正态分布总结

1、 1.正态分布与正态曲线正态分布与正态曲线2N正态分称 服从参数为 、 的用（ ，布，）表示.如果随机变量 的总体密度曲线为：22()21( )2xf xe( ).f x 的的图像，总体密正度曲线称为态曲线简),x R（(0) 式中的实数 、为参数，分别表示总体的平均数与标准差.知识疏理知识疏理2.正态曲线的意义正态曲线的意义 badxxbXaP)()(, 4 3原则原则3.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P(-X+)= 0.6826 P(-2X+2)= 0.9544 P(-34)() A0.1588B0.1587 C0.1586 D0.1585 略解

2、：P( X4)1P(2 X4)/2(10.682 6)/20.158 7.选B.2(2009年安徽卷第年安徽卷第11题题)若随机变量XN(, ) 则p(X）= 答案：213(2010山东卷第山东卷第5题题)已知随机变量服从正态分布 N(0， )，若P(2) =0.023,则P(-22)=( )22 A.0.477 B.0.625 C.0.954 D.0.977略解：P(-22)=1-0.023X2=0.954 选C4(20112011年湖北卷第年湖北卷第5 5题题)已知随机变量 服从正态分布N(2, )，且（4）0.8 ，则（0 2）（ ） 06 B04 C03 D022基础自测基础自测例例1

3、 1(2010(2010安徽理安徽理) )设两个正态分布设两个正态分布N N( (1 1, ) , ) ( (1 10)0)和和N N( (2 2, ) (, ) (2 20)0)的密度函数图象如的密度函数图象如 图所示图所示, ,则有则有 ( )( ) A. A.1 1 2 2, ,1 1 2 2 B.B.1 1 2 2 C. C.1 1 2 2, ,1 1 2 2, ,1 1 2 2 解析解析 由正态分布由正态分布N N( (, ,2 2) )性质知性质知, ,x x= =为正态密为正态密 度函数图象的对称轴度函数图象的对称轴, ,故故1 1 2 2. .又又越小，图象越越小，图象越 高瘦

4、高瘦, ,故故1 1 2 2. . 2122A典例剖析典例剖析题型一题型一 正态曲线的性质正态曲线的性质变式训练变式训练: :把一正态曲线把一正态曲线C C1 1沿着横轴方向向右移动沿着横轴方向向右移动2 2个单位，个单位， 得到一条新的曲线得到一条新的曲线C C2 2, ,下列说法不正确的是下列说法不正确的是 ( )( ) A. A.曲线曲线C C2 2仍是正态曲线仍是正态曲线 B.B.曲线曲线C C1 1, ,C C2 2的最高点的纵坐标相等的最高点的纵坐标相等 C.C.以曲线以曲线C C2 2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线为概率密度曲线的总体的方差比以曲线 C C1 1为概率密度曲线

5、的总体的方差大为概率密度曲线的总体的方差大2 2 D. D.以曲线以曲线C C2 2为概率密度曲线的总体的均值比以曲线为概率密度曲线的总体的均值比以曲线 C C1 1为概率密度曲线的总体的均值大为概率密度曲线的总体的均值大2 2 解析解析 正态曲线左右平移正态曲线左右平移, ,只会改变对称轴，即只会改变对称轴，即x x= = 变化变化, ,其他特征都不变其他特征都不变. . 典例剖析典例剖析方法总结方法总结:解决有关正态函数图象问题, 要结合和的意义和对图象的影响去解决.典例剖析典例剖析例2 设XN(1,22)，试求：(1)P(1X3) (2)P(3X5)解析:由条件可知 =1, =2,所以P

6、(1X3)= 1)=P(u- Xu- ) =0.6828变式训练变式训练: :已知随机变量已知随机变量服从正态分布服从正态分布N N(2,(2,2 2),),P P( (4) 4) =0.84, =0.84,则则P P( (0)0)等于等于 ( ) ( ) A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84 A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84 题型二题型二 求与正态分布相关的概率求与正态分布相关的概率典例剖析典例剖析解析解析 P(4)=1-P(4)=1-0.84=0.16.例3 某地区数学考试的成绩X服从正态分布，其密度函数曲线如图：1.写出X的分布密度函数；2.求成绩

7、X位于区间 的概率是多少？3.求成绩X位于区间 的概率是多少？4.若该地区有10000名学生参加考试，从理论上讲成绩在76分以上的考生有多少人？68,52(68,60(题型题型3 3 正态分布的实际应用正态分布的实际应用典例剖析典例剖析 题后感悟解答此类题目的关键在于将待求的问题向(，)，(2，2)，(3，3)这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想1、下列函数是正态密度函数的是（、下列函数是正态密度函数的是（ ） A. B. C. D.22()21( ), ,(0)2xf xe 都是实数222( )2xf xe2(1)41( )2 2

8、xf xe221( )2xf xeB (四四 )课堂训练课堂训练2、若一个正态分布的概率函数是一个偶函数且该函、若一个正态分布的概率函数是一个偶函数且该函数的最大值等于数的最大值等于 ，求该正态分布的概率密度函数，求该正态分布的概率密度函数的解析式。的解析式。14 220 25 301510 xy535123、如图，是一个正态曲线，、如图，是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布试根据图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和求出总体随机变量的期望和方差。方差。 (四四 )课堂训练课堂训练4、在某次数学考试中，考生的成绩在某次数学考试中，考生的成绩 服从一正态服从一正态分布分布,即即 N(90,100).（1）试求考试成绩）试求考试成绩 位于区间位于区间(70,110)上的概率是上的概率是多少？多少？（2）若这次考试共有）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩名考生，试估计考试成绩在在(80,100)间的考生大约有多少人？间的考生大约有多少人？ (四四 )课堂训练课堂训