线性规划的常见题型及其解法

1、1址课题线性规划的常见题型及其解法答案n线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致归纳起来常见的命题探究角度有:1.求线性目标函数的最值.2 .求非线性目标函数的最值.3 .求线性规划中的参数.4 .线性规划的实际应用.本节主要讲解线性规划的常见根底类题型.x+ y>3【母题一】变量 x, y满足约束条件 x-A. 7, 23C. 7, 8求这类目标函数的最值常将函数直线的截距琴的最值，间接求出z的最值.yA 1 , 贝V目标函数z= 2x+ 3y的取值

2、范围为 2x y<3B. 8, 23D. 7, 25a zz= ax+ by转化为直线的斜截式：y = 妖+ £,通过求x+ y>3【解析】画出不等式组 x y= 1 ,表示的平面区域如图中阴影局部所示2xy<3t , 5L*1/1 孑21y- 3 *、,T12 z 2由目标函数z= 2x+ 3y得y= §+ 3,平移直线y=知在点B处目标函数取到最小值，解方程组x + y= 3,x= 2,2x y= 3,得y = 1,所以B2，帀=汴3" 7,在点A处目标函数取到最大值，解方程组x y 1,4,得所以 A(4,5) , Zmax= 2 X4 3

3、 X5 23.2x y= 3,y=5,【答案】AX 4y+ 3 < 0【母题二】变量x, y满足3x+ 5y 25 <0 x>1(1)设z= J，求Z的最小值;2x 1设z= x2 3 + y2,求z的取值范围；设z= x2 + y2 + 6x 4y + 13,求z的取值范围I i 7点(x, y)在不等式组表示的平面区域内，y 1 y _ 01芒7 = ? 1表示点(x，y)和2，0连线的斜X 2率；x2 + y2表示点(x, y)和原点距离的平方;的距离的平方.x2 + y2 + 6x 4y+ 13= (x+ 3)2 + (y 2)2 表示点(x, y)和点(3,2)【解

4、析】(1)由约束条件x 4y+ 3 < Q 3x+ 5y 25 <Qx>1作出(x, y)的可行域如下图由 X = 1 ,3x+ 5y 25 =0,解得A22由 x= 1,解得 C(1,1).x 4y+ 3= 0,x 4y+ 3= 0, 由解得 B(5,2).3x+ 5y 25 =z_ yy-0 12x ? z的值即是可行域中的点与1, 0连线的斜率，观察图形可知zmin =0的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到(一 3,2)的距离中，dmin =1 ( 3) = 4,dmax='? 3 5?2+ ?2 2?2= 8 ?16 总 w 64=75:5 ?技 15=1

5、 ?求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求？其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义.2 .常见的目标函数有：(截距型：形如z= ax+ by.azz求这类目标函数的最值常将函数z= ax+ by转化为直线的斜截式：y= &+二，通过求直线的截距 二的b bb最值，间接求出z的最值.距离型：形一：如z=“x-a)2+(y b)2,z=.'x2 +y2+ Dx+ Ey+ F,此类目标函数常转化为点(x,y)与定点的距离；形二：z= (x a)2 + (y b)2, z= x2 + y2 + Dx+ Ey+ F,此类目标函数常转化为点(x,y)与定点的距离的平方.(3)斜率型

6、：形如z= y, z=b, z= J, z= ay_b，此类目标函数常转化为点 (x,y)与定点所在直x cx dcx dx线的斜率.【提醒】 注意转化的等价性及几何意义角度一：求线性目标函数的最值x+ y 7w 01. (2021新课标全国n卷股x, y满足约束条件x 3y+ 1 W0那么z= 2x y的最大值为(3x y 5 >QA. 10B. 8C. 3D. 2【解析】作出可行域如图中阴影局部所示，由z= 2x y得y= 2x 乙作出直线y= 2x,平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A(5,2)时,对应的z值最大.故Zmax= 2 X 5 2 = 8【答案】Bx+ 2 &g

7、t;02 .2021高考天津卷设变量x, y满足约束条件x y+ 3 >0贝V目标函数z = x+ 6y的最大值为2x+ y 3 WQA. 3B.4C. 18D. 40【解析】作出约束条件对应的平面区域如下图，当目标函数经过点0,3时，z取得最大值18.【答案】C3. 2021高考陕西卷假设点x, y位于曲线y=|x|与y= 2所围成的封闭区域，贝U 2x y的最小值为B. 2D. 2)A. 6C. 0【解析】如图，曲线y=|x|与y = 2所围成的封闭区域如图中阴影局部y= 2x，当经过点一2,2时，z令z= 2x y,贝U y= 2x乙 作直线y= 2x,在圭封闭区域内平行移动直线取

8、得最小值，此时 z = 2X 2 2 = 6. 【答案】 A角度二：求非线性目标的最值2x y 2 >0x+ 2y 1 >0所表示的区域上一动4. 2021高考山东卷在平面直角坐标系 xOy中，M为不等式组3x+ y 8 <0B. 11D- 2显然当点M与点A重合时直线OM1 1，故OM斜率的最小值为一 3.3【解析】C的斜率最小，由直线方程 x +2y 1 = 0 和 3x+ y-8 = 0,解得 A( 3,点，那么直线OM斜率的最小值为A. 21C?一 3【解析】的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示那么Z=卑一二的取值范围0AXW'2,5?实数x, y满足y&l

9、t;2x< 2y,【解】由不等式组画出可行域如图中阴影局部所示目标函数z=y1 = 2 +的取值范围可转化为点X, y与1, 1所在直线的斜率加上 2的取值x 1x 1范围，由图形知，A点坐标为C.2, 1,那么点1 , 1 与羽,1所在直线的斜率为2灵+ 2,点0,0 与1, 1所在直线的斜率为一 1，所以z的取值范围为一 a,1U 2 2+ 4,+ a.【答案】(一 a, 1 U 2 2 + 4那么x2 + y2的取值范围是 x+ y<26.2021郑州质检设实数y满足不等式组y XV2X'y>1A. 1 , 2B. 1 , 4C. 2, 2D. 2 , 4【解析

10、】如图所示，不等式组表示的平面区域是ABC的内部 洽边界，x2 + y2表示的是此区域内的点x, y到原点距离的平方？从图中可知最短距离为原点到直线BC的距离，其值为1;最远的距离为 AO,其值为2,故x2 + y2的取值范围是1,4.【答案】Bx>Q7. 2021高考北京卷设D为不等式组2x-yWQ所表示的平面区域，区域D上的点与点1，°之间x+ y 3<0的距离的最小值为那么根据图形可知，【答案】兮&设不等式组"|11 JJ 1jroo 、*点 B( 1,0 )到直线2x y = 0的距离最小，d= |2 X1 0|八5x>1x- 2y+ 3&

11、gt;0所表示的平面区域是y汰Qi,平面区域Q2与5，故最小距离为Qi关于直线3x4y 9 = 0对称？对于Qi中的任意点A与Q2中的任意点B,| ABI的最小值等于 (28a. 28B.12C 7D.x>1【解析】不等式组x 2y+ 3 >0，所表示的平面区域如下图x= 1x= 1解方程组，得点A(1,1)到直线3x 4y 9 = 0的距离d =13 4 =2，那么| AB|的最小值为4.y= xy= 1【答案】B角度三：求线性规划中的参数44由于直线y= kx+ 3过定点0, 3 .因此只有直线过4AB中点时，直线y = kx+ 3能平分平面区域.因为A(1,1),15415B

12、(0,4)，所以AB中点D 2，2 ?当丫 =心 + 3过点2，2时，k 4=2+4,所以k=7?【解析】Ax + y2 >010. (2021高考北京卷)假设x, y满足kx y+ 2>0y>0且z= y x的最小值为一 4，贝V k的值为()A. 2B. 2c.x+y 2>Q【解析】D作出线性约束条件 kx y+ 2 >Q的可行域.y >09.假设不等式组x>04y= kx+ -分为面积相等的两局部，那么3k的值是x+ 3y >43x+ y<4所表示的平面区域被直线()73A.3B 743C.3D 4【解析】不等式组表示的平面区域如下图

13、用y |« r x.*、JB7j IkJr 書jc4 j-20jbry+20如图所示，此时可行域为y轴上方、直线x + y 2= 0的右上方、直线kx-y+ 2= 0的右下方的区域，显然此时Z= y x无最小值.当kv 1时，z= y x取得最小值2 ;当k= 1时，z= y x取得最小值一2,均不符合题意.当一 1 v kv 0时，如图所示，此时可行域为点2A 2,0, B 匚，0,q0,2 所围成的三角形区域，当2线Z=y-x经过点B - k，2 10时，有最小值，即一k = 4?k= $【答案】D11. 2021高考安徽卷x,x+y 2 <0y满足约束条件 x 2y 2&

14、lt;0 假设z= y ax取得最大值的最优解不唯2x y+ 2 > 0.那么实数a的值为A.鹹一1C. 2 或 1D. 2 或一 1【解析】法一：由题中条件画出可行域如图中阴影局部所示，可知A0,2，B2,0，C 2， 2，那么ZA= 2, ZB= 2a, ZC= 2a 2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要Za= Zb> Zc或Za= Zc>Zb或zb = zc>za,解得 a = 1 或 a= 2.法二：目标函数:> X i. '/- I Y d/：.-. I? f-E . . I'- '二. I 故 a = 1 或 a =

15、2.【答案】Dx>0,12?在约束条件z= 3x+ 2y的最大值的取值范围是下，当3<5<5时，目标函数x+ y<s,y+ 2x< 4.?可作出可行域，由题意知【答案】1角度四：线性规划的实际应用14. A, B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品 要在甲机器上加工 3小时，在乙机器上加工 1小时；B产品需要在甲机器上加工?A产品需1小时，在乙机器上加工A. 6,15B. 7, 15C. 6,8D. 7, 8x+ y= s,x= 4 s,【解析】由得，那么交点为B(4 -s,2s 4),y+ 2x= 4 与 x 轴的交点为 A(2,0)

16、,y + 2x= 4,y= 2s 4,与y轴的交点为 C (0,4)x+ y= s与y轴的交点为qo, s).作出当s= 3和s= 5时约束条件表示的平面区 域，即可行域，如图(1)(2)中阴影局部所示. 2工 7* 彳11y1执亠.C(0.5)Cd j x x g +严* 、a-加®丄7Xy+21-4(1) (2)当30V4时，可行域是四边形 OABC及其内部，此时，7刍axv 8; 当40W5时，可行域是 OAC'及其内部，此时，Zmax = 8.综上所述，可得目标函数 z= 3x+ 2y的最大值的取值范围是7, 8.【答案】Dx>013. (2021通化一模)设x

17、, y满足约束条件y>0假设才逬F的最小值为2那么a的值为x+ 2v+ 32?y + 1? y+ 1【解析】？?？约亠3 = 1 + V + 11 y+1 o ? 1? J"的最小值是，即 x+1 min = 3a ?_?= 37+7= 4?a$+ :，而表示过点(x, y)与(1, 1)连线的斜率，易知 a> 0,x+1x+ 1 x+1【解析】设生产A产品x件，B产品y件，那么x, y满足约束条件3x+ yw 11x + 3y<9生产利润为z=x? N, y? N,300x+ 400y.3a11bI9A 务+4厂01T1()包含边界内的整点，显然 z= 300x

18、+画出可行域，如图中阴影局部3x + y= 11 ,x= 3,程组解得x+ 3y= 9,y= 2,【答案】1 700400y在点A处取得最大值，由方那么 Zmax= 300 X3 400 X2 1 700 .故最大利润是 1 700 元.15?某玩具生产公司每天方案生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共生产一个骑兵需 7分钟，生产一个伞兵需4分钟，总生产时间不超过100个，生产一个卫兵需5分钟,10小时.假设生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元.1试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w元；怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？【解

19、析】1依题意每天生产的伞兵个数为100 x y,所以利润w= 5x+ 6y + 3(100 x y) = 2x+ 3y+ 300.5x+ 7y+ 4?100 x y?w 600约束条件为100 x y >0x>Q y>Q x, y ? N.x+ 3y w 200整理得 x+ y< 100 x >0 y>0 x,y ? N.目标函数为 w = 2x+ 3y+ 300.作出可行域.如下图:初始直线I ° 2x+ 3y= 0，平移初始直线经过点 A时，w有最大值.最优解为A50,50，所以Wmax= 550兀.x + 3y= 200 ,x= 50,由 x

20、 + y=100,得 y= 50.550 元.所以每天生产卫兵 50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，最大利润为、选择题1.点一 3, 1和点4, 6在直线3x 2y a = 0的两侧，贝U a的取值范围为A. ( 24,7)B. ( 7,24)C. ( a, 7)U (24,+)D. ( a, 24) U (7，+ m)【解析】根据题意知(一9+ 2 a) (12 + 12 a)v 0 .即(a+ 7)(a 24) v 0，解得一7v a v 24.【答案】Bx>02.2021临沂检测假设x, y满足约束条件x+ 2y>3贝U z= x y的最小值是 2x+ y<3A.3

21、B. 03C.2D. 3x>Q【解析】作出不等式组 x+ 2y>3表示的可行域 如下图的 ABC的边界及内部.2x+ yW31c1 IL -vN7、囂令3 0oi平移直线z= x y,易知当直线z= x y经过点C 0,3 时，目标函数z= x y取得最小值，即zmin = 3.【答案】Ax+ |y| w ,3. 2021泉州质检0为坐标原点，A 1,2，点P的坐标x, y满足约束条件那么z=x>0T TOA OP的最大值为A. 2C. 1【解析】如图作可行域B. 1D. 2z= OAOP = x+ 2y,显然在 B(0,1)处 Zmax= 2.yB-yr 、【答案】Dx 2

22、y+ 1 >Q4 .实数x, y满足：x<2,那么z= 2x 2y 1的取值范围是x+y 1 >Q5A. 3, 5B. 0, 5C. 3'i【解析】画出不等式组所表示的区域，如图阴影局部所示，作直线I: 2x 2y 1 = 0,平移I可知2笃一1 <2X2 2X'(-1) 1, ti|J 疋的啟值范围是亍，§【答案】D5 .如果点(1, b)在两条平行直线 6x 8y+ 1= 0和3x 4y+ 5 = 0之间，贝U b应取的整数值为(A. 2B. 1C. 3D. 0【解析】由题意知(6 8b+ 1)(3 4b+ 5)v 0,即卩b 7 (b 2

23、) v0 ,二8< b< 2,二b应取的整数为1.【答案】B6. (2021郑州模拟)正三角形 ABC的顶点A(1,1) , B(1,3),顶点C在第一象限，假设点(x, 丫 )在厶ABC内部， 贝U z= x+ y的取值范围是()A. (1 .3 2)C. ( : 3 1, 2)【解析】如图，根据题意得C(1 + :B. (0, 2)D. (0, 1+ ,'3)3, 2).(>作直线一 x+ y= 0,并向左上或右下平移，过点B(1,3)和C(1 + , 3, 2)时，z= x+ y取范围的边界值即一(1 + ；： 3) + 2<zv 1 + 3, z = x

24、+ y 的取值范围是(1 , 2).【答案】A所表示的平面区域上一动y <17. 2021成都二诊在平面直角坐标系 xOy中，P为不等式组x+ y 2 >0x y 1 O,点，那么直线OP斜率的最大值为 1A. 2B. 31C. 2D. 1【解析】作出可行域如下图，当点P位于X+ y=2，的交点y= 1,(1,1 )时,(koP ) max =>仆/2 ?【答案】D&在平面直角坐标系xOy中，平面区域A= x, y| x+ y< 1且x>0 y> Q那么平面区域 B = x+ y,x y)|(x, y)? A的面积为()B. 1D.A. 21C. 2

25、【解析】不等式x+ y<1所表示的可行域如下图x>Q y>Qa= x+ y? 0,1,设a = x+ y, b= x y,那么此两目标函数的范围分别为b= x y? 1,1，又 a+ b = 2x0 <1 1<5 <1?0,2, a b= 2y?0,2 ,?点坐标(x+ y, x y)，即点(a , b)满足约束条件0 + b<2S=女口 2>=1.0 b<2组所表示的可行域如下图，由图示可得该可行域为一等腰直角三角形，其面积【答案】B3x- y 29.设x, y满足约束条件x y>Qx>Q y>0,取值范围是A. (0,

26、 4)C. 4 , + a)假设目标函数z= ax+ by(a > 0, b> 0)的最大值为4，贝U ab的B. (0, 4D. (4, + a)【解析】作出不等式组表示的区域如图阴影局部所示，由图可 知， / a > 0, b>0，二 ab ?a + b2 = 4 取最大值，a+ b = 4, abw2 一1z= ax+ by(a>0 , b>0)过点 A(1,1)时(0, 4.【答案】Bx>010.设动点Px, y在区域Q:y汰，上，过点P任作直线l，设直线I与区域Q的公共局部为线段x+ y<4AB,那么以AB为直径的圆的面积的最大值为A.

27、 nB. 2 nC. 3 nD. 4 n【解析】作出不等式组所表示的可行域如图中阴影局部所示4AB为直径的岡的面积的最人值 S=兀三那么根据图形可知，以【答案】D2= 4 ny= 1,11. 2021东北三校联考变量x, y满足约束条件x y>23x+ y w 14假设使z= ax+ y取得最大值的最优解有无穷多个，那么实数 a的取值集合是【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如下图易知直线z= ax + y与x y= 2或3x+ y= 14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即一a= 1 或一a=3,二 a= 1 或 a = 3.【答案】Bx + yAa,12. (2021新课标全国I

28、卷)设x, y满足约束条件且z= x+ ay的最小值为 7,贝U a=( x 1,A. 5B. 3C. 5 或 3D. 5 或一3x+ y= a,【解析】法一：联立方程x y= 1,a 1X =2解得代入x+ ay= 7中，解得a= 3或一 5，当a=5时，z= x+ ay的最大值是 7;当a = 3时，z= x+ aya+ 1y= 2 ,的最小值是7.(阴影局部).XIt法二：先画出可行域，然后根据图形结合选项求解 当a= 5时，作出不等式组表示的可行域，如图图图(2)x y= 1, 得交点A( 3, 2)，那么目标函数x+ y= 52)= 7,不满足题意，排除 A, C选项.z= x 5y

29、过A点时取得最大值.zmax = 3 5 X当a = 3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影局部).x 一 y = 一 1,由得交点B(1,2),那么目标函数z= x+ 3y过B点时取得最小值.Zmin = 1 + 3X27,满足x+ y= 3题意.【答案】Bx>013 .假设 a>0 b>Q 且当y>0时，恒有ax+ byw那么由点P(a, b)所确定的平面区域的面积是x+ ywi()1nA. 2B- 4【解析】因为ax+ by<1恒成立，那么当x= 0时，by<1恒成立，可得y誘bA 0恒成立，所以0<1同 理0<a<1所以由

30、点P a, b所确定的平面区域是一个边长为1的正方形，面积为1.【答案】C2x y + 1>0,14. 2021高考北京卷设关于x, y的不等式组x+ m<0,表示的平面区域内存在点P xo,yo,y m>0满足Xo 2yo= 2.求得m的取值范围是 A.)1 B.ooc.ooD.oo【解析】当m?0寸，假设平面区域存在，那么平面区域内的点在第二象限，xo,平面区域内不可能存在点Pyo满足xo 2yo= 2,因此m v0 .如下图的阴影局部为不等式组表示的平面区域oo1 1m , m在直线y = ?x 1的下方即可，即要使可行域内包含 y= 2x 1上的点，只需可行域边界点m

31、v 2m 1，解得 mv 3.【答案】Cx+ y 11 >Q15?设不等式组3x y+ 3 >Q表示的平面区域为 D.假设指数函数y= ax的图象上存在区域 D上的点,5x 3y+ 9 <0那么a的取值范围是B. 2 , 3D. 3, + o)A. ( 1, 3C. ( 1, 2【解析】平面区域 D如下图.要使指数函数y = ax的图象上存在区域 D上的点，所以1< a<3【解析】Ax+ y 7 < 016. (2021高考福建卷)圆C: (x a)2+ (y b)2= 1,平面区域Q： x y+ 3>0 假设圆心C? Q,且 y > 0.圆C与

32、x轴相切，那么a2+ b2的最大值为()A. 5B.29C. 37D. 49【解析】由得平面区域 为厶MNP内部及边界.？?圆C与x轴相切，？?？ b= 1 .显然当圆心 C位于直线 y= I - y 7 仃C -匚'62 + 12= 37.科尸7=0、【解析】Cy>017.实数k的取值范围是()A. ( a, 1)C. ( 1 , 1)表示一个三角形区域， 那么在平面直角坐标系中，假设不等式组y$,y<k?x 1? 1B. (1 , + a)D. ( a, 1) U (1 , + a)【解析】直线y= k(x 1) 1过定点(1, 1),画出不等式组表示的可行域示意图，如

33、下图.当直线y= k(x 1) 1位于y= x和x= 1两条虚线之间时，表示的是一个三角形区域.所以直线k(x 1) 1的斜率的范围为(一 a, 1)，即实数k的取值范围是(一 a, 1).当直线y= k(x 1) 1与y= X平行 时不能形成三角形，不平行时，由题意可得k> 1时，也可形成三角形，综上可知k< 1或k> 1.(XZ I【答案】D18. (2021武邑中学期中)实数x, y满足x 2y+ 1 > 0那么z= 2x+ y的最大值为(|x| y 1 <0C. 8 D. 10 【解析】区域如下图，目标函数z = 2x+ y在点A(3,2)处取得最大值，最

34、大值为8.【答案】C19.的值是A.-C.y汰2021衡水中学期末当变量x, y满足约束条件x+ 3y<4时，z= x- 3y的最大值为8，那么实数mx>nB. 3D. - 1【解析】画出可行域如下图，目标函数z=x-3y变形为彳，当直线过点C时，z取到最大值,3又Cm，所以8 = m 3m，解得m = m, 4.x 3y+ 1 <020. 2021湖州质检O为坐标原点，A, B两点的坐标均满足不等式组x+ y3x 1 >QAOB的最大值等于 B.C.D.【解析】如图阴影局部为不等式组表示的平面区域3L<1 0L :-l观察图形可知当 A为1,2, B为2,1 时

35、，tan / AOB取得最大值，此时由于1tan a= kBo = ?, tan 3= kA。a=2,故 tan / AOB= tan ( 3-a)=tan11 + tan 仕 an a +2 >2【解析】C、填空题x+y2>021. (2021高考安徽卷)不等式组x+ 2y 4<Q表示的平面区域的面积为 & ABC= 1 > 2 X- (22) = 4.x+ 3y 2 >0【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影局部所示，可知【答案】4x+ 2y 4 <022.2021高考浙江卷假设实数x, y满足x y 1 <0 那么x- y的取值范围

36、是 x>1【解析】作出可行域，如图，作直线x+ y = 0,向右上平移，过点 B时，x+ y取得最小值，过点取得最大值.寸亠Z>1 卜 *±+2jr-4-4)I «L|由 B(1,0) , A(2,1)得(x+ y)min = 1 ,:厂囂.肽勺老产处【答案】1,323.件 x- y 4<0x>12021重庆一诊设变量x, y满足约束条 贝咱标函数z= 3x y的最大值为x 3y+ 4 < 0【解析】根据约束条件作出可行域，如图中阴影局部所示JI'35-y-D1X? = 3x y,. y= 3x乙当该直线经过点A (2,2)时，z取得最

37、大值，即 Zmax = 3>2 2= 4.【答案】4x+y 1WQ24. 实数x, y满足x y+ 1 >0 贝H w = x2 + y2 4x 4y+ 8 的最小值为.y= 1,【解析】目标函数 w = x2 + y2 4x 4y+ 8= (x 2)2+ (y 2)2，其几何意义是点(2,2)与可行域内的点的 距离的平方？由实数x, y所满足的不等式组作出可行域如图中阴影局部所示，由图可知，点(2,2)到直线x+ y 1 = 0的距离为其到可行域内点的距离的最小值，又9所以Wmin =.9【答案】2|2 + 2 1| = 3/22V225.组 x+ y 2>02x+ 3y

38、6 WQ在平面直角坐标系 xOy中，M为不等式 所表示的区域上一动点，那么| 0M|的y>0最小值是.【解析】如下图阴影局部为可行域，数形结合可知，原点0到直线x+ y 2 = 0的垂线段长是|0M|的最小值，二 | 0M | min = J 2 "五=.【答案】一 226. (2021汉中二模)某企业生产甲、乙两种产品，生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，假设该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨，煤不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是 万【解析】设生产甲产品 x吨，生产乙

39、产品y吨,由题意知x >0y >03x+ yw 132x+ 3y w 18利润z= 5x+ 3y,作出可行域如图中阴影局部所示AO求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知当x= 3, y= 4,即生产甲产品3吨，乙产品4吨时可获得最大利润27万元.【答案】2727.入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、本钱和售价如下表：某农户方案种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投年产量/亩年种植本钱/亩每吨售价黄瓜4吨1.2力兀0.55万元韭菜6吨0.9力兀0.3力兀为使一年的种植总利润总利润=总销售收入一总种植本钱 最大，那么黄瓜的种植面积应为 亩.【解析】设黄瓜和韭菜的种植面积分

40、别为x亩，y亩，总利润为z万元，那么目标函数为z= ( 0.55 xxt-x+ yw 50x+ yw 501.2x+ 0.9y w 541.2x) + (0.3勿60.9y)= x+ 0.9y .线性约束条件为 x>04x + 3yw 180 即x>Qy> 0. y>0Io : x+ 0. 9y= 0,向上平移至过点画出可行域，如下图.作出直线A时，z取得最大值,解得 A(30,20).x+ y= 50,由4x + 3y= 180,【答案】30XWQ28. 2021 日照调研假设 A 为不等式组 y>Q表示的平面区域，那么当 a 从 2 连续变化到 1 时，动直y

41、 xw2线x+ y= a扫过A中的那局部区域的面积为1 1【解析】平面区域 A如下图，所求面积为S= 2 X 2 > 2【答案】7时，1<ax+ y<4恒成立，那么实数 a的取值范x+ 2y 429.2021高考浙江卷当实数x, y满足x y 1 <0x>1围是【解析】画可行域如下图，设目标函数z= ax+ y,即y= ax+乙要使1<z <4恒成立，那么 a>0,数1 <2 +1 < 4形结合知，满足31 <1<4【答案】130. (2021石家庄二检)动点P(x, y)在正六边形的阴影局部(含边界)内运动，如图，正六边

42、形的边长为2,假设使目标函数z= kx+ y(k>0)取得最大值的最优解有无穷多个，那么 k的值为【解析】由目标函数 z= kx+ y(k>0)取得最大值的最优解有无穷多个，结合图形分析可知，直线 kx+ y= 0的倾斜角为120 °于是有一 k= tan 120 ° =护，所以 k= 3.【答案】一3y汰，31 .设m> 1,在约束条件yAmx ,下，目标函数z= x+ my的最大值小于 2,那么m的取值范围x+ ywi即可，解得1<a% .所以a的取值范围是1毛<【解析】变换目标函数为不等式组表示的平面区域如图1 z中的阴影局部所示，根据目标函数的几何意义，只有直线y mx + m在y轴上的截距最大时，目标函数1 m取得最大值？显然在点A处取得最大值，由y= mx, x + y= 1,得A ,，所以目标函数的最大1 + m 1 + m1m2值zmax=+<2，所以m2 2m- 1<0,解得1- '2<m<1 + 2故m的取值范围是(1,1+？1 + m 1 + m 'v耳卡【答案】(1,1+(2)假设目标函数z= x-y的最小值的取值范围是 卜2,- 1,那么目标y>132. 实数x, y满足丫八2-1,x+ y 呦,函数的最大值的取值范围是 【解析】不等式组