相似三角形经典题(含答案)

1、相似三角形经典习题例1 从下面这些三角形中,选出相似的三角形. 例2 已知:如图,ABCD 中,2:1:=EB AE ,求AEF 与CDF 的周长的比,如果2cm 6=AEF S ,求CDF S . 例3 如图,已知ABD ACE ,求证:ABC ADE . 例4 下列命题中哪些是正确的,哪些是错误的?(1所有的直角三角形都相似. (2所有的等腰三角形都相似.(3所有的等腰直角三角形都相似. (4所有的等边三角形都相似.例5 如图,D 点是ABC 的边AC 上的一点,过D 点画线段DE ,使点E 在ABC 的边上,并且点D 、点E 和ABC 的一个顶点组成的小三角形与ABC 相似.尽可能多地画

2、出满足条件的图形,并说明线段DE 的画法. 例6 如图,一人拿着一支刻有厘米分画的小尺,站在距电线杆约30米的地方,把手臂向前伸直,小尺竖直,看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆,已知手臂长约60厘米,求电线杆的高. 例7 如图,小明为了测量一高楼MN 的高,在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜,小明沿NA 后退到C 点,正好从镜中看到楼顶M 点,若5.1=AC m ,小明的眼睛离地面的高度为1.6m ,请你帮助小明计算一下楼房的高度(精确到0.1m . 例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形,说明理由. 例9 根据下列各组条件,判定ABC 和C B A '''是

3、否相似,并说明理由:(1,cm 4,cm 5.2,cm 5.3=CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A . (2='='=35,44,104,35A C B A .(3='=''=''=48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB .例10 如图,下列每个图形中,存不存在相似的三角形,如果存在,把它们用字母表示出来,并简要说明识别的根据. 例11 已知:如图,在ABC 中,BD A AC AB ,36,

4、=是角平分线,试利用三角形相似的关系说明AC DC AD =2. 例12 已知ABC 的三边长分别为5、12、13,与其相似的C B A '''的最大边长为26,求C B A '''的面积S .例13 在一次数学活动课上,老师让同学们到操场上测量旗杆的高度,然后回来交流各自的测量方法.小芳的测量方法是:拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处(如图,然后沿BC 方向走到D 处,这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上,又测得C 、D 两点的距离为3米,小芳的目高为1.5米,这样便可知道旗杆的高.你认为这种测量方法是否可行?请说明

5、理由. 例14.如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ,再在河的这一边选点B 和C ,使BC AB ,然后再选点E ,使BC EC ,确定BC 与AE 的交点为D ,测得120=BD 米,60=DC 米,50=EC 米,你能求出两岸之间AB 的大致距离吗? 例15.如图,为了求出海岛上的山峰AB 的高度,在D 和F 处树立标杆DC 和FE ,标杆的高都是3丈,相隔1000步(1步等于5尺,并且AB 、CD 和EF 在同一平面内,从标杆DC 退后123步的G 处,可看到山峰A 和标杆顶端C 在一直线上,从标杆FE 退后127步的H 处,可看到山峰A 和标杆顶端E 在一直线

6、上.求山峰的高度AB 及它和标杆CD 的水平距离BD 各是多少?(古代问题 例16 如图,已知ABC 的边AB =32,AC =2,BC 边上的高AD =3.(1求BC 的长;(2如果有一个正方形的边在AB 上,另外两个顶点分别在AC ,BC 上,求这个正方形的面积. 相似三角形经典习题答案例1. 解 、相似,、相似,、相似例2.解 ABCD 是平行四边形,CD AB CD AB =,/,AEF CDF ,又2:1:=EB AE ,3:1:=CD AE ,AEF 与CDF 的周长的比是1:3. 又cm (6,31(22=AEF CDFAEF S S S ,cm (542=CDF S . 例3

7、分析 由于ABD ACE ,则CAE BAD =,因此DAE BAC =,如果再进一步证明AECA ADBA =,则问题得证.证明 ABD ACE ,CAE BAD =.又DAC BAD BAC += ,CAE DAC DAE +=, DAE BAC =. ABD ACE ,AEAC ADAB =.在ABC 和ADE 中,AEAC ADAB ADE BAC =,ABC ADE 例4.分析 (1不正确,因为在直角三角形中,两个锐角的大小不确定,因此直角三角形的形状不同.(2也不正确,等腰三角形的顶角大小不确定,因此等腰三角形的形状也不同.(3正确.设有等腰直角三角形ABC 和C B A '

8、;'',其中='=90C C , 则='='=45,45B B A A ,设ABC 的三边为a 、b 、c ,C B A '''的边为c b a '''、, 则a c b a a c b a '=''='=2,2,a a c cb b a a '=''=',ABC C B A '''.(4也正确,如ABC 与C B A '''都是等边三角形,对应角相等,对应边都成比例,因此ABC C B A &#

9、39;''. 答:(1、(2不正确.(3、(4正确. 例5.解: 画法略.例6.分析 本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形,即60=DF 厘米6.0=米,12=GF 厘米12.0=米,30=CE 米,求BC .由于ADF ACAF EC DF AEC =,又ACF ABC ,BC GF EC DF =,从而可以求出BC 的长.解 EC DF EC AE /, ,EAC DAF AEC ADF =,ADF AEC .ACAF ECDF =.又EC BC EC GF ,ABC AGF ACB AFG BC GF =,/, AGF ABC ,BCGF ACAF =,BCGF

10、ECDF =.又60=DF 厘米6.0=米,12=GF 厘米12.0=米,30=EC 米,6=BC 米.即电线杆的高为6米. 例7.分析 根据物理学定律:光线的入射角等于反射角,这样,BCA 与MNA 的相似关系就明确了.解 因为MAN BAC AN MN CA BC =,所以BCA MNA .所以AC AN BC MN :=,即5.1:206.1:=MN .所以3.215.1206.1÷=MN (m . 说明 这是一个实际应用问题,方法看似简单,其实很巧妙,省却了使用仪器测量的麻烦.例8.分析 这两个图如果不是画在格点中,那是无法判断的.实际上格点无形中给图形增添了条件长度和角度.

11、解 在格点中BC AB EF DE ,所以=90B E , 又4,2,2,1=AB BC DE EF .所以21=BCEF ABDE .所以DEF ABC .说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件,勿使遗漏. 例9.解 (1因为7128cm4cm ,7117.5cm2.5cm ,7124.5cm3.5cm =''=''=''A C CAC B BCB A AB ,所以ABC C B A '''(2因为=-=41180B A C ,两个三角形中只有A A '=,另外两个角都不相等,所以ABC 与C B A

12、'''不相似;(3因为12,=''='''=C B BC B A AB B B ,所以ABC 相似于C B A '''.例10.解 (1ADE ABC 两角相等; (2ADE ACB 两角相等;(3CDE CAB 两角相等; (4EAB ECD 两边成比例夹角相等; (5ABD ACB 两边成比例夹角相等; (6ABD ACB 两边成比例夹角相等.例11.分析 有一个角是65°的等腰三角形,它的底角是72°,而BD 是底角的平分线,=36CBD ,则可推出ABC BCD ,进而由相似三角

13、形对应边成比例推出线段之间的比例关系.证明 AC AB A =,36 ,=72C ABC . 又BD 平分ABC ,=36CBD ABD .BC BD AD =,且ABC BCD ,BC CD AB BC :=,CD AB BC =2,CD AC AD =2. 说明 (1有两个角对应相等,那么这两个三角形相似,这是判断两个三角形相似最常用的方法,并且根据相等的角的位置,可以确定哪些边是对应边.(2要说明线段的乘积式cd ab =,或平方式bc a =2,一般都是证明比例式,bd ca =,或ca ab =,再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式.例12分析 由ABC 的三边长可以判断出ABC

14、为直角三角形,又因为ABC C B A ''',所以C B A '''也是直角三角形,那么由C B A '''的最大边长为26,可以求出相似比,从而求出C B A '''的两条直角边长,再求得C B A '''的面积.解 设ABC 的三边依次为,13,12,5=AB AC BC ,则222AC BC AB += ,=90C .又ABC C B A ''',='90C C .212613=''=''='&#

15、39;B A AB C A AC C B BC ,又12,5=AC BC ,24,10=''=''C A C B . 12010242121=''''=C B C A S .例13.分析 判断方法是否可行,应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高.按这种测量方法,过F 作AB FG 于G ,交CE 于H ,可知AGF EHF ,且GF 、HF 、EH 可求,这样可求得AG ,故旗杆AB 可求.解 这种测量方法可行.理由如下:设旗杆高x AB =.过F 作AB FG 于G ,交CE 于H (如图.所以AGF EHF .因

16、为3,30327,5.1=+=HF GF FD ,所以5.1,25.15.3-=-=x AG EH .初三（下）相似三角形 AG GF x - 1.5 30 = = 由 DAGF DEHF ，得 ，即 ，所以 x - 1.5 = 20 ，解得 x = 21 .5 （米） EH HF 2 3 所以旗杆的高为 21.5 米 说明 在具体测量时，方法要现实、切实可行 例 14. 解：Q ÐADB = ÐEDC, ÐABC = ÐECD = 90° ， AB BD BD ´ EC 120 ´ 50 = , AB = = = 100

17、（米） ，答：两岸间 AB 大致相距 100 米 EC CD CD 60 DG FH × AK , KE = × AK 例 15. 答案： AB = 1506 米， BD = 30750 步， （注意： KC = ） CD FE DABD DECD ， 例 16. 分析：要求 BC 的长，需画图来解，因 AB、AC 都大于高 AD，那么有两种情况存在，即点 D 在 BC 上或点 D 在 BC 的延长线上，所以求 BC 的长时要分两种情况讨论求正方形的面积，关键是求正方形的边长 解： （1）如上图，由 ADBC，由勾股定理得 BD3，DC1，所以 BCBDDC314 如下图，同理可求 BD3，DC1，所以 BCBDCD312 （2） 如下图， 由题目中的图知 BC4， AB2 + AC2 = (2 32 + 22 = 16 ，BC = 16 ， AB + AC = BC 且 所 2 2 2 2 以ABC 是直角三角形 由 AEGF 是正方形，设 GFx，则 FC2x， GFAB， GF FC