格林公式知识点总结

1、第三节格林公式及其应用教学目的：理解和掌握格林公式及应用教学重点：格林公式教学难点：格林公式的应用教学内容：、Green公式单连通区域.设D为单连通区域，若 D内任一闭曲线所围的部分都属于D .称D为单连通区域（不含洞），否则称为复连通区域 （含洞）规定平面D的边界曲线L的方向，当观看者 沿L行走时，D内在他近处的那一部分总在他的左边，如定理1.设闭区域D由分段光滑的曲线 L围成，函数P（x, y）和Q（x, y）在D上具有一阶连续偏导数，则有DeQ_fdXdy = ：LPd-Qdy.L为D的取正向的边界曲线即格林公式既为X-型又为y-型区域一 cP八门:JbPx152（x）HPXi?i（x）

2、dx =aL2 : y = ：2（x） / ；:y 连续,Ddxdyy dyLi: y= 1 （x）Pdx又LPdxLPdxbbPXi, i（x）dxPXi, 2（x）dxa+ abPx1（x）-Px2（x）dx-：Pdxdy Pdx.yL号幼=0对于y-型区域，同理可证门 =.1_5.原式成立对于一般情况，可引进辅助线分成有限个符合上述条件区域，在D1, D2，D3, D4上应用格林公式相加，由于沿辅助线积分是相互抵消，即可得证2 | dxdy xdy - ydx 几何应用，在格林公式中，取P-y,Q=：x,-D y= l._ 1.A = ? Lxdy _ydx说明：1)格林公式对光滑曲线围

3、成的闭区域均成立CCdxdycX cy2 )记法.Lxdyydx= D3 )在一定条件下用二重积分计算曲线积分，在另外条件下用曲线积分计算二重积分.4 )几何应用.例 1计算 U(yx)dx + (3x + y)dy2 2L : (x-1) (y-4) =9卫=3兰,;:x,川斜(31)dxdy = 18t解：原式=-八 )yx = a cos t3计算星形线 =asint围成图形面积(0兰t兰2兀).一 .1 .1 2nA 石 iXdy _ydx = ? o3兀a2(a cos31 3asin21 cost asin2t 3a cos21 sin t)dt平面上曲线积分与路径无关的条件1)与

4、路无关：是 G为一开区域，P(x, y),Q(x, y)在g内具有一阶连续偏导数，若G内任意指定两点 A, B及G内从A到B的任意两条曲线L1丄2成立，则称LPdx Qdy在G内与路径无关. 否则与路径有关例 1.(x + y)dx + (x-y)dy ：从(1,1)到(2,3)的折线L2从(1,1)到(2,3)的直线x3 = (3)若LPdx Qdy在D内与路径无关当起点固定在(x0, y0 )点，终点为(x,y)(x,y)后，则x0,y0)Pdx + Qdy是 x, y 的函数，记为 u(x, y).(x,y)5(Pdx +Qdy 1 (2 _ y)dy + ( (1 + x)dx =_解

5、：L1= 2 2j2 3L2 : y=下证：u(x, y)= (x0,y0)Pdx Qdy 的全微分为 du(x, y) = Pdx Qdy + 2(x-2),即 y = 2 -1L (x y)dx (x - y)dyL2251(x 2x1)2(1x)dx 二定理：设P(x, y) , Q(x，y)在单连通区域 D内有连续的一阶偏导数，则以下四个条件相互等价(1)内任一闭曲线 C，cPdx Qdy = 0.(2) 对内任一曲线L， L Pdx Qdy与路径无关(3) 在D内存在某一函数 J(x, y)使d(x, y) =Pdx Qdy在d内成立.:P(4)；：y 汶，在d内处处成立c C代B，

6、及连接 代B的任意两条曲线 AEB，AGBr c C = AGB BGA为D内一闭曲线知 c Pdx Qdy,AGBPdx Qdy= .BEAPdx Qdy. P(x,y) , Q(x, y)连续，只需证-:u-：x=P(x, y).uQ(x, y)八yM(x,y)N(x也,y)由定义_：U u(x：x)u(x,y)lym二Mo(x>,y。)u(x >x,y)二(x ：xy)(xo,yo)Pdx Qdyu(x, y) += u(x, y) +XIX(X .x,y)(x,y)dxpPdx QdyAGBPdx Qdy+ BEAPdx Qdy = 0:u；uP(x, y)=Q(x,y)即

7、；x，同理：ycP cQ cP fQ(3) 二(4)若 du(x, y) = Pdx Qdy，往证 刃=.：x , P = :x , Q y2 2:卩：P:Q：Q: u u为：x：y , ；：x：y：x,由P,Q具有连续的一阶偏导数；X：y ：y：x_P卫故：y =:议(4) = (1)设C为D内任一闭曲线，D为C所围成的区域.-cPdx Qdy:疔Q 于()dxdyD欣创 =0解:x)dx (xex_2y)dy , L 为过(0,0) ,(0,1)和(1,2)点的圆弧.P =ey +x , Q = xey -2y，则令.：P yeyi与路径无关.取积分路径为OA AB. Pdx + Qdy

8、j Pdx + QdyI = OA+ AB卫=ey:x ,.xdy - ydx>2丄2例2. 计算C x y ,(1)(2)c为以(OQ)为心的任何圆周. c为以任何不含原点的闭曲线y(广i、1 Jx解:-：P(1)2-x/ 22(x y ),Qx y2-x1 2/ 2r2(x y ),：P :Qy2,:Q y.x在除去(0,0)处的所有点处有 斜=；x，做以0为圆心，rPdx Qdy为半径作足够小的圆使小圆含在C内， C G=0，即2：r cos x0c Pdx Qdy 二f = (1+x)dx+J0(ey -2y)dy=e2 ：2sjn日r2=2 二=0(2)v 刁=；：x、二元函数

9、的全微分求积C Pdx Qd厂 0Ay(x,y)(Xo,y°).c Pdx Qdy与路径无关，则Pdx Qdy为某一 函数的全微分为(x,y)xyPdx + Qdy J Pdx + Qdy J Pdx + Qdy(x0 ,y0)= ，x0+ 'y0u(x,y) =注：u(x, y)有无穷多个.验证：(2x sin y)dx xcosydy是某一函数的全微分，并求出一个原函数 解：令 P=2x+siny ， Q=xcosy(x, y)* i:Q；：P亠二 cosycosy；x, y原式在全平面上为某一函数的全微分，取(X。，y°) = (0,0),(x.0)例5.u(

10、x, y)二(x,y)(o,o)PdxQdy02xdx 0 xcosydy =/ xsin y计算c(y3e解：令P二-my)dy (3y2ex _ m)dy y3ex _my , Q 二 3y2ex.：P c 2 x3y e - m y:x添cc为从E到F再到G，FG是半圆弧£P加也=3y2exy,直线 GE , 则Ge pdx + Qdy= - J* mdxdy吨2已吧)2-m(1)431原式=(17)m例6.设f (x)在(3-0dx - m(1)i=42 1 y f (x,y)d -22y2f (x,y)dyL y，其中)上连续可导，求y为从点A(3, 3)到B(1,2)的直

11、线段.解；令1 y f(x,y)；:x许 g1 2-7y2f(x,y) -1 yx2yy3f (x, y) = y2f(x，y) x/fd)1y原式=2.:x故原积分与路径无关，添 AC CB构成闭路，.原式21 342y2f(y)-idy 3；1； f(；x)dx站293!2CBAC=31.证明：cf(x2+ BCAC2 1:2y1 3 22213 f(；x)dx 2f(y)2dy3 2 333y2一 132 122 f (u)du2 f (y)dy3y23f(u)为连续函数，而c为无重点的按段光滑的闭曲线，则2)(xdx ydy) =0确定的 n值，n x(xy ) dx_c y使在不经过直线y = °的区域上，2 2 2、X(X y )厂c yn-dy与路径无关，并求当C为从点(1,1)到X 2Q 2【y f (x, y) -1yP 2yf(x,y) xy2f (x,y)y-1-y2f(x,y) y2f(x,y) xy3f(x,y)-12 2yy=y3小结：w f 、fdx +