整式乘除与因式分解培优精练专题问题详解

1、整式乘除与因式分解培优精练专题答案一 选择题（共9小题）2 2 21. （ 2014?）算式99903 +88805 +77707之值的十位数字为何？（）A . 1B . 2C. 6D. 8分析：分别得出999032、888052、777072的后两位数，再相加即可得到答案. 解答： 解：999032的后两位数为09, 888052的后两位数为25, 777072的后两位数为49,09+25+49=83，所以十位数字为 8, 故选：D.2. ( 2014?)计算(2a2) 3?正确的结果是()A 3a7B . 4a7C. a7D. 4a6分析：根据幕的乘方与积的乘方、单项式与单项式相乘及冋底数

2、幕的乘法法则进行计算即 可.解答：解：原式=_二二=4a7, 故选：B .3. ( 2014?)若 a+b=2',ab=2，则 a2+b2 的值为()A . 6B . 4C . 3 二D . 2 . 1分析：利用a2+b2= (a+b) 2 - 2ab代入数值求解.解答： 解：a2+b2= (a+b) 2 - 2ab=8 - 4=4,故选：B .2 1 1 24. (2014?拱墅区二模)如果 ax2+2x+= (2x+=) 2+m，贝U a, m的值分别是(A . 2, 0B . 4, 0C .1D 12 4 2, 44, 4解答:运用完全平方公式把等号右边展开，然后根据对应项的系数

3、相等列式求解即可.22丄解： ax +2x+=4x +2x+ +m,解得彳1 .甲图中阴影部分面积 宙乙图中阴影部分面和(a>b>0),则有(5. （ 2014?江阴市模拟）如图，设C. 1 v kv 2解答:解：甲图中阴影部分的面积 =a2- b2,乙图中阴影部分的面积 =a （a-b）,甲图中阴影部分面和 屏-/ ,+厂b 国中阴影部分面粗违G-b）-辽/ a>b>0,a 1v kv 2.故选：C.6. （ 2012?三月调考）已知a J二J!5,则a_-的值为（）aa2a +2a?A . iB 一詁：C .二D .无法确定解答：解： a+_= |T,3、 1 2

4、两边平方得：(a+) =10,展开得: a2+1=10 - 2=8,a=a2，L +a丄)2=a2- 2a?a-2=8 - 2=6, a-=±i,a故选C.7已知二一 |目|二1,则代数式A B.当曲的值等于（）C.匚分析:先判断a是正数，然后利用完全平方公式把丄- |且|二1两边平方并整理成-1+laI的平aa解答:方的形式，开方即可求解.解：二|n|二 1 ,aa> 0，且- 2+a?=i,a+2+a2=5,a即（二+|a|） 2=5,a开平方得，丄+|a|=i.：.a故选C.S=52013 - 1& （ 2012?滨州）求 1+2+22+23+22012的值，可令

5、 S=1+2+22+23+ +22012，则2小3J2S=2+2 +2 +2 +-+22013,因此2S- S=22013- 1 .仿照以上推理，计算出 1+5+52+53+ +52012的值为（）A . 52012 - 1B . 52013 - 1CC.匚二iD.严-144分析：根据题目提供的信息，设S=1+5+52+53+52012，用5S- S整理即可得解.解答：解：设 S=1+5+52+53+52012，则 5S=5+52+53+54+ +52013, 因此，5S- S=52013 - 1 ,故选C._ _ _ 2 2 29. （2004?）已知 a=_ x+20 , b x+19 ,

6、 c=x+21，那么代数式 a2+b2+c2- ab- be- ac的值是（）A . 4B . 3C. 2D. 1专题：压轴题.分析:已知条件中的几个式子有中间变量x,三个式子消去 x即可得到：a- b=1 , a- c= - 1,b - c= - 2,用这三个式子表示出已知的式子，即可求值. 解：法一： a2+b2+c2- ab- be- ac,=a (a- b) +b ( b- c) +c (c - a),又由 ax+20, b= - x+19, c=丄 x+21 ,202020得( a- b) =x+20 -x - 19=1 ,2C120同理得：(b- c) = - 2,(c- a) =

7、1 ,所以原式=a - 2b+c=丄x+20 - 2 (- x+19 ) + x+21=3i2020故选B.解答:法二：a2+b2+c2- ab - bc- ac,=(a2 - 2ab+b2) + (a2 - 2ac+c2)+ (b22bc+c2),2+ (b - c)X(1+1+4) =3.= (2a2+2b2+2c2 - 2ab - 2bc - 2ac),故选B.二.填空题(共9小题)211.10. (2014?样卷)已知(x+5) (x+n) =x +mx - 5,贝U m+n= 3分析：把式子展开，根据对应项系数相等，列式求解即可得到m、n的值.解答：解：展开(x+5) (x+n )

8、=x2+ (5+n) x+5n2( x+5) (x+n) =x +mx - 5,/ 5+n=m , 5n= 5,/ n= 1, m=4 ./ m+n=4 - 1=3.故答案为：3(2014? 模)已知 x-g=1，则 x2+ =首先将x -二=1的两边分别平方，可得(x-二)2=1，然后利用完全平方公式展开, 变形后即可求得x2+寺的值.或者首先把x2+凑成完全平方式x2+= (x - ) 2+2，然后将x-g=1代入，即可解答:12.分析：解答:点评:13.解答:点评:14.求得x2+-2I的值.解：方法一： X 即X2 + x2+2)2=1,2=1,方法二：x =1 x2+2小(x )+2

9、,=12+2,=3 .故答案为：（2011?平谷区二模）已知，那么x2+y2= 6 .首先根据完全平方公式将（x+y ） 2用（x+y ）与xy的代数式表示，然后把 x+y , xy的 值整体代入求值.解： x+y= , xy=2 ,2 2 2（ x+y） =x +y +2xy , 10=X2+y2+4, 22 'x +y =6.故答案是：6.本题主要考查完全平方公式的变形，熟记公式结构是解题的关键完全平方公式：± b） 2=a2± 2ab+b2.3.（2010?贺州）已知 10m=2 , 10n=3，贝U 103m+2n= 72 .3m+2n _3m_2n /3n

10、、2 小32 ,解：10=1010 = （10 ）（10 ）=2 ? 3 =8X 9=72.本题利用了同底数幕相乘的性质的逆运算和幕的乘方的性质的逆运算.同底数幕相 乘，底数不变指数相加；幕的乘方，底数不变指数相乘.(2005?)已知 a b=b c_，+b2+c2=1，贝U ab+bc+ca 的值等于5_225(a分析：先求出a c的值，再利用完全平方公式求出（a b), (b c), ( a c)的平方和，然解答:后代入数据计算即可求解.解：T a b=b a-c=a - b) 236，- 2 (a2+b2+c2)-2( ab+bc+ca)="+一=一， a2+b2_ 2ab=,

11、 b2+c2_ 2bc= , a2+c2_ 2ac= b C ' C 2 - 2 (ab+bc+ca)rd.1( ab+bc+ca),50 ab+bc+ca=50点评:故答案为:本题考查了完全平方公式，解题的关键是要由a b=b c=,得到a c= 然后对a55b=_|, b c=¥，a c=g三个式子两边平方后相加，化简求解.55515. (2014?)设 a=192x 918, b=8882 - 302, c=10532 - 7472，则数 a, b, c 按从小到大的顺 序排列，结果是a v c v b .考点：因式分解的应用.分析：运用平方差公式进行变形，把其中一个因

12、数化为918，再比较另一个因数，另一个因数大的这个数就大.解答：解：a=192 X 918=361 X 918,b=8882 302= (88830)X( 888+30) =858 X 918, c=10532 7472= (1053+747)X( 1053 747) =1800X 306=600X 918, 所以av cv b.故答案为：av cv b.16. (1999?)如果 a+b+ |：- 一，那么 a+2b 3c=0分析：先移项，然后将等号左边的式子配成两个完全平方式，从而得到三个非负数的和为 0,根据非负数的性质求出 a、b、c的值后，再代值计算.解答:解：原等式可变形为：a 2

13、+b+1+|Jc- 1 1|刑巴 _ 2+2阿I 5(a 2) + ( b+1) +"匚 一 1 1| 4甘色一 2- +1+5=0(a 2)付冬一严4+ ( b+1) 2“b+l+1+|Qc - 1 1|=0(:一 2)2+ ('1- 1) 2+hJ；.: - 71=0；即：、“. ？一 2=0,.I仁0，,- - 1=0,坊爭-J=2，I =， .， I =1，/ a- 2=4, b+1=1 , c- 1=1 , 解得：a=6, b=0, c=2; a+2b - 3c=6+0 - 3X 2=0 .17.已知x-=1，则一7丈沁,2£x4t2007 x5+l, 1

14、-2010分析:解答:1 、 的值，再把所求算式整理成|的形式，然Xx +2007+x后代入数据计算即可.解： x -二 =1 ,把X-丄1两边平方求出x2+ x2+-2=1- X2+亠=1+2=3 ,2x4+2007x2412Lx2+200T+-1 .12007+3_'2010故应填:1201018.已知(2008 - a) 2+ (2007 - a) 2=1，则(2008 - a)? (2007- a) =_0解答:解：T( 2008 - a) 2+ (2007 - a) 2=1 ,2 2 ( 2008 - a)- 2 (2008 - a) (2007 - a) + (2007 -

15、 a) =1 - 2 ( 2008 - a) ( 2007 - a),即(2008- a- 2007+a)=1 - 2 (2008 - a) ( 2007 - a),整理得-2 (2008 - a) (2007 - a) =0, ( 2008 - a) (2007 - a) =0.三.解答题(共8小题)19.如果a2- 2 (k - 1) ab+9b2是一个完全平方式，那么 k= 4 或- 2解答:解： a2- 2 (k- 1) ab+9b2=a2- 2 (k - 1) ab+ (3b) 2, - 2 ( k- 1) ab=± 2X ax 3b, k- 1=3 或 k- 1= - 3

16、,解得k=4或k= - 2.即k=4或2.故答案为：4或-2.点评：本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点, 熟记完全平方公式对解题非常重要.20.已知 3X=8，求 3X+3.解答：解：3X+3=3X? 33=8 X 27=216 .点评：本题考查了同底数幕的乘法，底数不变指数相加.21计算:an_5 (an+1b3m3 2+ (a"1bm3 3 (- b3m+2)分析：先利用积的乘方，去掉括号，再利用同底数幕的乘法计算，最后合并同类项即可. 解答：解：原式=an-5 (a2n+2b6m-4) +a3n-3b3m-6 (- b3m+2),=a3n3

17、b6m-4+a3n3 (- b6m-4),3n-3 6m -43n- 3 6m-4=a b - a b ,=0.点评：本题考查了合并同类项，同底数幕的乘法，幕的乘方，积的乘方，理清指数的变化是 解题的关键.22 已知n是正整数，1+ - + 一是一个有理式 A的平方，那么，A= ±n2 (nfl) 241n1 2 n(n+n 2n2(.屮1) 2+ (mi) 2+n2(n+1) 2解：1 +解答：分子：n2 (n+1) 2+ (n+1) 2+n2=n2 (n+1) 2+n2+2n+1+ n2,2 2=n (n+1)+2n ( n+1) +1,2=n (n+1) +1,分子分母都是完全

18、平方的形式，23.分析: A= ±n+1n (n+1)故答案为：土已知 2008= 丁 :/n (n+1? +1 n (n+1) 丄)x，其中x, y为正整数，求x+y的最大值和最小值.首先根据2008= x卩一丄)可知xy=2009，再根据x, y为正整数，确定x、y可能的取值.根据xy的乘积的个位是 9，确定x、y的个位可能是1、3、7、9 .通过x、y 都具有同等的地位，那么 x取过的值，y也有可能，故只取 x即可，x的十位数最大 不会超过5 .因而就 x 取值可能是1、11、13、17、19、21、23、27、29、31、33、37、39、41、43、 47、49.就这几种情

19、况讨论即可.解：T 2008=一2008=xy - 1 2009=xy/ x, y为正整数，并且乘积是 2009的个位数是9因而x、y的个位可能是1、3、7、9 当x的个位是1时，x=1，y=2009显然成立,x=11，y不存在，x=21，y不存在，x=31，y不存在，x=41， y=49， 当x的个位是3时x=3，y不存在，x=13，y不存在，x=23，y不存在，x=33，y不存在，x=43，y不存在； 当的个位是7时x=7， y=287x=17，y不存在x=27，y不存在x=37，y不存在x=47，y不存在； 当x的个位是9时x=9，y不存在x=19，y不存在x=29，y不存在x=39，y

20、不存在x=49， y=41 .故可能的情况是 x=1 , y=2009 或 x=2009, y=1 , x+y=2010 x=7, y=287 或 x=287, y=7 , x+y=7+287=394 x=41 , y=49 或 x=49 , y=41, x+y=41+49=90故x+y的最大值是2010,最小值是9024. (2000?)计算:1234612345X12347解答：解：由题意可设字母n=12346，那么12345=n - 1, 12347=n+1 ,于是分母变为 n2(n 1) (n+1).应用平方差公式化简得n2-( n2- 12) =n2 - n2+1=1 ,即原式分母的值是1,所以原式=24690 .2 _ 225设 a2+2a -仁0, b4 - 2b2- 1=0，且 1 - ab2工 0,求(+匕一曲1)刘”的值.赳分析：解法：根据1 ab丰0的题设条件求得 b = - a,代入所求的分式化简求值.解法二：根据a2+2a-仁0,解得a= - 1+V 2或a=- 1-J，由b4 - 2b2-仁0,解得: b2=+1，把所求的分式化简后即可求解.解答：解法一：解：T a2+2a-仁0, b4- 2b2-仁0( a2+2a- 1)-( b4- 2b2- 1) =0化简之后得到：(a+b2) (a- b2+2) =0若