件可求得其剪力：根据静力平衡条件可求得其剪力

9、Q QA A=V=VA A=6kN=6kN； 该支座为铰支座且该支座处无外力偶作用，该支座为铰支座且该支座处无外力偶作用， 故其弯矩为零。故其弯矩为零。 支座支座B B：同样可求得该处剪力：同样可求得该处剪力Q QB B=V=VB B=-6kN=-6kN；M MB B=0=0。 跨跨 中中：取跨中截面右侧为隔离体取跨中截面右侧为隔离体如图如图3 3，内力方向，内力方向 如图中所示。如图中所示。 图.3 根据静力平衡条件：根据静力平衡条件：X=0: NX=0: NX X-P=0-P=0 N NX X=P=4kN=P=4kN，方向与原假设相同，方向与原假设相同Y=0: QY=0: QX X+V+V

10、B B-q-ql/2=0l/2=0 Q QX X=3=32-6=02-6=0M MX X=0: M=0: MX X+q+q(l/2)(l/2)(l/4)-V(l/4)-VB B(l/2)=0(l/2)=0 M MX X=(6=(64)/2-(34)/2-(34)/24)/24/4=6kN4/4=6kNm m 由于该梁上承受均布荷载和一固定轴力，因此该梁由于该梁上承受均布荷载和一固定轴力，因此该梁各截面上的轴力为一常数，轴力图为一水平直线，剪各截面上的轴力为一常数，轴力图为一水平直线，剪力图为一倾斜直线，弯矩图为一抛物线，且在跨中处力图为一倾斜直线，弯矩图为一抛物线，且在跨中处为最大值，如图为最

11、大值，如图4 4所示。所示。图.4 （2 2）用叠加法作内力图用叠加法作内力图 当荷载种类不同或荷载数量不止一个时，常常采当荷载种类不同或荷载数量不止一个时，常常采用用叠加法叠加法绘制结构的内力图。绘制结构的内力图。 叠加法的基本原理叠加法的基本原理是：是：结构上全部荷载产生的内结构上全部荷载产生的内力与每一荷载单独作用所产生的内力的代数和相等。力与每一荷载单独作用所产生的内力的代数和相等。（1）集中荷载作用下（2）集中力偶作用下（3）叠加得弯矩图3m3m4kN4kNm6kNm4kNm4kNm4kNm例例3 3 叠加法作图示简支梁弯叠加法作图示简支梁弯矩图。矩图。例例4 4 叠加法作图示外伸梁

12、弯叠加法作图示外伸梁弯矩图。矩图。4kNm2kNm4kNm4kNm（1 1）悬臂段分布荷载作用下）悬臂段分布荷载作用下（2 2）跨中集中力偶作用下）跨中集中力偶作用下（3 3）叠加得弯矩图）叠加得弯矩图6kNm4kNm2kNm3m3m8kNm2kN/m2m例例5 5 图图示外伸梁，承受集中荷载示外伸梁，承受集中荷载P=4kNP=4kN，均布荷载，均布荷载q=3kN/mq=3kN/m，叠加法叠加法绘制其内力图。绘制其内力图。（3 3） 绘制弯矩图的步骤绘制弯矩图的步骤 求支座反力求支座反力 求控制截面的弯矩值，控制截面包括杆的两端、求控制截面的弯矩值，控制截面包括杆的两端、集中力作用处（求剪力时

13、要取两侧各一个截面）、力集中力作用处（求剪力时要取两侧各一个截面）、力偶作用处两侧、均布荷载的起点、终点和中点等；偶作用处两侧、均布荷载的起点、终点和中点等； 若二控制截面间无外力作用，则连以直线。若有若二控制截面间无外力作用，则连以直线。若有外力作用，则连直线（基线）后叠加上简支梁的弯矩外力作用，则连直线（基线）后叠加上简支梁的弯矩图。图。3.2 3.2 斜梁的内力计算斜梁的内力计算工程实际中楼梯等结构常简化为斜梁。工程实际中楼梯等结构常简化为斜梁。楼梯斜梁承受的荷载主要有两种，一种是沿斜梁水楼梯斜梁承受的荷载主要有两种，一种是沿斜梁水平投影长度分布的荷载，如楼梯上人群的重量等；另一平投影长

14、度分布的荷载，如楼梯上人群的重量等；另一种是沿倾斜的梁轴方向分布的竖向荷载，如梁的自重等。种是沿倾斜的梁轴方向分布的竖向荷载，如梁的自重等。一般在计算时，为计算简便可将沿梁轴方向分布的一般在计算时，为计算简便可将沿梁轴方向分布的竖向荷载按等值转换为沿水平方向分布的竖向荷载，如竖向荷载按等值转换为沿水平方向分布的竖向荷载，如图图 (a)(a)所示，梁斜长为所示，梁斜长为ll，水平投影长度为，水平投影长度为l l，沿梁轴，沿梁轴线方向分布的荷载为线方向分布的荷载为qq，转换为沿水平方向分布的荷载，转换为沿水平方向分布的荷载为为q q，则由于是等值转换，所以有：，则由于是等值转换，所以有： qlql

15、=ql=ql即即: q=ql/l: q=ql/l=q/cos=q/cos下面以承受沿水平向分布的均布荷载的斜梁为例进下面以承受沿水平向分布的均布荷载的斜梁为例进行内力分析，如图行内力分析，如图(b)(b)所示。所示。根据平衡条件，可以求出支座反力为：根据平衡条件，可以求出支座反力为： X XA A=0,=0, Y YA A=Y=YB B=1/2ql=1/2ql则距则距A A支座距离为支座距离为x x的截面上的内力可由取隔离体求出。的截面上的内力可由取隔离体求出。如图如图(c)(c)所示，荷载所示，荷载qxqx、YAYA，在梁轴方向（，在梁轴方向（t t方向）的分方向）的分力分别为力分别为qxs

16、inqxsin、YAsinYAsin；在梁法线方向（；在梁法线方向（n n方向）的方向）的分力分别为：分力分别为：qxcosqxcos、YAcosYAcos。则由平衡条件得：。则由平衡条件得：T=0T=0： Y YA Asin-qxsin+Nsin-qxsin+NX X=0=0 N NX X=(qx-1/2ql)sin=(qx-1/2ql)sinN=0: YN=0: YA Acos-qxcos-Qcos-qxcos-QX X=0=0 Q QX X=(1/2ql-qx)cos=(1/2ql-qx)cosMX=0: YMX=0: YA Ax-qxx-qxx/2-Mx/2-MX X=0=0 M MX

17、 X=1/2qx(1-x)=1/2qx(1-x)由此即可绘出其内力图如图由此即可绘出其内力图如图 (d)(d)所示。所示。由上可知：弯矩图为抛物线形，跨中弯矩为由上可知：弯矩图为抛物线形，跨中弯矩为1/8ql1/8ql2 2，它与承受相同荷载的水平简支梁完全相同，它与承受相同荷载的水平简支梁完全相同，Q Q图与同样条件的水平简支梁的图与同样条件的水平简支梁的Q Q图形状相同，但图形状相同，但数值是水平简支梁的数值是水平简支梁的coscos倍。倍。 3.3.13.3.1 多跨静定梁几何组成多跨静定梁几何组成 多跨静定梁是由若干根伸臂梁和简支梁用铰联结多跨静定梁是由若干根伸臂梁和简支梁用铰联结而成

18、，并用来跨越几个相连跨度的静定梁。这种梁常而成，并用来跨越几个相连跨度的静定梁。这种梁常被用于桥梁和房屋的檩条中，如被用于桥梁和房屋的檩条中，如图图1010所示。其简图如所示。其简图如图图11(a)11(a)所示。所示。 多跨静定梁按其几何组成特点可有两种基本形式，多跨静定梁按其几何组成特点可有两种基本形式，第一种基本形式如第一种基本形式如图图11(b)11(b)所示；第二种基本形式如所示；第二种基本形式如图图12(a)12(a)所示所示 ，其层次图如，其层次图如图图12(b)12(b)所示。所示。 3.3 3.3 多跨静定梁的内力计算。多跨静定梁的内力计算。图图10 10 图图11 11 图

19、图1212 3.3.2 3.3.2 多跨静定梁的内力计算多跨静定梁的内力计算 由层次图可见，作用于基本部分上的荷载，并不由层次图可见，作用于基本部分上的荷载，并不影响附属部分，而作用于附属部分上的荷载，会以支影响附属部分，而作用于附属部分上的荷载，会以支座反力的形式影响基本部分，因此在多跨静定梁的内座反力的形式影响基本部分，因此在多跨静定梁的内力计算时，应先计算高层次的附属部分，后计算低层力计算时，应先计算高层次的附属部分，后计算低层次的附属部分，然后将附属部分的支座反力反向作用次的附属部分，然后将附属部分的支座反力反向作用于基本部分，计算其内力，最后将各单跨梁的内力图于基本部分，计算其内力，

20、最后将各单跨梁的内力图联成一体，即为多跨静定梁的内力图。联成一体，即为多跨静定梁的内力图。 例例6 6 试作出如试作出如图图13(a)13(a)所示的四跨静定梁的弯矩图和剪所示的四跨静定梁的弯矩图和剪力图。力图。解：（解：（1 1） 绘制层次图，如绘制层次图，如图图13(b)13(b)所示。所示。 （2 2） 计算支座反力，先从高层次的附属部分开计算支座反力，先从高层次的附属部分开始，逐层向下计算：始，逐层向下计算： EFEF段：由静力平衡条件得段：由静力平衡条件得 M ME E=0:=0: Y YF F4-104-102=02=0 Y YF F=5kN=5kN Y=0: Y=0: Y YE E=20+10-Y=20+10-YF F=25kN=25kN 图13 CECE段：段：将将Y YE E反向作用于反向作用于E E点，并与点，并与q q共同作用可得：共同作用可得： M MD D=0: =0