2排列与组合课件 人教版 课件

1、1排列的定义排列的定义(1)一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素，按照个元素，按照 排成一列，叫做从排成一列，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素个元素的的(2)两个排列相同，当且仅当两个排列的两个排列相同，当且仅当两个排列的 ，且元素的且元素的(3)n个不同元素个不同元素的一个排列，叫做的一个排列，叫做n个元素的一个全排列个元素的一个全排列一定的顺序一个排列元素完全相同排列顺序也相同全部取出2排列数的定义和排列数公式排列数的定义和排列数公式(1)排列数：从排列数：从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素的个元素的叫做从叫做从n个不同元

2、素中取出个不同元素中取出m个元素个元素的的 ，用符号，用符号Anm表示表示全排列数公式：全排列数公式：Annn(n1)(n2)321n！.也叫做也叫做 所有不同排列的个数排列数n的阶乘(3)记住下列几个阶乘：记住下列几个阶乘：0！1,1！1,2！2,3！6,4！24,5！120,6！720,7！5040.3组合的定义组合的定义(1)一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组个元素合成一组，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的 (2)只要两个组合的只要两个组合的 ，不论元素的顺序如何，不论元素的顺序如何，都是都是一个组合元素相同相

3、同的组合(3)排列与组合的共同点与区别：两者都是从排列与组合的共同点与区别：两者都是从n个不同元素个不同元素中取出中取出m(mn)个元素，这是排列、组合的共同点两者的个元素，这是排列、组合的共同点两者的不同点是，不同点是，4组合数的定义和组合数公式组合数的定义和组合数公式( 1 ) 从从 n 个 不 同 元 素 中 取 出个 不 同 元 素 中 取 出 m ( m n ) 个 元 素 的个 元 素 的，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素的素的 ，用符号，用符号Cnm表示表示排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关所有不同组合的个数组合数1(2009四川卷理四川卷理)

4、3位男生和位男生和3位女生共位女生共6位同学站成一排位同学站成一排，若男生甲不站两端，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是则不同排法的种数是()A360B188C216D96解析解析本小题考查排列综合问题，基础题本小题考查排列综合问题，基础题解法一：解法一：6位同学站成一排，位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生位女生中有且只有两位女生相邻的排法有相邻的排法有A33C32A42A22332种，其中男生甲站两端的有种，其中男生甲站两端的有A21A22C32A32A22144，符合条件的排法故共有，符合条件的排法故共有188.解 法

5、 二 ：解 法 二 ： 由 题 意 有由 题 意 有 2 A22 ( C32 A22) C21 C31A22(C32A22)A42188，选，选B.答案答案B2(2011惠州二模惠州二模)从从4名男生和名男生和3名女生中选出名女生中选出4人参加迎人参加迎新座谈会，若这新座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，不同的选法人中必须既有男生又有女生，不同的选法共有共有()A140种种 B120种种 C35种种 D34种种解析解析由题意，可分为三种情况：由题意，可分为三种情况：1男男3女，女，2男男2女，女，3男男1女，其选法分别为女，其选法分别为C41C33，C42C32，C43C31，故共有，故共

6、有C41C33C42C32C43C3134种选法，故选种选法，故选D.答案答案D3(2010北京，北京，4)8名学生和名学生和2位老师站成一排合影，位老师站成一排合影，2位位老师不相邻的排法种数为老师不相邻的排法种数为()AA88A92 BA88C92 CA88A72 DA88C72解析解析不相邻问题用插空法，不相邻问题用插空法，8名学生先排有名学生先排有A88种，产种，产生生9个空，个空，2位老师插空有位老师插空有A92种排法，所以最终有种排法，所以最终有A88A92种种排法故选排法故选A.答案答案A 3名男生名男生4名女生排成一列求满足下列不同要求下的名女生排成一列求满足下列不同要求下的排

7、法数排法数(1)甲、乙两人排在两头；甲、乙两人排在两头；(2)甲、乙两人必须排在一起；甲、乙两人必须排在一起；(3)男生必须排在一起；男生必须排在一起；(4)男生互不相邻；男生互不相邻；(5)甲、乙、丙三人自左而右的顺序保持不变；甲、乙、丙三人自左而右的顺序保持不变；(6)甲、乙两人之间恰有甲、乙两人之间恰有3人；人；(7)若若7人高矮互不相同，要求从左到右，女生从矮到高排人高矮互不相同，要求从左到右，女生从矮到高排列列解解(1)先排甲、乙两人，共有先排甲、乙两人，共有A22种排法，其余种排法，其余5人有人有A55种排法，故共有种排法，故共有A22A55240种排法种排法(2)将甲、乙两人看成

8、一个元素，与其余将甲、乙两人看成一个元素，与其余5人一起进行全排人一起进行全排列，有列，有A66种排法，又甲、乙两人之间有种排法，又甲、乙两人之间有A22种排法，故共有种排法，故共有A66A221440种排法种排法解法二：解法二：由于甲、乙、丙顺序一定，故只需在由于甲、乙、丙顺序一定，故只需在7个位置中个位置中任选任选4个位置让其余个位置让其余4人进行排列即可，故所求不同的排列数人进行排列即可，故所求不同的排列数为为A74840.(6)先选先选3人排在甲、乙之间，有人排在甲、乙之间，有A53种排法，而甲、乙之间种排法，而甲、乙之间有有A22种排法再把这种排法再把这5人看成一个整体，当成一个元素

9、与剩人看成一个整体，当成一个元素与剩余余2人进行全排列，有人进行全排列，有A33种排法故共有种排法故共有A53A22A33720种种排法排法(7)先在先在7个位置上任取个位置上任取4个位置排男生，有个位置排男生，有A74种排法，剩种排法，剩下下3个位置排女生，因要求个位置排女生，因要求“从矮到高从矮到高”，只有一种排法，只有一种排法，故共有故共有A741840种排法种排法点评与警示点评与警示“站队问题站队问题”是排列中具有典型意义的问是排列中具有典型意义的问题在解答有关排列问题的应用题时，要遵循题在解答有关排列问题的应用题时，要遵循“先分类后分先分类后分步步”、“先特殊后一般先特殊后一般”、“

10、先选元后排队先选元后排队”等原则对受等原则对受条件限制的特殊元素或特殊位置，一般采用直接法，即特殊条件限制的特殊元素或特殊位置，一般采用直接法，即特殊者优先考虑，再考虑一般的元素和位置对于必须相邻的元者优先考虑，再考虑一般的元素和位置对于必须相邻的元素通常采用素通常采用”捆绑捆绑“法，即可以把相邻元素看作一个整体再法，即可以把相邻元素看作一个整体再与其他元素进行排列，注意相邻元素之间是否还要排列，即与其他元素进行排列，注意相邻元素之间是否还要排列，即“松绑松绑”对于元素不相邻的排列，通常采用对于元素不相邻的排列，通常采用“插空法插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前即先

11、考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面已排好的元素之间的空档中或两端面已排好的元素之间的空档中或两端此外，对于分类较多、限制条件较多等情形可用间接法，此外，对于分类较多、限制条件较多等情形可用间接法，“正难则反正难则反”是处理较复杂排列问题的一个重要策略是处理较复杂排列问题的一个重要策略3名男生名男生4名女生排成一列，求满足下列不同要求下的排法名女生排成一列，求满足下列不同要求下的排法数数(1)甲、乙两人不能排在一起；甲、乙两人不能排在一起；(2)甲不在最左边，乙不在最右边；甲不在最左边，乙不在最右边；(3)男生站在一起，女生也站在一起；男生站在一起，女生也站在一起；(4)男女生相

12、间；男女生相间；(5)甲必须站在乙的左边甲必须站在乙的左边(可不相邻可不相邻)；(6)若若7人身高均不相同，要求正中间的个子最高，从中间人身高均不相同，要求正中间的个子最高，从中间向两边看，一个比一个矮；向两边看，一个比一个矮；(7)甲必须站在中间，并且乙、丙两位同学要站在一起甲必须站在中间，并且乙、丙两位同学要站在一起解解(1)先排其余先排其余5人，有人，有A55种排法，此五人之间及两端种排法，此五人之间及两端有有6个位置让甲、乙去排，有个位置让甲、乙去排，有A62种排法，故共有种排法，故共有A55A623600种排法种排法(2)解法一：解法一：先排最左边，让除了甲之外的先排最左边，让除了甲

13、之外的6人中的一人去人中的一人去排，有排，有A61种排法，其余种排法，其余6个位置的全排列有个位置的全排列有A66种排法，其中种排法，其中乙排在最右边时的排法有乙排在最右边时的排法有A51A55种，故共有种，故共有A61A66A51A553720种排法种排法解法二：解法二：由于甲不在最左边，因此分为两类：第一类是甲由于甲不在最左边，因此分为两类：第一类是甲排在第二、三、四、五、六个位置时，有排在第二、三、四、五、六个位置时，有A51种排法，此时种排法，此时乙有乙有A51种排法，剩下的种排法，剩下的5人有人有A55种排法；第二类是甲排在最种排法；第二类是甲排在最右边时，其余右边时，其余6人有人有

14、A66种排法种排法综上所述，共有综上所述，共有A51A51A55A663720种排法种排法解法三：解法三：7个人的全排列，有个人的全排列，有A77种排法，其中甲在最左边种排法，其中甲在最左边时有时有A66种排法，乙在最右边时有种排法，乙在最右边时有A66种排法，这两种情形都种排法，这两种情形都包含了甲在最左边，乙在最右边的情形，此时有包含了甲在最左边，乙在最右边的情形，此时有A55种排法种排法，故共有，故共有A772A66A553720种排法种排法(3)分别将分别将3名男生，名男生，4名女生看成一个元素，其排法有名女生看成一个元素，其排法有A22种排法，而男生间的排法有种排法，而男生间的排法有

15、A33种，女生间的排法有种，女生间的排法有A44种，种，故共有故共有A22A33A44288种排法种排法(4)3名男生、名男生、4名女生要求男女生相间排列，是指名女生要求男女生相间排列，是指“女男女男女男女男女女男女男女”，故共有，故共有A33A44144种排法种排法 有有9本不同的书下列情况各共有多少种不同分法？本不同的书下列情况各共有多少种不同分法？(1)分成分成3堆，每堆堆，每堆3本；本；(2)分成分成3堆，每堆分别为堆，每堆分别为2本，本，3本，本，4本；本；(3)分给甲分给甲2本，乙本，乙3本，丙本，丙4本；本；(4)分给甲、乙、丙分给甲、乙、丙3人，其中甲、乙各得人，其中甲、乙各得

16、2本，丙得本，丙得5本；本；(5)分给甲、乙两人各分给甲、乙两人各1本，丙、丁两人各本，丙、丁两人各2本，戊本，戊3本；本；(2)分为三步：第一步从分为三步：第一步从9本书中选本书中选2本，有本，有C92种选法，第种选法，第二步从余下的二步从余下的7本书中选本书中选3本，有本，有C73种选法，最后余下的四种选法，最后余下的四本全选，有本全选，有C44种选法，由分步乘法计数原理，共有种选法，由分步乘法计数原理，共有C92C73C441260种方法种方法(3)先从先从9本书中取本书中取2本给甲，再从余下的本给甲，再从余下的7本书中取本书中取3本给本给乙，最后剩下的乙，最后剩下的4本书全给丙，故共有

17、本书全给丙，故共有C92C73C441260种给种给法本题实质上与问题法本题实质上与问题(2)一致一致(4)分步可得：共有分步可得：共有C92C72C55756种分法种分法(5)甲先选，有甲先选，有C91种方法，乙再选，有种方法，乙再选，有C81种方法，丙再选种方法，丙再选，有，有C72种方法，丁再选，有种方法，丁再选，有C52种，剩下的种，剩下的3本给戊，所以共本给戊，所以共有有C91C81C72C52C3315120种分法种分法点评与警示点评与警示本题是一个分堆，分配问题，解决的关键本题是一个分堆，分配问题，解决的关键是要搞清事件是否与顺序有关，前者堆与堆之间只要元素个是要搞清事件是否与顺

18、序有关，前者堆与堆之间只要元素个数相同是不可区分的，而后者则即使两组元素个数相同，但数相同是不可区分的，而后者则即使两组元素个数相同，但因组不同，仍然是可区分的解决这类问题的方法是以位置因组不同，仍然是可区分的解决这类问题的方法是以位置为主，或以元素为主，或先分堆后排列注意平均分堆问题为主，或以元素为主，或先分堆后排列注意平均分堆问题要除以堆数的全排列数，不平均分堆则不需要除，避免产生要除以堆数的全排列数，不平均分堆则不需要除，避免产生计数的重复或遗漏计数的重复或遗漏有有9本不同的书，下列情况各有多少种不同分法？本不同的书，下列情况各有多少种不同分法？(1)分给分给3个人，每人个人，每人3本；

19、本；(2)分给甲、乙、丙分给甲、乙、丙3人，一人人，一人3本，一人本，一人4本，一人本，一人2本；本；(3)分成分成3堆，其中有堆，其中有2堆各堆各2本，另一堆本，另一堆5本；本；(4)分成的本数分别为分成的本数分别为1,1,2,2,3的五堆；的五堆；(5)摆在摆在3层书架上，每层层书架上，每层3本本 有有5张卡片，它们的正、反面分别写着张卡片，它们的正、反面分别写着0与与1,2与与3,4与与5,6与与7,8与与9，将其中任意三张并排放在一起组成三位数共，将其中任意三张并排放在一起组成三位数共可组成多少个不同的三位数？可组成多少个不同的三位数？解解解法一：解法一：由于由于0不能排在百位，而不能

20、排在百位，而0与与1在同一卡片在同一卡片上，故可从上，故可从0与与1这张卡片入手，分为三类：这张卡片入手，分为三类：第一类：取第一类：取0不取不取1.先从另外先从另外4张卡片中任选一张排在百位张卡片中任选一张排在百位，有，有C41种方法；种方法；0可排在十位或个位，有可排在十位或个位，有C21种排法；再从剩种排法；再从剩下的三张卡片中任取一张排在余下的位置上，有下的三张卡片中任取一张排在余下的位置上，有C31种方法种方法；又除含；又除含0的那张外，其它两张都有正面、反面两种可能，的那张外，其它两张都有正面、反面两种可能，故共有故共有C41C21C312296个不同的三位数个不同的三位数第二类：

21、取第二类：取1不取不取0.先从另外四张卡片中任取两张，有先从另外四张卡片中任取两张，有C42种取法，其中每张卡片都有正、反面两种排法三张卡片排种取法，其中每张卡片都有正、反面两种排法三张卡片排成三位数，有成三位数，有A33C4222144个个第三类：第三类：0和和1都不取有都不取有C43A3323192个不同的三位数个不同的三位数综上所述，共有不同的三位数为综上所述，共有不同的三位数为96144192432个个解法二：解法二：从五张卡片中任取三张可以组成不同的三位数有从五张卡片中任取三张可以组成不同的三位数有C53A3323480个，其中不符合题意的是个，其中不符合题意的是0排在百位时有排在百

22、位时有C4222A2248个个故共有不同的三位数有故共有不同的三位数有48048432个个点评与警示点评与警示本题考查有条件限制的排列组合问题的解本题考查有条件限制的排列组合问题的解决方法和分类讨论的数学思想每张卡片都有正面与反面两决方法和分类讨论的数学思想每张卡片都有正面与反面两种可能，因此既可以用直接法，也可以用间接法特别需要种可能，因此既可以用直接法，也可以用间接法特别需要注意的是分类讨论时要做到不漏不重注意的是分类讨论时要做到不漏不重(1)四面体的一个顶点为四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点个点，使它们和点A在同一个平面上，有多少

23、种不同取法？在同一个平面上，有多少种不同取法？(2)四面体的顶点和各棱中点共四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取个点，在其中取4个不共个不共面的点，有多少种不同取法？面的点，有多少种不同取法？解解(1)如图，含顶点如图，含顶点A的的3个面上，除点个面上，除点A外都有外都有5个点个点，从中取出，从中取出3点必与点点必与点A共面，共有共面，共有C53330种取法；含顶种取法；含顶点点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有共有3种取法因此，与顶点种取法因此，与顶点A共面的共面的3点的取法有点的取法有30333种种(2)(间接法间接

24、法)从从10个顶点中取个顶点中取4个点有个点有C104种取法，其中从四种取法，其中从四面体每一个面上的面体每一个面上的6个点任取出的个点任取出的4点必定共面，有点必定共面，有4C6460种取法；四面体的每一条棱上种取法；四面体的每一条棱上3点与相对棱中点必共面，共点与相对棱中点必共面，共有有6种情况；三对对棱中点中任两对对棱中点必共面，有种情况；三对对棱中点中任两对对棱中点必共面，有C323种情况种情况综上所述，从四面体的顶点和各棱中点共综上所述，从四面体的顶点和各棱中点共10个点中取出个点中取出4点的不共面的取法有点的不共面的取法有C1046063141种种 4个不同的球，个不同的球，4个不

25、同的盒子，把球全部放入盒内个不同的盒子，把球全部放入盒内(1)恰有恰有1个盒不放球，共有几种放法？个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有恰有1个盒内有个盒内有2个球，共有几种放法？个球，共有几种放法？(3)恰有恰有2个盒不放球，共有几种放法？个盒不放球，共有几种放法？分析分析把不放球的盒子先拿走，再放球到余下的盒子中把不放球的盒子先拿走，再放球到余下的盒子中并且不空并且不空解解(1)为保证为保证“恰有恰有1个盒不放球个盒不放球”，先从，先从4个盒子中任个盒子中任意取出去一个，问题转化为意取出去一个，问题转化为“4个球，个球，3个盒子，每个盒子都个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？要放入球，

26、共有几种放法？”即把即把4个球分成个球分成2,1,1的三组，的三组，然后再从然后再从3个盒子中选个盒子中选1个放个放2个球，其余个球，其余2个球放在另外个球放在另外2个个盒子内，由分步乘法计数原理，共有盒子内，由分步乘法计数原理，共有C41C42C31A22144种种(2)“恰有恰有1个盒内有个盒内有2个球个球”，即另外，即另外3个盒子放个盒子放2个球，个球，每个盒子至多放每个盒子至多放1个球，也即另外个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，个盒子中恰有一个空盒，因此，因此，“恰有恰有1个盒内有个盒内有2个球个球”与与“恰有恰有1个盒不放球个盒不放球”是是同一件事，所以共有同一件事，所以共有14

27、4种放法种放法点评与警示点评与警示排列、组合综合题目，一般是将符合要求排列、组合综合题目，一般是将符合要求的元素取出的元素取出(组合组合)或进行分组，再对取出的元素或分好的组或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列其中分组时，要注意进行排列其中分组时，要注意“平均分组平均分组”与与“不平均分不平均分组组”的差异及分类的标准的差异及分类的标准7个相同的小球，任意放入个相同的小球，任意放入4个不同的盒子中，试问：每个个不同的盒子中，试问：每个盒子都不空的放法共有多少种？盒子都不空的放法共有多少种？解解解法一：解法一：先将其中先将其中4个相同的小球放入个相同的小球放入4个盒子中，个盒子中，有有1种放法；再将其余种放法；再将其余3个相同的小球放入个相同的小球放入4个不同的盒子中个不同的盒子中，有以下，有以下3种情况：种情况：(1)某一个盒子放某一个盒子放3