高一上学期函数单调性的证明练习题

1、高一上学期？函数单调，fi的证明 掰习题1.函数 y=fx对于任意 x、yCR,有 fx+y二fx+fy-1,当 x>0 时，fx>1,且 f3二4,那么A. fx在R上是减函数，且f1=3B. fx在R上是增函数，且f1=3C. fx在R上是减函数，且f1=2 D. fx在R上是增函数，且f1二22.函数y二fx在0, +oo上为增函数，且fx<0x>0.试判断Fx二一 f U)在0, +oo上的单调性并给出证明过程.3.函数y二fx在0上为减函数，且fx<0x>0，试判断fx二寸，fG).word.zl.在0, +8上的单调性，并给出证明过程.4 .函数

2、 fx对任意 x, yCR,总有 fx+fy=fx+y，且当 x>0 时，fx<0,1求 f 0;2求证：fx在R上是减函数；3求fx在-3, 3上的最大值和最小值.5 .函数 fx对任意 a, bCR,有 fa+b=fa+fb- 1,且当 x>0 时，fxI求证：fx是R上的增函数；II假设 f - 4=5,解不等式 f3m2-m-3<2.6 .函数fx对任意的a, bC R,都有fa+b=fa+fb-1,并且当x>0时,fx>1.1求证：fx是R上的增函数；2假设 f4=5,解不等式 f3m2-m-2<3.7 .函数fx对任意的a bC R,都有f

3、a+b二fa+fb-1,并且当x0时,fx1.1求证：fx是R上的增函数；2假设 f2=3,解不等式 fm-23.8 .定义在R上的函数fx满足：fx+y=fx+fy+1 ,当x0时，fx1；I求：f0的值，并证明fx在R上是单调增函数；II假设 f1=1,解关于 x 的不等式；fx2+2x+f1-x4.9 .定义在R上的函数y二fx对任意的x、yCR,满足条件：fx+y二fx+fy-1,且当 x0 时，fx1. 1求 f 0的值；2证明：函数fx是R上的单调增函数；3解关于t的不等式f2t2-t1.10 .定义在R上的函数y二fX对任意的x, yC R,满足条件：fx+y二fx+fy 2,且

4、当 x>0 时，fX>21求 f 0的值；2证明：函数fx是R上的单调增函数;3解不等式 f2t2-t-3- 2<0,11 . fx是定义在R上的恒不为零的函数，且对于任意的 x, y R都满足fx？f yO=f x+y 1求f0的值，并证明对任意的x R,有fx>0;2设当x<0时，都有fx>f0，证明：fx在-oo, +OO上是减函数.高一？函数单调tO勺证明朗习题参考答案与试题解析1.函数 y=fx对于任意 x、yCR,有 fx+y二fx+fy-1,当 x>0 时，fx>1,且 f3二4,那么A. fx在R上是减函数，且f1=3 B. fx

5、在R上是增函数，且f1=3C. fx在R上是减函数，且f1=2 D. fx在R上是增函数，且f1二2【分析】先依据函数单调性的定义判断函数的单调性，再由 f3=f1+f2-1=f1+f1+f1-1-1=4,解出 f1.【解答】解：设x1>x2,那么 fx- f &2=fx一 x2+x2- f 卜2=fx 一 x2+f %2- 1 - f h2=f x-乂2- 1>1- 1=0 ,即 fx1> fx2, .fx为增函数.又f3=f1+f2 1=f1+f1+f1- 1 - 1=3f1 2=4, f1=2.应选：D.2.函数y=fx在0, +oo上为增函数，且fx<0

6、x>0.试判断Fx= J 在0, +oo上的单调性并给出证明过程.【分析】首先，设x1, x2C0, +8，且x1<x2,然后根据函数fx的单调性进展证明即可.【解答】解：函数Fx二V丁为0, +OO上减函数，证明如下：任设 x1，x2C0, +00且 x<x2,. y=fx在0, +oo上为增函数, -fXIfX2，fXI 0, fX20,fXIfX2, -fX2- fXi 0, - fXi0, fX2 0, - fXi?f X20,.FXi一 FX20,即 FXiFX2，那么FX为0, +oo上的减函数.3.函数 y=fX在0上为减函数，且fX0x0，试判断fX=_x_

7、f G)在0, +8上的单调性，并给出证明过程.【分析】首先，设Xi,此0, +8，且xiX2,然后，比拟大小，从而得到结论.【解答】解：函数虱公二有为0,-L /+ 00上增函数，证明如下:0, +°°且 XiX2,- y=fX在0, +°°上为减函数, -fXifX2，fXi 0, fX20, 虱勺”晨32）二fl：） -ft。f（ -f（町）=f（叼）M叼），fXifX2, -fX2- fXi 0, fXi0, fX2 0, - fXi?f X20, -gXI- gX2< 0,晨富）二1为0, +°0上的增函数.4.函数 fX对任意

8、 x, yCR,总有 fx+fy=fx+y，且当 x>0 时，fX<0, f 1二-1求 f 0；2求证：fx在R上是减函数；3求fx在-3, 3上的最大值和最小值.【分析】1令 x=y=0? f0二0;2令y二-x即可证得f-x=-f ：x,利用函数的单调性的定义与奇函数的性质，结合即可证得fx是R上的减函数；3利用fx在R上是减函数可知fx在-3, 3上也是减函数，易求f3二- 2,从而可求得fx在-3, 3上的最大值和最小值.【解答】解：1令x=y=0 ,那么f0二0;2令 y二-x,那么 f - x二-fx，在 R 上任意取 x1，x2,且 x1<x2,那么 x=x2

9、-xI>0, Ay=f波-f必=fx2+f一x=fx2xx2>x1，. . x2 x1 > 0,又丁 x>0 时，fx<0, .fx2 x<0,即 fx2- fx<0,由定义可知函数fx在R上为单调递减函数.3;fx在R上是减函数， fx在-3, 3上也是减函数.又 f3=f2+f1=f1+f1+f1=3X= -2,由 f 一 x= - fx可得 f 一 3= - f3=2,故fx在-3, 3上最大值为2,最小值为-2.5.函数 fx对任意 a, bCR,有 fa+b=fa+fb- 1,且当 x>0 时，fxI求证：fx是R上的增函数；II假设

10、f - 4=5,解不等式 f3m2-m-3<2.【分析】I设实数x1<x2,那么x2-x1>0,利用可得f ：x2-xj >1.再利用可得f x2=fx2 x1+x1=fx2 x1+fx1 1>1+fx1- 1=fx1即可；H令 a=b= 2,以及 a=b= 1,解得 f 一 2=3, f 一 1=2 ,不等式 f3m2 m -3<2.化为f3m2-m-3<f - 1，由1可得：fx在R上是增函数.可 得3m2- m - 3< - 1,解得即可.【解答】解：I证明：设x1<x2,那么x2-x1>0,.当 x> 0 时,fx>

11、;1, .fx2xj >1.又函数 fx对任意 a, bC R都有 fa+b=fa+fbT,-fx2=fx2 x+x1=fx2 x+fxj - 1 > 1+fxj - 1=fx，. fx2>fx1, fx在R上是增函数；II令 a=b= - 2,那么 f 一 2一 2=f 一 2+f 一 2 1=5,解得 f一2=3, 再令 a=b= - 1,那么 f 11=f 1+f 一 1 1=3,解得 f 一 1=2 . 不等式 f3m2-m-3<2.化为 f3m2-m-3<f - 1.由1可得：fx在R上是增函数.213m2-m - 3< - 1,解得-一<

12、m< 1.1.不等式f3m2-m- 3< 2的解集为-看,6 .函数fx对任意的a, bC R,都有fa+b=fa+fb-1,并且当x>0时, f x >1.1求证：fx是R上的增函数；2假设 f4=5,解不等式 f3m2-m-2<3.【分析】1先任取x<x2, x2 x1>0.由当x>0时，fx>1.得到fx2必>1, 再对f 42按照fa+b二fa+fb- 1变形得到结论.2由 f4=f2+f2- 1 求得 f2二3,再将 f3m2-m-2<3转化为 f3m2 m-2 <f2，由1中的结论，利用单调性求解.【解答】解：

13、1证明：任取x1<x2,x2 x1>0.fx2 x> 1 . -f a二fx+ 又-x=f CxJ +f lx2xj 1>fxj,.fx是R上的增函数.2vf4=f2+f2- 1=5,. .f2二3. .f3m2 m 2< 3二f2.又由1的结论知，fx是R上的增函数，.-3m2-m-2<2,3m2 - m - 4<0, 1vm 普7 .函数fx对任意的a bC R,都有fa+b=fa+fb-1,并且当x>0时, f X >1.1求证：fX是R上的增函数；2假设 f2=3,解不等式 fm-2<3.【分析】1先任取 Xi<X2,

14、X2 Xi>0.由当 X>0 时，fX>1.得到 fX2 Xi>1, 再对fX2按照fa+b二fa+fb- 1变形得到结论.2由 f2二3,再将 fm-2<3转化为 fm-2<f2，由1中的结论，利用单调性求解【解答】解：1证明：任取X1<X2,x2-XA0.fx2-x>1.fX2=fX 1 +X2 X1=fX1+fX2X1 1>fX1，.fX是R上的增函数.2vf2=3., fm-2<3=f2.又由1的结论知，fX是R上的增函数，m - 2<2, m<4.解不等式fm-2<3的解集为：-oo, 4.8.定义在R上的

15、函数fX满足：fx+y=fX+fy+1 ,当x>0时，fX > T ；I求：f0的值，并证明fX在R上是单调增函数；II假设 f1=1,解关于 X 的不等式；fx2+2x+f1-X>4.【分析】I根据条件中，：fx+y二fX+fy+1,当x>0时，fX>- 1;令x=y=0 ,即可求出f0的值，在R上任取X1>X2,那么X1-X2>0,根据fX1 =fX1-X2+X2,结合条件，即可判断函数的单调性;R假设f1=1,那么我们易将关于x的不等式；fx2+2x+f1-x>4化为fx2+x+1>f3，结合I的结论，可将原不等式化为一个一元二次不等

16、式，进而得到答案【解答】解：I令x=y=0- fx+y=fx+fy+1 ,. .f0=f0+f0+1 - f0二 - 1,在R上任取x1>x2,那么x1-x2>0,当 x> 0 时，fx> 1,f x1 - x2> - 1那么 fx=fx 一x2+x2,=fx一 x2+fx2+1 >fx2， fx在R上是单调增函数.II由 f1二1 得：f2=3, f3=5,那么关于x的不等式；fx2+2x+f1-x>4可化为关于 x 的不等式；fx2+2x+f1-x+1 >5,即关于x的不等式；fx2+x+1>f3，由I的结论知fx在R上是单调增函数，故

17、 x2+x+1 > 3,解得：x< - 2或x> 1,故原不等式的解集为：-°°, 2U1, +8.9.定义在R上的函数y=fx对任意的x、y R,满足条件：fx+y=fx+fy -1,且当 x>0 时，fx>1.1求f0的值；2证明：函数fX是R上的单调增函数；3解关于t的不等式f2t2-t<1.【分析】1用赋值法分析：在fx+y二fX+fy-1中，令x=y=0可得：f0=f0+f0-1,解可得f0的值，即可得答案；2用定义法证明：设x1>X2,那么X1=X2+x-X2，且x-X2>0,结合题意可得f CxJ =fX一X2+

18、X2=fX2+fX一X21,作差可得 fX1- fX2=fX 一X2-1,分析可得fX1-fX2>0,由增函数的定义即可得证明；3根据题意，结合函数的奇偶性与f0=1可得2t2- t<0,解可得t的取值X围， 即可得答案.【解答】解：1根据题意，在fx+y=fX+fy- 1中,令 x=y=0 可得：f0=f0+f0-1,解可得：f0=1 ,2证明：设 x1>X2,那么 X1=X2+xX2，且 x-X2> 0,那么有 fX1=fX1 X2+X2=fX2+fX1 X2- 1 ,即 fX1- fX2=fX1 - X2- 1 ,又由 X1 X2>0,那么有 fX1 X2&

19、gt;1,故有 fX1一 fX2=fX1 X2- 1 >0,即函数fX为增函数；3根据题意，f2t2-t<1, 又由f0=1且函数fX为增函数,那么有2t2- t<0,解可得0<t<y.10.定义在R上的函数y二fX对任意的x, yC R,满足条件：fx+y二fx+fy 2,且当 x>0 时，fX>2 1求 f 0的值；2证明：函数fx是R上的单调增函数；3解不等式 f2t2-t-3- 2<0,【分析】1由题意y=fx对任意的x, y R,关系式成立，采用赋值法，可得 f 0的值； 2利用定义证明其单调性 3利用单调性及f 0的值，求解不等式即可【解答】解：由题意：函数y=fx定义在R上 对任意的x, yCR满足条件：fx+y=f x +f y 2,. .令 x=y0,由 fx+y=fx+fy- 2,可得：f0=f0+f0- 2,解得： f 0 =2 故 f 0的值为：2 2证明：设 xi<x2, xi、x2 R,那么 x2 - x