导数双变量专题

1、导数-双变量问题1 .构造函数利用单调性证明2 .任意性与存在性问题3 .整体换元一双变单4 .极值点偏移5 .赋值法构造函数利用单调性证明形式如：|f(x1)f(x2)|m|x1x2|方法：将相同变量移到一边，构造函数1,0 ,不等式 | f (x1) f (x2)| m 恒1 ,如果对x1，x2 (0,)，有391 .已知函数f(x)(x)(x一)对任意x1,x224成立，试求m的取值范围。2 .已知函数f(x)(a1)lnxax21.设aIf(x1)f(x2)|4|Xx21,求实数a的取值范围3 .已知函数f(x)aln(x1)x2区间(0,1)内任取两个实数p,q,且pq时，若不等式f

2、(p 1) f(q 1)p q1恒成立，求实数 a的取值范围。104.已知函数f(x) x2 22alnx(a2)x,aR.是否存在实数a,对任意的Xi,X20,，且X2Xi,有f(x2)f(Xl)a，恒成立，若存在求出a的取值范围,X2Xi若不存在，说明理由.练习1：已知函数f(x)aInxX2,若a0且对任意的X1,X21,e,者B有11|f(Xi)f(X2)|,求实数a的取值范围.XiX2练习2.设函数f(X)In xm一,m R.右对任息b aX0,*4 1恒成立.求m的取值范围.15.已知函数f(x) Xaxa 1 In x, a 1(1)讨论函数的单调性(2)证明：若则对任意的x2

3、0,且x2f(x2)f(x1)x2x1成立6.设函数fmxemx(1)证明:,0单调递减，在0,单调递增;(2)若对于任意x1,x21,1，都有|f(xi)f(X2)|e1,求m的取值范围。任意与存在性问题1.已知函数fxa2一,gxxInx，其中a0(1)若函数yfxx在1,e上的图像恒在ygx的上方，求实数a的取值范围.(2)若对任意的x1,x21,e(e为自然对数的底数)都有fx1>gx2成立，求实数a的取值范围._132f(x)-xx3x122.已知函数3,g(x)x2xa(1)讨论方程f(x)k(k为常数)的实根的个数。(2)若对任意x0,2,恒有f(x)a成立，求a的取值范围

4、。(3)若对任意x0,2,恒有f(x)gx成立，求a的取值范围。(4)若对任意x10,2,存在x20,2,恒有f(x1)gx2成立，求a的取值范围。整体换元一一双变单1.已知函数f(x)ax2lnx.(I)求f(x)的单调区间；(n)当a0时，设斜率为k的直线与函数yf(x)相交于两点A(x1,y1)、B(x2,y2)，、一1(x2X),求证：x1一x2.k1 c练习1.已知函数f(x)-x22x,g(x)logax(a0,且a1),其中a为吊数，如果2h(x)f(x)g(x)在其定义域上是增函数，且h(x)存在零点(h(x)为h(x)的导函数)(I)求a的值；(II)设A(m,g(m),B(

5、n,g(n)(mn)是函数yg(x)的图象上两点，g(x0)9(6g(m)(g(x)为g(x)的导函数),证明：mxon.nma1o练习2.已知函数f(x)lnxax1,g(x)x,aR；2(1)已知a2,h(x)f(x)g(x),求h(x)的单调区间;(2)已知a1,若0x1x21,f(t)f(x2)_f(Xl)(x1tx2)，求证：tx1一x2x2x12x_.fafb-fbfaci练习3.已知函数fxe,xR,设ab,比较与的大小,2ba并说明理由。2 .已知函数fxlnxax有且只有一个零点，其中a>0.(I)求a的值；(II)设hxfxx,对任意x1,x21,x1x2，证明：不等

6、式12>Jx1x2x1x21恒成立.h为hx23 .已知f（x）21nxx2ax在（0,）内有两个零点x1,x2,求证：f（x一x2）0。2练习.已知函数f(x)=1nxmx(mR),若函数f(x)有两个不同的零点xi,x2,求证：xix2>e2.4 .已知函数f(x)x2Inaxa0(1)若f'xx2对任意的x0恒成立，求a的取值范围(2 )当a 1时，设函数g(x)若 X1, x2-,1 ,X1 x2 1 ,求证 exx2xi4x?O对称轴问题”%的证明(1) 知函数fxxex.(1)求函数fx的单调区间和极值；(2)已知函数ygx的图象与函数yfx的图象关于直线x1对

7、称.证明：当x时，fxgx;如果x2x1,且fx1fx2，证明：x1x222.已知函数f xX 2a x xln a a 0,a 1(1)求函数fx的单调区间；(2) a1,证明：当x0,时，fxfx若对任意x2X1,且当fXfx2时，有x,x20,求a的取值范围练习.已知函数fxxinx.(1)求函数fx的单调区间和极值；2(3) 如果x2xi,且fxifx2，证明：xix2一e赋值法1. 已知函数 f xrxxr1rx0，其中r为有理数，且0r11）求fx的最小值；1，则（2）试用（1）的结果证明：若ao,a20,b,b2为正有理数，若bb2a1b1a2b2a1b1a2b23）将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明。2.已知函数fxlnx,gxlnx1