N-S方程相关知识

1、N-S方程相关知识方程相关知识李 晓 艳一、流体力学简介 二、N-S方程的命名及应用三、 N-S方程的基本内容四、 N-S方程的求解一、流体力学简介一、流体力学简介l流体流体 流体是液体和气体的总称。 流体是由大量的、不断地作热运动而且无固定平衡位置的分子构成的，它的基本特征是没有一定的形状和具有流动性。流体都有一定的可压缩性，液体可压缩性很小，而气体的可压缩性较大，在流体的形状改变时，流体各层之间也存在一定的运动阻力（即粘滞性）。当流体的粘滞性和可压缩性很小时，可近似看作是理想流体，它是人们为研究流体的运动和状态而引入的一个理想模型。一、流体力学简介一、流体力学简介l流体力学研究内容流体力学

2、研究内容 流体是气体和液体的总称。在人们的生活和生产活动中随时随地都可遇到流体，所以流体力学是与人类日常生活和生产事业密切相关的。大气和水是最常见的两种流体，大气包围着整个地球，地球表面的70%是水面。大气运动、海水运动(包括波浪、潮汐、中尺度涡旋、环流等)乃至地球深处熔浆的流动都是流体力学的研究内容。 一、流体力学简介一、流体力学简介l 描述流体的两种方法描述流体的两种方法欧拉法和拉格朗日法欧拉法和拉格朗日法 欧拉法欧拉法（euler method）是以流体质点流经流场中各空间点的运动即以流场作为描述对象研究流动的方法。流场法 它不直接追究质点的运动过程，而是以充满运动液体质点的空间流场为对

3、象。研究各时刻质点在流场中的变化规律。将个别流体质点运动过程置之不理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空间中的每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够多的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。欧拉法研究的是当流体流过某个空间（虚构的空间）时，这个空间所包含的流体的状态的变化。流体微团可以流进、流出这个假象的空间。一、流体力学简介一、流体力学简介欧拉法，其着眼点不是流体质点，而是空间点，设法在空间中的每一点上描述出流体运动随时间的变化状况。一、流体力学简介一、流体力学简介 拉格朗日法拉格朗日法：是以研究单个流体质点运动过程作为基础，综合所有质点的运动，构成整个流体的运动。质点系法 它以

4、某一起始时刻每个质点的坐标位置（a、b、c）作为该质点的标志。任何时刻任意质点在空间的位置(x、y、z)都可以看成是（a、b、c和t的函数。拉格朗日法基本特点：追踪流体质点的运动。研究的是具体的流体微团。当流体在空间流动时，我们为了观察得到整个流场的情况，可以假设先跟踪某一个流体微团，那么这个微团的运动状态是空间和时间的函数。推广之，当我们给空间的每一个流体微团都确定一个函数时，这个流场的运动也就清楚了。因为流场的运动由流体微团的运动组成的。优点: 可直接运用固体力学中质点动力学进行分析，拉格朗日方法着眼于流体质点。设法描述出每个流体质点自始至终的运动过程，即它们的位置随时间变化的规律。如果知

5、道了所有流体质点的运动规律，那么整个流体的运动状况也就知道了。一、流体力学简介一、流体力学简介l 基于网格的欧拉法和基于粒子的拉格朗日法比较基于网格的欧拉法和基于粒子的拉格朗日法比较欧拉法将流体所占据的空间进行网格划分，其研究的最小单元为每个网格上的固定点。流体的速度、压强、密度等参数定义于固定点上并随时间而变化，这些变化表现了流体的整体运动。拉格朗日法将流体视为由一系列微团组成，其研究的最小单元为各个微团。微团也具有时变的速度、压强和密度等参数，当某一微团转到其他微团时会发生参数变化，流体运动是通过这些参数变化来体现。欧拉法和拉格朗日法的参数变化都被描述流体物理运动规律的N-S(Navier

6、-Stokes)方程支配，两者各有优劣，人们通常将它们结合使用以获得更真实的模拟效果。一、流体力学简介一、流体力学简介l流体力学基本假设流体力学基本假设基本假设以方程的形式表示。例如，在三维的不可压缩流体中，质量守恒的假设的方程如下：在任意封闭曲面（例如球体）中，由曲面进入封闭曲面内的质量速率，需和由曲面离开封闭曲面内的质量速率相等。（换句话说，曲面内的质量为定值，曲面外的质量也是定值）以上方程可以用曲面上的积分式表示。流体力学所有流体满足以下假设：质量守恒 动量守恒 连续体假设 一、流体力学简介一、流体力学简介 在流体力学中常会假设流体是不可压缩流体，也就是流体的密度为一定值。液体可以算是不

7、可压缩流体，气体则不是。有时也会假设流体的黏度为零，此时流体即为非粘性流体。气体常常可视为非粘性流体。若流体黏度不为零，而且流体被容器包围（如管子），则在边界处流体的速度为零。一、流体力学简介一、流体力学简介l 理论分析步骤理论分析步骤理论分析是根据流体运动的普遍规律如质量守恒、动量守恒、能量守恒等，利用数学分析的手段，研究流体的运动，解释已知的现象，预测可能发生的结果。理论分析的步骤大致如下： 首先是建立“力学模型”，即针对实际流体的力学问题，分析其中的各种矛盾并抓住主要方面，对问题进行简化而建立反映问题本质的“力学模型”。流体力学中最常用的基本模型有：连续介质、牛顿流体、不可压缩流体、理想

8、流体、平面流动等。 其次是针对流体运动的特点，用数学语言将质量守恒、动量守恒、能量守恒等定律表达出来，从而得到连续性方程、动量方程和能量方程。此外，还要加上某些联系流动参量的关系式(例如状态方程)，或者其他方程。这些方程合在一起称为流体力学基本方程组。一、流体力学简介一、流体力学简介l 计算流体力学（计算流体力学（ Computational Fluid Dynamics，CFD ） 计算流体动力学的简称。是利用数值方法通过计算机求解描述流体流动的数学方程，获得空间和时间离散位置处的数值解，揭示流动的物理规律和研究流动的物理特性的学科。是计算力学的一个分支。计算流体力学是为弥补理论分析方法的不

9、足而于20世纪60年代发展起来的，并相应地形成了各种数值解法。主要是有限差分法和有限元法。流体力学运动偏微分方程有椭圆型、抛物型、双曲型和混合型之分，计算流体力学很大程度上就是针对不同性质的偏微分方程采用和发展了相应的数值解法。 一、流体力学简介一、流体力学简介l计算流体力学计算流体力学（ Computational Fluid Dynamics，CFD ） CFD自20世纪60年代形成以来，一直在迅速发展。在数值方法、计算技术科学和工程需求发展的推动下，现在发展得更快；应用范围不断扩大，深入到所有与流动有关的领域；从业人员不断增加。 数学方程：质量、动量、能量和其他标量的微分(或微分-积分)

10、组成的方程组。流体运动遵循质量守恒、动量方程和能量守恒。二、二、N-S方程的命名及应用方程的命名及应用l 命名命名 纳维纳维-斯托克斯方程斯托克斯方程（Navier-Stokes equations），牛顿第二定律在不可压缩粘性流动中的表达式。简称N-S方程。此方程是法国力学家、工程师克劳德-路易纳维(Claude-Louis Navier) 于1821年创立，经英国物理学家乔治加布里埃尔斯托克斯（George Gabriel Stokes ）于1845年改进而确定的。以两个人的名字命名。是一组描述象液体和空气这样的流体物质的方程。这些方程建立了流体的粒子动量的改变率(加速度)和作用在液体内部

11、的压力的变化和耗散粘滞力(类似于摩擦力)以及引力之间的关系。 二、二、N-S方程的命名及应用方程的命名及应用l应用应用 在计算流体动力学领域中，N-S方程是最常用的物理模型，并且是流体力学中表达不可压缩流体最全面的微分方程。它们可以用于建模天气，洋流，管道中的水流，星系中恒星的运动，翼型周围的气流。还可以用于飞行器和车辆的设计，血液循环的研究，电站的设计，污染效应的分析，等等。三、三、N-S方程基本内容方程基本内容l N-SN-S方程表示方程表示 在直角坐标系中，其表示形式为： 方程(1)为不可压缩流体的动量方程保证动量守恒，方程(2)为连续方程确保质量守恒。u为速度，p为压力，为流体的密度，

12、v是流体运动粘度系数，f为外力，“.”为矢量点积，微分算子（哈密顿算子） = 2为拉普拉斯算子。zyx/,/,/三、三、N-S方程基本内容方程基本内容 N-S方程反映了粘性流体（又称真实流体）流动的基本力学规律粘性流体（又称真实流体）流动的基本力学规律，在流体力学中有十分重要的意义。纳维-斯托克斯方程依赖微分方程来描述流体的运动。这些方程，和代数方程不同，不寻求建立所研究的变量（譬如速度和压力）的关系，而是建立这些量的变化率或通量之间的关系。用数学术语来讲，这些变化率对应于变量的导数。这样，最简单情况的0粘滞度的理想流体的纳维-斯托克斯方程表明加速度（速度的导数，或者说变化率）是和内部压力的导

13、数成正比的。因为它是一个非线性偏微分方程，求解非常困难和复杂，目前只有在某些十分简单的流动问题上能求得精确解；但在有些情况下，可以简化方程而得到近似解。例如当雷诺数（表示作用于流体微团的惯性力与粘性力之比，与粘性影响成反比）Re=1时，绕流物体边界层外 ，粘性力远小于惯性力 ，方程中粘性项可以忽略，N-S方程简化为理想流动中的欧拉方程；而在边界层内，N-S方程又可简化为边界层方程，等等。在计算机问世和迅速发展以后，N-S方程的数值求解有了很大的发展。 三、三、N-S方程基本内容方程基本内容 为了解决实际工程问题，必须根据实际问题的物理特征对 N-S方程进行不同程度的简化，建立各种近似的数学模型

14、和数学方程。广泛采用的简化近似方程有：线性位流方程、非线性位流方程、非线性欧拉方程、粘性边界层方程、粘性薄层近似方程、抛物化N-S方程和完全N-S方程等。 线性位流方程：假设气体无粘性，存在速度位对绕细长机身薄翼及其组合体的纯亚音速和纯超音速小迎角绕流，可以进一步假设这类物体对流场产生小扰动，因而可以将速度位方程线性化，从而给出线性位流方程。非线性位流方程：假设气体无粘性，对含有弱激波的跨音速绕流问 题，即使在小扰动假定下，也不能将方程线性化，但仍可假设存在速 度位，这时采用的方程为非线性位流方程。非线性欧拉方程：由L.欧拉建立的只假设气体无粘性的方程。它比上面两种方程更为精确。对于具有较强激

15、波或有分离涡面的流动和其他一些复杂的问题，在求气动力时常采用这种方程。三、三、N-S方程基本内容方程基本内容边界层方程：雷诺数(Re)很高的气流绕过飞行器表面时，在物面很薄的流体层内，粘性力的作用不可忽略，以小参数简化N-S 方程而得到的一级近似方程称为边界层方程，它是德国流体力学家L.普朗特提出的，又称普朗特边界层方程。粘性薄层方程：仍假设粘性的影响主要集中在飞行器表面附近的薄层内。但以为小参数简化N-S方程时，准确度比边界层方程更高一阶，这样获得的方程称为粘性薄层近似方程。与边界层方程比较，它适用的雷诺数范围更大，且考虑了粘性、无粘性的相互干扰作用。抛物化的N-S方程：在N-S方程中略去一

16、切沿主流方向的二阶粘性耗散项后所得到的方程。这样获得的方程组在数学性质上是抛物型的，所以称抛物化的N-S方程。三、三、N-S方程基本内容方程基本内容 N-S方程相当复杂，在进行有实际意义的工程问题计算时，要求有较大的机器存贮量和较长的计算机时，因此，这要求发展每秒数十亿次运算速度的高速大容量的电子计算机。为了解决机器不能满足要求的矛盾，很多人提出对N-S方程进行简化。研究表明，当雷诺数大于10时，对于大多数粘性绕流相对于物面其流向的粘性项不很重要，因而可把它从N-S方程中略去，使方程简化，这种简化的N-S方程已被成功地应用到各种附体流及分离不很严重的流动，成为数值求解N-S方程的一个重要手段。

17、 三、三、N-S方程基本内容方程基本内容l基本假设 在解释纳维-斯托克斯方程的细节之前，首先，必须对流体作几个假设。第一个是流体是连续的。这强调它不包含形成内部的空隙，例如，溶解的气体的气泡，而且它不包含雾状粒子的聚合。另一个必要的假设是所有涉及到的场，全部是可微的，例如压强，速度，密度，温度，等等。 该方程从质量，动量和能量守恒的基本原理导出。对此，有时必须考虑一个有限的任意体积，称为控制体积，在其上这些原理很容易应用。该有限体积记为，而其表面记为 。该控制体积可以在空间中固定，也可能随着流体运动。这会导致一些特殊的结果，我们将在下节看到。四、四、N-S方程的求解方程的求解l N-S方程简化

18、成欧拉方程方程简化成欧拉方程 由于流体的粘性效果在气体动画中可以忽略，并且当流体速度远远低于声速时，它的压缩效果也可以忽略，所以采用简化的N-S方程即不可压非粘性形式的欧拉方程来表示烟雾的物理模型，表示如下： 不可压缩非粘性形式的欧拉方程可以分为外力项、对流项和压力投影项分别进行求解。 四、四、N-S方程的求解方程的求解 对流是指沿着流体速度场的方向把一些量从一个区域传输到另一个区域。速度对流即沿着速度本身的方向传输速度场。对流项求解在整个N-S方程求解中占很大比重，这一步经常采用半拉格朗日方法进行求解。半拉格朗日方法是欧拉法和拉格朗日方法的结合，欧拉法是基于网格的方法，拉格朗日法是基于粒子的

19、方法，半拉格朗日方法利用欧拉法的规则性和拉格朗日法的稳定性，保证了求解对流项的简单有效和任意时间步长稳定。半拉格朗日法的核心思想是将每个网格单元看作是一个粒子，采用随速度场回溯追踪粒子的方法，而不是向前追踪的方法，并需要根据周围的点进行双线性插值，但是在插值过程中，大量的误差导致了数值扩散 。四、四、N-S方程的求解方程的求解l N-S方程求解思想：方程求解思想： 为了降低计算的复杂度，采用破开算子法，即通过状态量变换来合成，定义算子如下：力F、对流A、投影P，那么整个求解过程变为：S=PoAoF 即先施加热浮力，然后计算对流，最后计算压强，对速度场进行修正，每一步都稳定，则整个计算也就稳定。

20、用此方法可以求解各种物理量，例如速度场和温度场等。 如果用w0、w1、w2、w3来表示各个计算阶段的速度场，则整个求解过程为：其中，w0=u（x，t）w3=u（x，t+t）四、四、N-S方程的求解方程的求解如果将上面的过程公式化，则可以按如下过程具体求解： 首先，计算机热浮力项fbuoy，假设一个时间步长内整个场的作用力变化不大，则可以按下式施加热浮力w1(x)=w0(x)+tfbuoy(x，t) 然后计算对流项 (u)u，采用半拉格朗日方法进行求解，即：w2(x)=w1(x-u(x,t)t)四、四、N-S方程的求解方程的求解 最后是就是投影项。首先w2(x),也就是当前的速度场散度。这样通过压强泊松方程就可以求出压力场，然后利用压力场对速度进行修正可以满足速度场散度为w3(x)=0的质量守恒条件。见下式： 2p= w2(x) w3(x)=w2(x)-p对于压强泊松方程，如果采用中心差分显示格式可以直接从一个时刻t计算出下一个时刻t+t的速度场，但是这个格式不稳定，所以采用雅克比迭代来求解以保证稳定性，其中上标k表示第k次迭代，即：求解N-S方程流程图四、四、N-S方程的求解方程的求解四、四、N-S方程的求解方程的求解 方程（3）第一项表示烟雾粒子的重力，z（0，0，1）表示垂直方向，在这里我们把烟雾粒子看作是无质量的，所以 这一项为0，第二项表示温差引起的浮力，第三项表示漩涡约