数值分析报告精彩试题库与问题详解解析汇报

1、模拟试卷(一)_15-213、2 .设 A =_210,x =-4-42 一1<2 >1有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是次的.3.已知y=f (x)的均差(差商)，则A一、填空题(每小题3分，共30分)fXo,Xi,X2 = ¥，fXi,X2,X3= 15 , fX2,X3,Xj 譚,3 3158f Xo,X2,X3=3 ,那么均差 fX4,X2,X3】 =34.已知n=4时Newton Cotes求积公式的系数分别是：C04) = C(4)90f y = f (x y)5.解初始值问题的改进的Euler方法是阶方法；ly(x。)= y。5X1 3 x? O.IX

2、3 = 36 .求解线性代数方程组-2x1 6x2 0.7x3 =2的高斯一塞德尔迭代公式为 为 +2x2 +3.5x3 =1(0)(1)右取 x=(1,一1,1),贝U x .7.求方程X二f (X)根的牛顿迭代格式是 & fo(x), I； (x)，Jn(x)是以整数点Xo, X1,|l(,Xn,为节点的Lagra nge插值基函数，则n7 Xkfj(Xk)=.k =09.解方程组 Ax=b的简单迭代格式x(k = Bx(k) g收敛的充要条件是10 .设f ( -1扌 f,(=0 ) f 0 ,= ( 1f) 1,贝y f (x)的三次牛顿插值多项式为，其误差估计式为. 二、综合

3、题(每题10分，共60分)1.求一次数不超过 4次的多项式p(x)满足：p(1)=15 , p(1) = 20, p(1)=30p(2) =57 , p -72.1 12.构造代数精度最高的形式为pXf (x)dx ' Aof (-) A)f (1)的求积公式，并求出其代数精度.3用Newt on法求方程x I nx = 2在区间(2严)内的根，要求 代_ xkj 彳。-8.Xkj01l卫6试用数值积分法建立求解初值问题1 0 1X232 4 3X31710 3_X4 一l一7 一020幻1 一5f(x，y)的如下数值求解公式y(°) = yo24 用最小二乘法求形如 y =

4、a bx的经验公式拟合以下数据：Xi19253038yi19.032.349.073.35.用矩阵的直接三角分解法解方程组02的任意，迭代格式MXk 1 二 Xk - f (Xk)均收敛于f (x) = 0 的根 x .hyn d = yn4 §(fn 1 - 4fn j),其中 £ = f (x, %), i = n -1, n, n 1.三、证明题(10分)设对任意的x ,函数f(x)的导数f (x)都存在且0 ： m乞(x)乞M,对于满足参考答案、填空题1.5; 2. 8, 9 ; 3.914.1615；5.456.x；k 十)=(3+3x2k)+O.1x3k)/5x

5、2k 1) = (2 2才 ° -O.7x3k)/6 ,(0.02 , 0.22 ,x3kHn =(1-才十)-2x2k+)*2 /70.1543)7. 8. xj;；1110. -x3 x2x, f ()(x 1)x(x-1)(x-2)/24(T,2)66二、综合题111221515155757202042721522307811差商表:p(x) =15 20(x -1) 15(x-1)2 - 7(x -1)3 (x -1)3(x -2) =5 4x 3x2 2x3 x4其他方法:设 p(x) =15 20(x -1) 15(x -1)2 7(x -1)3 (x -1)3(ax b

6、) 令 p(2) =57 , p (2) =72，求出 a 和 b.2.取 f(x) =1,x，令公式准确成立，得:Ao A2f (x) =x2 时,1 "" 1" 1 " 1Ao A|， Ao， A .23361 3公式左右；f (x)二x时，公式左4二丄，公式右524公式的代数精度二2.3.此方程在区间（2,：）内只有一个根s，而且在区间（2, 4）内。设则 f '(x) =1 _1 ,xf"(x)= 1 , Newton法迭代公式为 x2xk - ln Xk - 2Xk(1ln Xk)1 一1风xk - 1k =0,1,2,取 x

7、0 =3，得 s ： x4 =3.146193221。2 t二 span1, x , A12521302382 一yT = 19.032.3 49.0 73.3 .33303416082解方程组 AT AC =AT y，其中AT A二 4H3330解得：C=1.41665H0.0504305所以 a =0.9255577,5解设b =0.0501025.0 1 0124.0 1 01_1 02011u22u23u24321u33u3442 l431 -U44 一”21l31J 41由矩阵乘法可求出Uj和l j12131 l32141 l42l431020u22u23u24U33U34U44l1

8、jj12 11 0 1一0 2 01 0 12 120 1y231 2 1y3170 1 0 1y 一I解下三角方程组11沖5y6，4 .有 y1 =5 , y2 =3，再解上三角方程组0门1得原方程组的解为x2x3X1=1， X2 =1， X3 =2， X4 = 2.X6 解 初值问题等价于如下形式y(x) = y(Xn4)亠！ f (x, y(x)dx，xn +取 x=Xn 卅，有 y(Xn卅)=y(Xn)+ J f (x, y(x)dx，xn丄利用辛卜森求积公式可得yn .1 ”-(fn 1 4fn仁).3三、证明题证明 将 f(x)=0 写成 x=x-f(x)L (X)，由于(X)二X

9、 - f(x)1 - f (X)，所以 I- f (x)|：1所以迭代格式xk d = xk -% f (xk)均收敛于f (x) = 0的根X .模拟试卷(二)、填空题(每小题 3分，共30分)1分别用2.718281和2.718282作数e的近似值，则其有效位数分别有 位和位;-1 0-21-n2.设 A =110,X =3，则 IIA1 =，1 X23-82 一L一1 一2 Xi 5x2 = 13 对于方程组丿12, Jacobi迭代法的迭代矩阵是 GJ =.J0x1 - 4x2 =34设 f(x)=x3+x1,则差商 fb,1, 2,3】=, f 10, 1, 2, 3,4】=.斤_1

10、 215已知A = |,则条件数Co nd, A).o 1 一- 16 为使两点的数值求积公式f (x)d f (x) f ()具有最高的代数精确度，则其求积基点应为x0=, x =V 二 f (x, y)7 解初始值问题近似解的梯形公式是ly(xo) = yo&求方程f(x)=0根的弦截法迭代公式是 9.计算积分1 jxdx，取4位有效数字，用梯形公式计算求得的近似值是，用辛壮0.5卜生公式计算的结果是 10任一非奇异矩阵 A的条件数Cond( A) =，其Cond( A) 一定大于等于 二、综合题(每题10分，共60分)1证明方程1 -x二sinx在区间0,1有且只有一个根，若利用

11、二分法求其误差不超过1-10,近似解，问要迭代多少次？22已知常微分方程的初值问题：或丄，1*1.2 dx y.y(1) = 2试用改进的Euler方法计算y(1.2)的近似值，取步长 h=0.2.3 用矩阵的LDLT分解法解方程组_3 3(3 55 9仃丄x3 j10【|l64用最小二乘法求一个形如 y的经验公式，使它与下列数据拟合a +bxX1.01.41.82.22.6y0.9310.4730.2970.2240.168x 0.4 y 0.4z = 1I5设方程组 0.4x y - 0.8z =2，试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯赛德尔迭代J0.4x 0.8y z =3法的收敛性。4

12、-1按幕法求矩阵A = -13J-21 1-2的按模最大特征值的近似值，取初始向量x(0) =(1,0,0)丁，迭代两步求得近似值即可.三、证明题(10分)已知求a(a 0)的迭代公式为：1 aXk 1(Xk) X0 0 k = 0,1,22 Xk证明：对一切k =1,2,山，x .a ,且序列Xk是单调递减的，从而迭代过程收敛参考答案一、填空题02.51. 6, 7 ; 2. 9,.11 ; 3.; 4. 1, 0; 5. 9; 6.|2.50h7. yk - f (Xk,yk)f (Xk 1, yk 1);28. Xk Xk一 Xk4)9. 0.4268, 0.4309; 10.=10：:

13、二、综合题 1 解 令 f (x) =1 x sin x，则 f 0 1=0> , f (1) = _sin 1 <0，且 f *)故1 - x =sinx在区间0,1内仅有一个根x .1 4 * 1利用二分法求它的误差不超过10 -的近似解，则Xkj-x |_尹4ln10解此不等式可得 k > 4 = 13 2877In 22、所以迭代14次即可.解：& =f (x°, y°) =0.5, k2 =彳任”。hkj =0.571429,-(k, k2) =2 0.1 (0.5 0.571429) =2.10714292l2117J 311l32d2

14、d311l21 l311 l32利用矩阵乘法可求得解方程组d1101-3， d2y2 =2，16d3二，l213二1，131得 y<)= 10,y2 二 6,1113_xj11 2X21*3 一1 .l_y3L30再解方程组51d2d3"I6| 4.3得 x<| = 1, x2 = -1, x3 = 2.则Y = a bx容易得出正规方程组a =-2.0535,b= 3.0265 .59門6.9711，解得<9 17.8 丿b35.3902故所求经验公式为1-2.0535 3.0265x扎 0.4 0.4（1） 由于 fj（九）= 0.4 丸 0.8 =疋0.96扎

15、十0.2560.4 0.8 九仃（一1）一1 0.98 0.2560 ,仃（-2） 一8 1.96 0.256 ： 0所以fj(=0在(_2, -1)内有根'i且|1，故利用雅可比迭代法不收敛人 0.40.42(2) 由于 fG仏)=0.4人九0.8=扎(扎0.832+0.128)0.4X 0.8 扎 九所以：?(G) <0.832，故利用高斯赛德尔迭代法收敛6 解 因为 X(0) =1,0,0T，故L X(0)L：=1,99 9订且 y二 Ax(0)4,-1,1=max(y)=4. 从而得X(1 y /L y ，1厂1，期 ,4 4=max(y(2) = |.证明：由于三、证明

16、题k ",1,2,|1|故对一切 k , xk _ . a，又 二丄(1 弓)_丄(1 1) = 1xk2Xk2所以Xk 1乞Xk，即序列 Xk是单调递减有下界，从而迭代过程收敛模拟试卷（三）一、填空题（每小题3分，共30分）1设a =2.40315是真值x =2.40194的近似值，则a有位有效位数，相对误差限2. 若用二分法求方程 f（x）=0在区间1,2内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分次。3. 有n个节点的高斯求积公式的代数精度为 次.4设（xxa（x2-5），要使迭代格式Xki二（Xk）局部收敛到x .5，则a的取值范围是5 设线性方程组 Ax = b有唯一解，在不考

17、虑系数矩阵扰动的情况下，若方程组右端项的 扰动相对误差丨出乞，就一定能保证解的相对误差放乞；IH 1X1Sx2 =86 给定线性方程组 12，则解此线性方程组的Jacobi迭代公式15x2= -47插值型求积公式n' Akf (xQ :k =0是, Gauss-Seidel 迭代公式是 bf （x）dx的求积系数之和是a&数值求解初值问题的龙格-库塔公式的局部截断误差是 9.已知函数f (0.4) =0.411, f (0.5) = 0.578 , f (0.6)= 0.697，用此函数表作牛顿插值多项式，那么插值多项式 x2的系数是2 1 010.设A = 12 a ，为使A

18、可分解为A= LLT，其中L是对角线元素为正的下三角'0 a 2矩阵，则a的取值范围是。二、综合题（每题10分，共60分）-11一1/2 11/21,b =1/3,已知它有解x =-132 一1 igL.0 J如1用Newton法求方程xI nx=2在区间（2严）内的根，要求 际k1 “。弋1 02.设有方程组 Ac=b，其中A = 220 21 6果右端有小扰动岀10-，试估计由此引起的解的相对误差。3试用Simpson公式计算积分 彳e1/xdx的近似值，并估计截断误差4设函数f(x)在区间0,3上具有四阶连续导数,试用埃尔米特插值法求一个次数不高于3的多项式P3(x)，使其满足P

19、3(0) =0,R(1) = 1，匕(1) = 3,R(2) =1,并写出误差估计式。25. A =-1 0Jacobi方法求A的特征值的第一次迭代运算。,证明其近似解为 yn二n,并证明当h > 0-12-1 ，给出用古典0-12V y = 06.用梯形方法解初值问题ly(0) =1时，它收敛于原初值问题的准确解-X y 二 e 。三、证明题(10分)kXjn若f(X)= '、 aixi有n个不同的实根，证明、i 二i f ( Xj )0,k = n1参考答案、填空题1.3,0.5 10-3 ; 2. 10;3.2n-1; 4.-1 <5 - a ： 0 ;5.；cond

20、 (A);6.x(k J(8 x2k)/9A=(4+x1k)/5,k =0,1川,'(k -1)x【T8ir,ksx(k 1 (4 x1k 1)/57.b -a; 8. O(h5); 9.2.4; 10 .二、综合题1.此方程在区间(2,：)内只有一个根s ,而且在区间(2, 4)内。设 f(X)二 X -In X2则f '(x) =1 -丄，f "(x)1 , Newt on法迭代公式为XX2Xk1=Xk-XkInXkJ ,1T/Xkxk T 0,1,2,取 x0 =3，得 s ： x4 =3.146193221。-1 I1.5 ，Cond( A) =22.5，由公

21、式-1邛5(A)叫，有 x J ( ) b 二x：:= 1.6875 10 吕1 X10-622.5 2'33.:e1/xdx ： (e 4e1/1.5e1/2) =2.0263, f(4)=(飞max f(4)(x)| = f(4)(1) 1空玄=198.43 ,訂丄普逬竽)即，x x x(x) =0.06890截断误差为r2|兰(2一1)5 max f (4)2880侈玄54由所给条件可用插值法确定多项式P3(x)， F3(x)x3一 2(由题意可设 R(x)二f (x)-F3(x)二k(x)x(x-1) (x-2)为确定待定函数 k(x)，作辅助函数：g(t) = f(t)- P

22、(t)- k(x)t(t- 2)(卜2则g(t)在0,3上存在四阶导数且在0,3上至少有5个零点t二x, t =0,1,2 (t =0为二重零点)，反复应用罗尔定理，知至1少有一个零点(0,3)，使g(4)( J-0，从而得k(x) f)。故误差估计式为4!1R(x) f ()x(x-1)2(x-2) ,(0,3)。4!15.首先取 i=1,j = 2,因 cot2= 0 故有 ,于是 co$ = si9 =,44212 19-ITv(121-2 0IJ-2rl丄血丄血1 -2 1-.2hf( x, y)-，得6.梯形公式为 yn .1 二 2【f(Xn，yn) f(Xn1,yn d),由h%

23、 1 二 yn 2(yn - yn 1)，用上述梯形公式以步2 -h2 -h22-h、nl2-h、ni所以 yn"(茹)yn=(茁)yn4H丙)=(丙)长h经n步计算得到yn ,所以有hn =x ,所以2 - h)n2 h)2 -h2 h)h *三、证明题n的实根，故证明由于 f(xf af 有 n 个不同i 二f (x)二 an(x X1)(X X2)(X Xn)anWn(X),于是nkg(x) =x，则 7i吕再由差商与导数的关系知kXj而i =1kXjkXjiJ anWn(Xj)n g(Xj)ian y Wn(Xj)Xj°,f (Xj)anan i 吕 Wn(Xj)g

24、Xi,X2,|l|,Xn， an模拟试卷(四)一、填空题(每小题 3分，共30分)2481 为了减少运算次数，应将算式y=1-283改写2x-3(2x-3)2(2x-3)3，为减少舍入误差的影响，应将算式,80改写为-1 1 12.-3-2-1 _3.设在x二g(x)的根x附近有连续的二阶导数，且g'(x)<1，则时迭代过程xk1 =g(xk)是线性收敛的，则当时迭代过程Xk1二g(Xk)是平方收敛的。沁a 101k4. 设A = |，则当a满足时，有lim Ak = 0'01Y5. 用列主元消去法解线性方程组Ax = b时，在第k1步消元时，在增广矩阵的第 k列取主元a

25、(严，使得a/=。6. 已知函数 f (0) =1, f (1)=3, f (2) =7，则 f0,1=, f 0,1,2 = , f (x)的二次牛顿插值多项式 7. 求解方程f(X)= 0，若f(x> 0 可以表成X二(x),则用简单迭代法求根，那么(x)满足，近似根序列x,X2,|l(,Xn一定收敛。& n V点插值型数值积分公式n' Ak f (Xk):k=0bf (x)dx的代数精度至少是 a次，最高不超过次。'、 2xy = y -9.写出初值问题 y 在0,1上欧拉计算格式 7(0110.解初始值问题y = f (x,y)的梯形方法是 阶方法ly(X

26、0)= y。、综合题(每题10分，共60分)1 .证明方程x3 -X -1二0在区间1 , 2内有唯一根X*，用牛顿迭代法求 x*(精确至3位小数)。_xx2x3 =32 用列主元消去法解线性方程组x1 3x2 -2x3 = 2 ；2为-2x2x3 = 13.给定数据x=0,1,2,3 ,对应函数值分别为 y=1,3,2,4 ,求三次拉格朗日或牛顿插值多项 式。<2 -1 0、4 .设有矩阵A= -1 2 -1用“规范化”的方法求其按模最大的特征值及对应的特I。-12征向量(注：求迭代 4次即可)_ 25 用改进的Euler方法求初值问题§y=y , (0兰xE1,取步长h=0

27、.1)."(0)=16 给定数据 f(0.1) =5.1234, f (0.2) =5.3053, f (0.3) =5.5684，求一次最小二乘拟合 多项式。三、证明题(10分)设线性方程组为«12灼-I , 622=0&21乂1&22乂2 = b?(1 )证明用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法解此方程组要么同时收敛，要么同时发散；(2)当同时收敛时，比较它们的收敛速度。参考答案、填空题1.u =, y = (8u-4)u +2)u +1 ,； 2. 6, 6；2x -39 803.g' (x )=0, g' (x )=0, g'&

28、#39; (x ) = 0; 4.a <1；5.maxaikk 4)；6. 2, 1,x2x 1； 7.: '(x)乞 L ： 1； 8. n , 2n 1；9.yn 1 =yn h(yn纽)yn10.y0 =1二、综合题31.令f (x)二 X - x2-1,f'(x)=3x -V>0, f(x)在(1 2 严格单增又f(1) 一1,f(2)5, f(x)在(1 )上有唯一根;由牛顿迭代公式3、，、，& 耳1Xk 1 - Xk 23Xk -1取 xo=1.2，得 1.2, 1.34217, 1.325, 1.32472, 1.32472, 1.32472或

29、取 Xo =1.0, 1., 1.5, 1.34783, 1.3252, 1.32472, 1.32472,所以 X* =1.32472. 2(1113、广2-211、广2-211 、(A,b)=13-22T:13-22T04-2.51.5< 2-21b< 1113< 020.52.5广 2-211t 042.51.5,故 X)= x2= x3 =1 .I 005/45/423. N3(x) =1 2x 3/ 2 x (x -1) x (x 1) (x 2) = x3 4.5 x - 5.5x 132或 L3(x)二 x -4.5 x -5.5x 14 .取 Uo二(1,1,1，由乘幕法得,Vi = Auo = (1,0,1)T , Ui = (1,0,1)T , V2 = Aui =(2,-2,2)T ,出=(1,T,1V3 = AU2=(3,-4,3) T, U3 =(-0.75,1,-0.75)丁、 3.4142