让数学思想方法渗透在数学解题中

1、让数学思想方法渗透在数学解题中-读小学数学专题研究有感所谓数学思想，就是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识。所谓数学方法，就是解决数学问题的根本程序，是数学思想的具体反映。数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为。数学思想方法，就是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论（概念、定理、公式、法则等）的本质认识。数学思想方法是形成学生的良好的认知结构的纽带，是由知识转化为能力的桥梁小学数学专题研究第五章-小学数学解题的思想方法。详细的论述了解题的思想方法，概括为化归思想方法、类比思想方法、归纳思想方法等。这部分内容的学习

2、对我的教学起着重要的指导作用。一、化归思想方法及其应用。在匈牙利著名数学家彼得的名著无穷的玩艺一书中有这样的一则笑话：一位数学家和一位物理学家同到朋友家去做客。主人向他们提出了这样一个问题：“假若在您面前有煤气灶、水龙头、水壶、火柴、您想烧些开水，应当怎样做？”两人回答一致“打开水龙头将水壶加满水，用火柴点燃煤气灶，再把壶放到煤气灶上去烧。”主人又问：“如果其他的条件都不变，只是壶中已经盛满了水，那么又怎样做？”物理学家回答说：“这更简单了，点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”然而数学家的回答也简单有趣：“他不加思索的回答说：只要将水壶中的水倒掉，这样就回到了从前的问题了。”这则笑话告诉我们，数

3、学家在解决问题时往往不是对问题进行正面的攻击，而是通过转化的过程，归结到一类已经能解决的或者比较容易解决的问题中去，最终求的原问题的解答。这种数学家们经常使用的、去寻找问题和处理问题的独特的思维方法，就是所谓的化归法。它的一般模式为： 数学问题 化归 能够解决的， 较为简单的问题 解答 解答问题化归法的特点在于它具有较强的目的性、方向性和概括性；他的基本原则是由未知到已知、由难到易、由繁到简；他的方向就是如何实现由所要解决的为题向已经解决的或较容易解决的问题的转化，这里蕴含着发明以及创造的活动。那么，在小学数学解题过程中怎样寻找和利用所谓的“辅助问题”，也就是那些已经解决的或是较为简单的容易的

4、问题呢？下面列举两例说明：例1：甲、乙两校共有学生2100人，甲校人数的等于乙校人数的。甲、乙两校各有学生多少人？分析与解：题中甲校学生总数和乙校学生总数的关系比较隐蔽复杂，可以把已知条件“甲校人数的等于乙校人数的”转化为“甲校人数与乙校人数的比是2517（甲=乙，甲乙=2517）”，本是复杂的问题就变得十分简单了。由此可求出甲校学生人数=2100=1250（人），乙校学生人数=2100=850（人）。例2： 上学期六（1）班的男生是女生的，这学期六（1）班又转来了2名女同学，现在六（1）班的男生是女生的。上学期六（1）班有男生和女生共多少人？分析与解：题中先后出现两个分率，都是以女生人数为单

5、位“1”，但恰恰是女生的人数发生了变化，让人难以下手解答。可以把题中条件“上学期六（1）班的男生是女生的”转化成“上学期六（1）班的女生是男生的”，再把“现在六（1）班的男生是女生的”转化成“现在六（1）班的女生是男生的”。这样，通过转化就把男生转化成了单位“1”，由于男生人数没有发生变化，很容易找到“转来2名女同学”的对应分率=。由此可求出上学期六（1）班有男生2=30（人），有女生30=18（人），所以，上学期六（1）班有男生和女生共3018=48（人）。通过上述的两个例子我们看到了化归法的一般的运用过程。广义上理解化归法是一种解题的思想；如果从狭义上来看，化归乃是重要的、常用的和具体的解

6、题方法之一。在化归思想方法中渗透着转化的思想，同时还渗透着数形结合的思想，他们相互作用，相互影响,使复杂的数学问题简单化。二、类比推理思想方法及其应用。 ,德国著名天文学家开普勒曾经说过：“我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的朋友和老师，他能揭示自然界的秘密，在几何学中它应该是最不容忽视的。”波利亚也认为：“类比似乎在一切数学发现中都有作用，而且在某些发现中有他最大的所用，他是数学活动中伟大的引路人。”由此可见类比推理在数学解题中的重要作用。类比法是根据两个或两类不同的对象，在某些方面（如特征、属性、关系等）的类同之处，猜测这两个对象在其他方面也可能有类同之处，并作出某种判断的推理方法

7、。其基本模式为：A具有性质F1 F2 F3 F4.Fn PB具有性质F1 F2 F3 F4.FnB具有性质P相传，春秋时代鲁国的公输班，因为受到齿形草割破行人皮肤事情的启迪，从而发明了锯子。德国著名物理学家德布罗意将光学现象和力学现象进行了深入的比较，率先提出了“物质波”的论点。这样的例子不胜枚举，同时说明了类比是发明创造的主要工具之一。在数学上类比同样是发现概念、方法、定理和公式，甚至是开拓新领域和创造新分支的重要的手段。在小学数学解题中，类比也有着相当广泛的应用，具体过程如波利亚所说的那样，也就是：选择一个类似的、较容易的问题去解决它，以便它可以作为一个模式。然后利用这个刚刚建立起来的模式

8、，以达到原有问题的解决。如在教学分数乘法拓展练习时，有这样的一道习题：例3：+分析与解：如果按一般的运算问题采用硬算的方法，当然也备尝不可，但不仅繁杂难解，而且很容易出错。注意到原式的每项分母均由相差为4的两个数组成，且相邻的两项的分母都有一个相同的数字。这样也就可以寻找一个类似但较为简单的问题，如： + + + + 作为模式进行研究注意到：=1- = - =- =- =- 那么窍门来了，除首尾两项外，其余各数可以相互抵消，所以答案为：1-=由此类比，也就可以知道原式的解决方法：原式=（-）+（-）+(-)+(-)+(-)=(-)=通过上面这个例子，我们可以很清楚的看到，在小学数学解题中运用类

9、比思想方法解决问题关键在于寻找一个和原题相类似的模式，而这种模式的寻找，关键着眼于同类的问题以及相同的题型。三、归纳思想方法及其应用。所谓归纳法，是指通过对特殊情形的分析引出普遍的结论的推理方法。归纳法又分为完全归纳法和不完全归纳法两类。和类比一样，它在数学发现中也具有十分重要的作用。我们仔细研究一下小学数学教材就会发现，小学数学中的一些定义、定律及运算性质等都是用“归纳法”推出的。考虑到儿童的思维特点，教材均采用“简单枚举归纳推理”，即根据某类事物的部分对象具有某种属性，又没有发现相反的情况，从而断定该类事物的全体对象都具有某种属性的推理方法。这是人类认识客观世界的一种重要思想方法。让小学生学一点归纳推理知识，使他们懂得简单的归纳推理方法，对于全面提高教与学的质量很有意义。正如德国的数学家高斯所说：“我的许多定理都是靠归纳法发现的，证明只是一个补行的手续。归纳法在我们的现实生活中有着重要和普遍的应用。如：举世闻名的“哥德巴赫猜想”就是利用归纳的思想方法得到的。哥德巴赫进行观察和实验中发现很多有趣的数字和等式：6=3+3 8=3+5 10=3+7=5+5 12=5+7 14=3+11=7+716=13+3 18=11+7哥德巴赫大胆的归纳出这样的论断：任何一个大于4的偶数都是两个奇质数之和。因此让小