定义法判断函数的单调性_第1页
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文档简介

1、2.1定义判别法使用函数单调性定义进行解题是一个重点，也是一个难点。关键在于对函数单调性定义的理解。掌握这一方法有利于形成解题思路。函数的单调性定义:般的，设函数f(x)的定义域为I:X2时X2时1)、如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2,当x1都有f(Xi)f(X2).那么就说f(x)为D上的增函数;2)、如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2,当x1都有f(Xi)f(X2),那么就说f(x)为D上的减函数。1:已知、是方程4x24kx10(kR)的两个不等实根f(X)当的定义域为X 1,判断函数f(x)在定义域内的单调性，并证明。证:令 g(x) 4x

2、2 4kx 1则函数图象为开口向上的抛物线。x1x24kxi1 0,4x2 4kx2 1 0;将上述两个式子相加得:4(x12x2) 4k (x1 x2) 20,由均值不等式，可得 2x1x22x12X2 ；2x1x2k(Xi X2)12 °，则fM)f (x1)2x2 k 2x1(x2 x1) k(x1 x2) 2x1x2 2又 k(x122X21X1(X12 1)(X2 1)x2) 2x1 x2 2 k(x1 x2)2x1x2所以f(X2) f(Xi)0,故f(x)在区间上是增函数例2、求证f(x)x22X在,7上为增函数。4解：取XiX27，则f(Xi)f(X2)(XiX2)2

3、2Xiv2X2,分子、分母同时乘以72nv'TT,得f (Xi)(Xi f(X2)X2)(、.2Xi、2、2 Xi ,.2 X2X2i)由Xii iX2 0,42 Xi 2,j2 X2 2,所以 f(Xi)f(X2) 0,函数在1为单调递增函数从上面两个例子可以看出，在应用定义判别法的时候，首先取定定义域中不等 两点，对其函数值作差，判断其大小。但是，在做题过程中，不乏对不等式的灵 活应用，因此，需熟练掌握一些常用的不等式。知识链接:常用的基本不等式(i)、设a、b R , Ma20,(a b)2 0 (当且仅当a 0,a b时取等号)22、设a、b R，则a2 b22由七2(当且仅当a b时取等号)(3 )、设a、b、c R则 a2 b2 c2 ab bc ca ；2,2ab(当且仅当a b c时取等号)(4)、均值不等式:、设 a、b (0,)，则aab (当且仅当a b时取等号)基本变形：ab2Vab,ab(a?b)2。b、设a、b、c(0,),则a一b-cVabc(当且仅当abc时3取等号)。(5)、设0ab,则a二abTababa-b-b(当且仅当abab2

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