等差数列选择题专项训练知识点及练习题含答案

1、一、等差数列选择题1.在等差数列 an中，a5 a20i6 4, S,是数列 an的前n项和，则 及侬=（）A. 2019B. 4040解析：B【分析】由等差数列的性质可得 35 32016a1 a2020 2020 1010 2【详解】等差数列 an中，a5 a2016 a1C. 2020D. 4038a1a20204 ,则a5a2016可得答案.a20204_a1a2020 _S20201幽2020 1010a5a20164 1010 40402故选：B2 .九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.其意思为已知甲、乙、丙、丁、戊五人

2、分 5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？ ”（钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，戊所得为（）A. 5钱B.-钱C. 2钱D. 5钱4333解析：C【分析】根据甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a 2d, a d,a, a d , a 2d,然后再由五人钱之和为 5,甲、乙的钱与与丙、 丁、戊的钱相同求解.【详解】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a 2d , a d , a, a d , a 2d ,则根据题意有(a 2d) (a d)(a 2d) (a d)a (a d) (a 2d)

3、 5 a (a d) (a 2d)a 1解得 1，d62所以戊所得为a 2d3故选：c3 .已知数列 an是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列，其前n项和为Sn.若n p,q,m,n N,则下列判断正确的是（）A.2papB.apaqaman1111C.ap解析：D【分析】aqamanD.SmSn利用等差数列的求和公式可判断A选项的正误；利用作差法结合等差数列的通项公式可判断B选项的正误；利用 apaqaman结合不等式的基本性质可判断 C选项的正误；利用等差数列的求和公式结合不等式的基本性质可判断【详解】D选项的正误.对于A选项,由于S2P对于B选项,由于2p a1 a2p2p apP

4、q n ,贝uap2 Pap，故选项A错误;ap aqamanamm danq nam anamanaman qaman d对于对于pq由于d22 .2n d0,故选项B错误;c选项,由于apaqD选项，设mnappqaqa p aqam ana p aqam anam an故选项C错误;mn x n m2 c2q 2 pq mq 1 mn m故Sp pSqq a122q P qd2Sp Sqpa1qa10,从而pq2pqa1mn22m n m n ,_dSmSn.2pq p q 2a1d pq p 1 q 1 d2mna1mn m n 22mna12mn m n 2a1dmnd2a1dmn

5、m 1 n 12d SmSn,1由此Sp故选：D.1SqSpSqSpSqSmSmSa1 da1%因为1a4a22al2d2d2所以S5 5al5-d21010,【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列中不等式关系的判断，在解题过程中充分利用基本量来表 示an、Sn ,并结合作差法、不等式的基本性质来进行判断4.已知数列an中，an an 1 2(n 2),且a1 1 ,则这个数列的第10项为()A. 18B. 19C. 20D. 21解析：B【分析】由已知判断出数列 an是以1为首项，以2为公差的等差数列，求出通项公式后即可求得a10.【详解】.an an 12 n 2 ,且 a11,数列an是以

6、1为首项，以2为公差的等差数列，通项公式为an 1 2 n 1 2n 1 ,胡 2 10 1 19, 故选：B.5.等差数列an的前n项和为Sn,且aa32 ,a4a22 ,则S5()A. 21B. 15C. 10D. 6解析：C【分析】根据已知条件得到关于首项 a1和公差d的方程组，求解出a1，d的值，再根据等差数列前 n 项和的计算公式求解出 S5的值.【详解】01故选：C.4 ,贝 U S5()D. 30解析：B【分析】设出数列 an的公差，利用等差数列的通项公式及已知条件，得到a1 2d 4 ,然后代入求和公式即可求解【详解】6.设等差数列A. 15an的前n项和为Sn ,且2a7a1

7、1B. 20C. 25设等差数列 an的公差为d ,则由已知可得2 a16da1 10d312d 4所以S5 5al3d25 a12d 5 4 20故选：B7.在数列 an中，ai29an 1an3 na2a20()A. 10B.145C. 300解析：CD.320由等差数列的性质可得an3n32,结合分组求和法即可得解。因为a129, aman所以数列an是以29为首项，公差为3的等差数列,所以ana n1 d 3n 32所以当n10时,11时,所以a1a2a1 a10102故选：C.a20a1a2a10ana12a20a11a20 102292 10128 .八102300.466-485

8、年间.其数量相同.已知第一日织布 4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（4A. 一7解析：D16B.一298C.一15【分析】设该妇子织布每天增加d尺，由等差数列的前n项和公式即可求出结果【详解】设该妇子织布每天增加d尺,由题意知S20 20 420 19d 2322，解得d -5故该女子织布每天增加4尺.58 .张丘建算经是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元中记载着这么一道 女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的故选：D9 .周碑算经有一题这样叙述：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减

9、等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，则后五个节气日影长之和为（ ）（注：一丈 =十尺，一尺 二十寸）A. 一丈七尺五寸B. 一丈八尺五寸C.二丈一尺五寸D.二丈二尺五寸解析：D【分析】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为an , Sn是其前n项和，已知条件为S9 85.5, ai a4 a? 31.5,由等差数列性质即得 as, 34,由此可解得d ,再由等差数列性质求得后5项和.【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为an , Sn是其前n项和，9 ai a。则S9 9a5 85.5 （尺），所以a5 9.5尺尺），由题知2a ada7

10、3a4 31.5 （尺）所以a4 10.5（尺），所以公差da5a41,则 a8 a9 a10ana12 5a105a55d22.5（尺）.故选：D.10 .已知等差数列an的前n项和为Sn, a3 a15 a6 7,则S23（）A. 121B. 161C. 141D. 151解析：B【分析】由条件可得a12 7 ,然后S23 23a12 ,算出即可.【详解】因为 出a15a67 ,所以a15a6a37,所以a153d 7,所以a153d 7,即a127所以 S2323a12161故选：B11 .已知等差数列an的前n项和为Sn,且a1 10,S5S6,下列四个命题： 公差d的最大值为 2 ；

11、S7 0 ;记Sn的最大值为 M ,则M的最大值为30；a2019 a2020 .其真命题的个数是（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个解析：B【分析】设公差为d ,利用等差数列的前 n项和公式，S5 S6,得d 2,由前n项和公式，得S7 28,同时可得Sn的最大值，d 2, n 5或n 6时取得，结合递减数列判断D.设公差为d ,由已知a110, S5得 5 10 10d6 10 15d ,所以 d2, A正确;所以S77 10 21d70 2 21 28, B 错误;a1 (n 1)d 10 (n 1)d101 , an 1 da1 nd 10 nd 0,解得n 彳，1010/.所

12、以一n一1,当ddd当n 5时，有最大值，此时 M当n 6时，有最大值，此时 M2 时，5 n 6,5 10 10 ( 2) 30 ,6 10 15 ( 2) 30, C 正确.又该数列为递减数列，所以a2019a2020 , D正确.故选：B.关键点点睛：本题考查等差数列的前n项和，掌握等差数列的前 n和公式与性质是解题关键.等差数列前n项和Sn的最大值除可利用二次函数性质求解外还可由anan 10求得.012 .数列an为等差数列，a1 1, a3 4,则通项公式是（）_3_3131A. 3n 2B. n 2C. - n D. - n -22222解析：C【分析】根据题中条件，求出等差数列

13、的公差，进而可得其通项公式【详解】因为数列 an为等差数列，a11 , a3则公差为d -a3a13因此通项公式为2an 12，n 13一 n故选：C.13.设数列an的前n2项和Sn2n2 1A. 65B. 16解析：C4,1.2则a8的值为().C. 15D. 14利用an Sn Sn 1 n 2得出数列 an的通项公差，然后求解 a8.【详解】 22.由 Sn n1 得，阚 2, Sn 1n 11,所以 an Sn Sn 1 n2 n 1 2 2n 1 ,2,n 1所以 an，故 注 2 8 1 15.n 2n 1,n 2故选：c.【点睛】本题考查数列的通项公式求解，较简单，利用an S

14、n Sn 1n 2求解即可.14.已知各项不为0的等差数列 an满足a6 a72 a8 0 ,数列bn是等比数列，且b? a7,则 b3b8b10（）A. 1B. 8C. 4D. 2解析：B【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，求出 a7 2 ,再由等比数列的性质，即可求出结果 【详解】因为各项不为0的等差数列 an满足a6 a72 a8 0 ,2所以2a7 a7 0 ,解得a7 2或a7 0 （舍）；又数列bn是等比数列，且b7 a7 2, 所以 b3b8bI。 b3b7b11>38.故选：B.15.题目文件丢失！二、等差数列多选题16.已知数列an是等差数列，前n项和为Sn,且2a

15、1 2a3 S5,下列结论中正确的是（）A. S7 最小B, §3 0C. S4 s9D. a7 0解析：BCD【分析】由an是等差数列及2al 2a3S5,求出a1与d的关系，结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断【详解】设等差数列数列an的公差为d .由 2a1 2a3S5,有2a1 2 a1 2d5a15 4,八，d，即 ai 6d所以a70,则选项D正确.一一.7 6选项A. 5 7ai d 7 ai 3d 21d ,无法判断其是否有最小值，故A错误.2a 3iq选项 B. Si3 -1一- 13 13a7 0,故 B正确.2选项 C. SS4-9-8-7-6-55-7

16、0 ,所以 S4S9,故 C 正确.故选：BCD【点睛】2-1 2-3 S5,得至U-1 6d 属于中档题.17.已知数列 -n满足：-1关键点睛：本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，解答本题的关键是由条件。，即-7 0,然后由等差数列的性质和前 n项和公式判断 22,当n 2时，-n -n 1 2 12,则关于数列-n的说法正确的是（）A. -27B .数列-n为递增数列2C. -n n 2n 1D.数列-n为周期数列解析：ABC【分析】 2 由-nJ-n 1 2 12 ,变形得到J-n 2 7-n 1 2 1 ,再利用等差数列的定义求得-n ,然后逐项判断.【详解】.,2当 n 2

17、 时，由-n 7-n 1 2 12, 2得-n2J-n 1 2 1 ,即 JO2，-n 1 2 1 ,又-1 2 ,所以7-n 2是以2为首项，以1为公差的等差数列,所以 2 2 (n 1) 1 n 1,2即-n n 2n 1 ,故C正确;所以-27 ,故A正确；2-nn 12,所以-n为递增数列，故正确;数列-n不具有周期性，故 D错误;故选：ABQ8.题目文件丢失!19.设等比数列 an的公比为q,其前n项和为Sn ,前n项积为Tn,并且满足条件a$ 1-ai 1 a6a7 1, 0,则下列结论正确的是（）a7 1A. 0 q 1B. a6a8 1C. Sn的最大值为S7D. Tn的最大值

18、为T6解析：AD【分析】分类讨论a6,a7大于1的情况，得出符合题意的一项.【详解】a6 1a6 1,a7 1,与题设：0矛盾.a7 1a6 1,a7 1,符合题意.a6 1 人a6 1,a7 1,与题设0 0矛盾.a7 1a6 1,a7 1,与题设a1 1矛盾.得a6 1,a7 1,0 q 1 ,则Tn的最大值为丁6.B, C,错误.故选：AD.【点睛】考查等比数列的性质及概念.补充：等比数列的通项公式：an a1qn 1 n N* .20.等差数列 an是递增数列，公差为 d ,前n项和为Sn ,满足a7 3a5,下列选项正 确的是（）A. d 0C.当n 5时Sn最小解析：BD【分析】由

19、题意可知d 0,由已知条件a7B. a10D. Sn 0时n的最小值为83a5可得出a13d ,可判断出AB选项的正误，求CD选项的正误.出Sn关于d的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出 【详解】由于等差数列 an是递增数列,0, A选项错误;3a5,则 a1 6d3 a14da13d 0B选项正确;n n 1 dna122n 7n d3nd49-d ，4当n 3或4时，Sn最小，C选项错误;令Sn 0,可得n2 7n 0，解得n 0或n 7.n N ,所以，满足 Sn 0时n的最小值为8, D选项正确.故选：BD.21.已知正项数列an的前n项和为Sn,若对于任意的 m,

20、n N ,都有am naman,则下列结论正确的是（）A. aiai2a8a5B. a5a6440C.若该数列的前三项依次为x , 1 x, 3x,贝U a1010yS 一 D,数列为递减的等差数列 n解析：AC【分析】令m 1,则an1ana1，根据a10,可判定a正确；由a5a6&a1020d20 ,可判定B错误；根据等差数列的性质，可判定可判定D错误.【详解】C 正确；n n a1 ,根据0,n 222令 m 1,则 an 1 an a1，因为 a1 0, 确；由 a5a6 a1al0 a； 9a1d 20d2 a2错误；根据等差数列的性质，可得 2 1 x-1 八 110故aw

21、 - 9 -可，故C正确； 333n n 1由 Snna12d ddn - na1nn22所以an为等差数列且公差d 0 ,故A正29a1d20d0 ,所以 a5a6 a1a10,故 B-12x 3x,所以 x - , 1 x 一，33，因为q 0,所以Sn是递增的等差数 2n列，故D错误.故选：AC【点睛】an是递增数列、递减数列或是常数解决数列的单调性问题的三种方法;1、作差比较法：根据an 1 an的符号，判断数列列;an 1 .an2、作商比较法：根据（an 0或an 0）与1的大小关系，进仃判7E；3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断22 .无穷等差数列 an的前n项和为若a

22、i>0, d<0,则下列结论正确的是()A.数列an单调递减B.数列an有最大值C.数列Sn单调递减D.数列Sn有最大值解析：ABD【分析】由ani an d 0可判断AB,再由ai>0, d<0,可知等差数列数列 an先正后负，可 判断CD.【详解】根据等差数列定义可得 an i an d 0,所以数列 an单调递减，A正确；由数列an单调递减，可知数列 an有最大值ai,故B正确；由ai>0, d<0,可知等差数列数列an先正后负，所以数列Sn先增再减，有最大值，C不正确，D正确.故选：ABD.23 .已知等差数列 an的前n项和为Sn n N ，公差d

23、 0 , 0 90 , a7是a3与ag 的等比中项，则下列选项正确的是()a. d 2b. a120C.当且仅当n 10时，Sn取最大值D.当Sn 0时，n的最小值为22解析：AD【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断 A, B;由二次函数 的配方法，结合n为正整数，可判断 C;由Sn 0解不等式可判断D.【详解】等差数列 an的前n项和为Sn ,公差d 0 ,由S6 90 ,可得6a1 15d 90 ,即2a1 5d 30,22由a?是a3与ag的等比中项，得a? a3ag,即a1 6da1 2d a1 8d ，化为ai 10d0,由解得 a1 20, d

24、2,则 an 20 2(n 1) 22 2n ,Sn ；n(20 22 2n) 21n n2 ,2由S n 21441,可得n 10或11时，Sn取得最大值110;n242由Sn21n n 0,解得n 21 ,则n的最小值为22.故选：AD【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比中项的性质，二次函数的最值求法, 考查方程思想和运算能力，属于中档题.24.设等差数列an的前n项和为Sn,公差为d .已知a312, S120, a70 则A.a60B.数列是递增数列C.n的最小值为13D.数列anSnan中最小项为第7项解析：ACD【分析】由已知得S1212 a1 +现212 a6+a720 ,所以a6>0 ,可判断A;由已知得出2412+ n 31,6 时，an>0 , n 7时,an°,又an-,可得出12+ n 3 d1一在 anne 1,6 n e N 上单调递增,7,+s nN 上单调递增，可判断B;SI313 a1 +a13213 2a7 13a7 0,2可判断C；判断an, Sn的符号,an的单调性可判断D;【详解】由已知得a3 a1+2d12,a1 12SI212 a1 +a1212 a6 +a72a7°,所以a6>0 ,故A正确;a7a6a1+6d 12+4d 0现+5d 12+3d>0a6