第三章、第三节、泰勒公式ppt课件

1、第三节 泰勒公式 一、问题的提出 二、泰勒公式 三、简单应用xey xy 1oxey oxy )1ln(xy 例例如如, , 当当x很很小小时时, , xex 1 , , xx )1ln(一、问题的提出)()()()(0000 xxoxxxfxfxf )()()(000 xxxfxfxf 若记若记)()()(0001xxxfxfxP 那么那么),()(1xPxf 较较小小时时当当0 xxx ),()(010 xPxf ),()(010 xPxf 缺乏缺乏:1、精确度不高；、精确度不高；2、误差不能估计、误差不能估计.问题问题1：试找一个关于：试找一个关于)(0 xx nnnxxaxxaxxaa

2、xP)()()()(0202010 来近似表达来近似表达 f (x) ，要求：，要求：（1误差误差| )()(| )(|xPxfxRnn nxx)(0 （2具体给出误差具体给出误差| )()(| )(|xPxfxRnn （3）)(xPn0 x0 xx的的 n 次多项式次多项式当当是比是比高阶的无穷小高阶的无穷小的表达式的表达式与与 f (x) 在在处的函数值以及直到处的函数值以及直到 n 阶的导数值依次相等，即阶的导数值依次相等，即, )()(00 xPxfn ,)( )( 00 xPxfn )( )( 00 xPxfn )()(0)(0)(xPxfnnn nnnxxaxxaxxaaxP)()

3、()()(0202010 1)( axPn )( xPn)(202xxa 10)( nnxxan22a20)()1( nnxxannnnnanxP!)()( 00)(axPn ,)(0 xf 10)( axPn ,)( 0 xf 202)( axPn , )( 0 xf )(0)(xfn nnnanxP!)(0)( ,)(00 xfa ,)( 01xfa 所所以以可可求求得得,2)( 02xfa ,!)(0)(nxfann 200000)(!2)( )( )( )(xxxfxxxfxf nnxxnxf)(!)(00)( 因此所求因此所求 n 次多项式次多项式)(xPnnnnxxaxxaxxaa

4、xP)()()()(0202010 问题问题2: 上述上述)(xPn可表示为可表示为能否满足问题能否满足问题1 中的要求？中的要求？,)(00 xfa ,)( 01xfa ,2)( 02xfa ,!)(0)(nxfann nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 二、泰勒二、泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理定理泰勒中值定理如果函数定理泰勒中值定理如果函数 f (x) 在含有点在含有点)(0 xx 0 x)(xPn)(xRn),()()(xRxPxfnn )( )( )(000 xxxfxf 200)(!2)( xxxf nnxxnxf)(!)(00)(

5、10)1()(! )1()()( nnnxxnfxR 之之间间与与介介于于0 xx 的区间的区间 ( a , b ) 内有直到内有直到 n + 1 阶的连续导数，阶的连续导数，的一个的一个 n 次多项式次多项式与一个余项与一个余项之和，即之和，即则当则当 x 在在 ( a , b ) 内取任何值时，内取任何值时，f (x) 可以表示为可以表示为其中其中)(xPn由泰勒中值定理可知，若以由泰勒中值定理可知，若以 n 次多项式次多项式200000)(!2)( )( )( )()(xxxfxxxfxfxPn nnxxnxf)(!)(00)( 近似表达近似表达 f (x) ，产生的误差恰好是，产生的误

6、差恰好是| )(|xRn| )(|xRn|)(! )1()(|10)1( nnxxnf 10|! )1( nxxnM|)()(|00nnxxxR ! )1(|0 nxxM0)()(lim00 nnxxxxxR高高阶阶的的无无穷穷小小是是比比时时即即当当nnxxxRxx)()(00 我们称公式我们称公式)(xf)( )( )(000 xxxfxf 200)(!2)( xxxf nnxxnxf)(!)(00)( )(xRn 为泰勒公式，为泰勒公式， 而称余项而称余项10)1()(! )1()()( nnnxxnfxR （1）（2）为拉格朗日型余项。为拉格朗日型余项。 而称而称)()(0nnxxox

7、R 为皮亚诺为皮亚诺Peano)余项余项泰泰勒勒公公式式成成为为时时当当,00 x)(xfxff)0( )0( 2!2) 0( xf nnxnf!)0()( )(xRn 其中其中1)1(! )1()()( nnnxnfxR 称之为麦克劳林公式。称之为麦克劳林公式。之之间间与与介介于于x0 再令再令10, x10! )1()()(1)1( nnnxnxfxR则余项又可以写成则余项又可以写成)(xf)( )( )(000 xxxfxf 200)(!2)( xxxf nnxxnxf)(!)(00)( )(xRn （1）三、简单的应用解解,)()()()(xnexfxfxf 1)0()0()0()0(

8、)( nffffxnexf )()1(注注意意到到代入公式代入公式,得得).10()!1(! 2112 nxnxxnenxxxe由公式可知由公式可知! 212nxxxenx 估计误差估计误差)0( x设设!1! 2111, 1nex 取取.)!1(3 n其误差其误差)!1( neRn).10()!1()!1()(11 nxnxnxnexnexR 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式)()!12()1(! 5! 3sin221253 nnnxonxxxxx)()!2()1(! 6! 4! 21cos22642nnnxonxxxxx )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx)(1112nnxoxxxx )(!)1()1(! 2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmx