高数-D12习题课ppt课件

1、习题课习题课级数的收敛、求和与展开级数的收敛、求和与展开 第十二章 )(0 xunn 求和)(xS展开(在收敛域内进展)(0 xunn根本问题：判别敛散；根本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开.为傅立叶级数.xnbxnaxunnnsincos)(当为傅氏系数) 时,时为数项级数;0 xx 当nnnxaxu)(当时为幂级数;nnba ,(一、数项级数的审敛法一、数项级数的审敛法1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2. 正项级数审敛法必要条件0limnnu不满足发 散满足比值审敛法 limn1nunu根值审敛法nnnulim1收 敛发 散1不定 比较审敛法用它法判别积分审敛法部分和

2、极限13. 恣意项级数审敛法为收敛级数1nnuLeibniz审敛法审敛法: 假设假设,01nnuu且,0limnnu那么交错级数nnnu1) 1(收敛 ,概念概念:且余项.1nnur1nnu假设收敛 ,1nnu称绝对收敛1nnu假设发散 ,1nnu称条件收敛解答提示解答提示:P322 题2. 判别以下级数的敛散性:;1) 1 (1nnnn;2) !()2(122nnn;2cos)3(132nnnn;ln1)4(210nn. )0,0()5(1sanansn提示提示: (1) nnnnn11lim, 1据比较审敛法的极限方式, 原级数发散 .nnn1lim发散11nn12nnnnn10ln1li

3、m原级数发散 :2) !()2(122nnn:2cos)3(132nnnn:ln1)4(210nn故原级数收敛21nn发散,收敛,22) 1(2 ! ) 1(limnnn222) !(nn,22cos032nnnnnn1nnn10lnlimxxx10lnlimxxx9ln10lim28910limxx用洛必达法那么nnnn2lim21, 原级数发散 : )0,0()5(1sanansn时收敛 ;时, 为 p 级数时收敛;1s时发散.1s1a时发散.1a1asnsnnanan) 1(1limsnnna1limaP323 题3. 设正项级数1nnu和1nnv12)(nnnvu也收敛 .法法1 由题

4、设由题设,0limlimnnnnvu,)(1收敛nnnvu )(limnnnvu 0根据比较审敛法的极限方式知结论正确.都收敛, 证明级数nnnnnvuvu2)(lim法法2 因因 ,0limlimnnnnvu故存在 N 0,当n N 时,0)(limnnnvu)(nnvu 2)(nnvu , 1)(0nnvu从而 再利用比较法可得结论P323 题4. 设级数1nnu收敛 , 且,1limnnnuv1nnv能否也收敛？阐明理由.但对恣意项级数却不一定收敛 .,) 1(nunn问级数提示提示: 对正项级数对正项级数,由比较判别法可知由比较判别法可知1nnv级数1nnu收敛 ,1nnvnnnuvl

5、im收敛,级数发散 .nnn) 1(lim11例如, 取nnvnn1) 1(;1ln) 1()3(1nnnnP323 题5.讨论以下级数的绝对收敛性与条件收敛性:;1) 1() 1(1npnn;sin) 1()2(1111nnnn.! ) 1() 1()4(11nnnnn提示提示: (1) p 1 时, 绝对收敛 ;0 p1 时, 条件收敛 ;p0 时, 发散 .(2)故原级数绝对收敛.nnn11lim,1sin) 1(1111nnnn,111收敛nn, 1111ln) 1()3(nnnn)11(ln1lnnnnun因单调递减, 且但对nnn1ln1nkkk1ln)1ln()1ln( n)(n

6、所以原级数仅条件收敛 .kkSnkn1ln1由Leibniz审敛法知级数收敛 ;0limnnu11! ) 1() 1()4(nnnnn因nnuu12)2(! )2(nnn1)111 (12nnnn1! ) 1(nnnn1e1所以原级数绝对收敛 .二、求幂级数收敛域的方法二、求幂级数收敛域的方法 规范方式幂级数: 先求收敛半径 R : 再讨论Rx 非规范方式幂级数经过换元转化为规范方式直接用比值法或根值法处的敛散性 .P323 题7. 求以下级数的敛散域:;)11 ()2(12nnnxn.2)4(21nnnxn练习练习:,lim1nnnaaRnnnaR lim1或 1 解解:nnnnnna)11

7、 (limlim当e1x因此级数在端点发散 ,e)11 (1nnnnuenn)11 ( nn)11 ( )(0e1n. )e1,e1(e时,12)11 ()2(nnnxn,e1Re1e1x故时原级数收敛 .故收敛域为nnnxn212)4()()(lim1xuxunnn解解: 因因) 1(2121nnxn22xnnxn22,122x当时，即22x,2时当x故收敛域为. )2,2(级数收敛;普通项nun不趋于0,nlim级数发散; 求部分和式极限三、幂级数和函数的求法三、幂级数和函数的求法 求和 映射变换法 逐项求导或求积分nnnxa0)(*xS对和函数求积或求导)(xS难直接求和: 直接变换,间

8、接求和: 转化成幂级数求和, 再代值求部分和等 初等变换法: 分解、套用公式在收敛区间内 数项级数 求和nnnxa0练习练习:.) 1()4(1nnnnx;212) 1()1(21nnnxn解解: (1) )(21121nnnx原式) 120(2x 1221nnxx222211xxx22xx222)2(2xx显然 x = 0 时上式也正确,. )2,2(x故和函数为而在2xx0,)2(2)(222xxxSP323 题8. 求以下幂级数的和函数：级数发散,(4)nnxnn1111原式xnntt011dxnnttx01d1ttxd110tttxxd110)1ln(x)1(ln11xx)1(ln)1

9、1(1xx) 10( xttnnxd110ttxnnxd110 x01) 1(nnnnx, )1(ln)11(1xx显然 x = 0 时, 级数收敛于0, 根据和函数的延续性 , 有)(xS110, )1(ln)11(1xxxx及0 0 x，1 1x，10 xx = 1 时,级数也收敛 . 即得)1(ln)11(1lim0 xxx0)1(lnlim10 xxx又 00! )12() 1(! )2() 1(21nnnnnn练习练习:0! ) 12(1) 1(nnnn解解: 原式原式=0! )12() 1(nnn1cos21的和 .1) 12(n211sinP323 题9(2). 求级数注注: 此

10、题也可利用例此题也可利用例3间接求和间接求和.四、函数的幂级数和傅式级数展开法四、函数的幂级数和傅式级数展开法 直接展开法 间接展开法练习练习:1) 将函数将函数2)2(1x展开成 x 的幂级数. 利用知展式的函数及幂级数性质 利用泰勒公式解解:xx21)2(1221121x0221nnnx,22111nnnxn)2,2(x1. 函数的幂级数展开法函数的幂级数展开法2) 设设)(xf0,arctan12xxxx0,1x, 将 f (x)展开成x 的幂级数 ,1241) 1(nnn的和. ( 2019考研 )解解:211x,) 1(02nnnx)1 , 1(xxarctanxxx02d11,12

11、) 1(012nnnxn1 , 1x)(xf1212) 1(1nnnxn02212) 1(nnnxn于是并求级数02212) 1(nnnxn12112) 1(nnnxn)(xf1212) 1(1nnnxn1212) 1(1nnnxn12121121) 1(1nnnxnn,41) 1(21122nnnxn1 , 1x1241) 1(nnn 1) 1 (21f2142. 函数的傅式级数展开法函数的傅式级数展开法系数公式及计算技巧; 收敛定理; 延拓方法练习练习: xyO),上的表达式为 ),0,e)0,0)(xxxfx将其展为傅氏级数 .na1xnxxdcose021)cossin(e1nnxnxnx0),2, 1,0(11) 1(e12nnnP323 题11. 设 f (x)是周期为2的函数, 它在解答提示解答提示xnxbxndsine1021)cos(sine1nnxnnxx0),2, 1(1) 1(12nnenn21e)(xf11n)sin(cosnxnnx 211)