三章矩阵和向量的应用ppt课件

1、第三章 矩阵和向量的应用向量空间向量空间一、向量空间及其子空间1.定义：设定义：设V是是n维向量的非空集合，如果维向量的非空集合，如果V对于向量加法对于向量加法 及数乘两种运算封闭，即：及数乘两种运算封闭，即：VkVRkV,则称集合V为n维向量空间,简称为向量空间。例如：RaaaaaaR32, 132, 13,),(RaaaaaaRnnn,),(2, 12, 1RaaaaVnn,),0(22,1RkkkkkkVmmm,2122112RaaaaVnn,),1(22,3),(21mL2.子空间：子空间：W、V 为为 向量空间，若向量空间，若W V，那么，那么 称称 W 是是V 的子空间。的子空间。

2、RaaaaVnn,),0(22,12V),(21mL如都是 的子空间。nR1V),(21mL2V),(21sL例：212121,VVsm等价，则与若只需证明2121VVVV且向量空间的基与维数向量空间的基与维数定义：定义：满足rVn,21中的向量组维向量空间若线性无关；ri,)(21中向量均可由Vii)(线性表示。r,21的一个基。为则称Vr,21基中所含向量个数 r 称为向量空间的维数。；的维数为nRn；的维数为1,),0(22,1nRaaaaVnn).,(,),(2121212mmmrLV的秩的维数为的极大无关组。m,21；基为neee,21；基为nee,2基为若向量空间的基为r,21),

3、(21rLV向量在基下的坐标向量在基下的坐标rrkkk2211定义：设定义：设r,21是向量空间V 的基，且,V下的坐标。，r21rkkk，则称系数21在基为注：注：1.向量在一组确定的基下的坐标是惟一的。（为什么？）向量在一组确定的基下的坐标是惟一的。（为什么？）2.向量空间的基不惟一,因而,向量在不同基下的坐标也不一样。你能推导出向量在不同基下的坐标变换式吗？详见参考书第59页。3.向量在一组基下的坐标如何求？一般有两种求法：待定系数法与矩阵方程法。线性方程组线性方程组一、齐次线性方程组一、齐次线性方程组000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxax

4、axaxa称为齐次线性方程组。mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211系系数数矩矩阵阵nxxxX21OAX 方程组的方程组的矩阵形式矩阵形式齐次线性方程组解的性质齐次线性方程组解的性质TO)0 , 0 , 0(000显然是方程组的解；称为零解。若非零向量Tnnaaaaaa),(2121是方程组的解，则称为非零解，也称为非零解向量。性质1：齐次方程组的两个解的和仍是方程组的解。即：也是解向量。是解向量，则2121,性质2：也是解向量。是解向量，则kOAV令则V 构成一个向量空间。称为方程组的解空间。若齐次线性方程组的解空间存在一组基,21s则方程组的全部解就是,2211sskkk

5、这称为方程组的通解。由此可见，要求方程组的全部解，只需求出其基。定义：若齐次方程组的有限个解,21s满足：线性无关；si,)(21方程组的任一解都可由)(ii线性表示；s,21则称础解系。是齐次方程组的一个基s,21sskkk2211 也就是说，我们将解空间的基称为基础解系，此时，通解就是基础解系的线性组合，即为：齐次线性方程组基础解系的求法齐次线性方程组基础解系的求法1.行最简形矩阵：行最简形矩阵：mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211设 r(A) =r n ,且不妨设A 中最左上角的 r 阶子式不为零。则经有限次行初等变换，矩阵 A 化为：0000000000100010

6、001)(1)(221)( 111rnrrrnrnnmbbbbbbI显然：IA 同解。与OIXOAX行最简形OIX 为：000)(11)(21212)(1111nrnrrrrnrnrnrnrrxbxbxxbxbxxbxbx)()()()(11)(21212)(1111nrnrrrrnrnrnrnrrxbxbxxbxbxxbxbxrxxx,21真未知量nrrxxx,21自由未知量rxxx,21nrrxxx,21由自由未知量惟一确定:,21基为个向量，最简单的一组其基含有构成一向量空间，）（rnxxxVnrrrneee,21rxxx21Trnbbbxxx0 , 0 , 1,12111211,121

7、11rbbb,22212rbbb)()(2)( 1rnrrnrnbbbTrnrrnrnnrnbbbxxx1 , 0 , 0,)()(2)( 121,00121nrrxxx,010100线性无关；rni,)(21线性表示。任一解都可由rnii,)(21就是一组基础解系。是解空间的一组基，也rn,21从推导过程可以看出：基础解系不惟一，但所含向量个数相等，都等于 n - r(A).综上有：。数为础解系所含解向量的个则它有基础解系，且基，的秩组的系数矩阵定理：若齐次线性方程rnnrArA)(必须牢记：基础解系所含向量的个数为必须牢记：基础解系所含向量的个数为 未知数个数减系数矩阵的秩。未知数个数减系

8、数矩阵的秩。 推论1：对齐次线性方程组，有 假设 r(A)=n 则方程组有惟一零解; 假设 r(A)=rn ，则方程组有无数多解，其通解为rnrnkkk2211系。是解空间的一组基础解rn,21例1：求方程组的通解07403202321321321xxxxxxxxx解：174132121A310310121122rr000310121000310501000310501323135xxxx同解方程组为 , 13x3521xx基础解系为T) 1 , 3 , 5(通解为Tkk) 1 , 3 , 5(例2：求方程组的通解032030432143214321xxxxxxxxxxxx3211311111

9、11A210042001111000021001111000021001011同解方程组为,0142xx,0131xxT)0 , 0 , 1 , 1 (1T) 1 , 2 , 0 , 1 (2基础解系为：2211kk通解为1x3x42xx 42x1021Ex:nBrArOABnBA)()(,证明阶方阵且为设,OAB 证：),(, 2, 1nB设niOAi, 2 , 1,则的解向量，都是OAXn,2, 1)(),(, 2, 1ArnrnnBrAr)()(推论2：n 元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系 数行列式为零。二、非齐次线性方程组二、非齐次线性方程组mnmnmmnnnnbxaxaxab

10、xaxaxabxaxaxa22112222212111212111mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211nxxxX21mbbbB21系数矩阵系数矩阵BAX OAX 方程组的方程组的矩阵形式矩阵形式非齐次非齐次方程组的方程组的导出组导出组（1）非齐次线性方程组的有解判定非齐次线性方程组的有解判定mbbb21121111maaa222122maaamnnnnaaa21nnxxx2211引进向量方程组的向量方程方程组的向量方程方程组1有解线性表示可由n,21)()(),(21ArArAn.) 1 (),(21的增广矩阵称为方程组nA非齐次线性方程组的解法非齐次线性方程组的解法1.非

11、齐次线性方程组解的性质性质1：非齐次方程组1的两个解的差是它的导出组的解。BABA21,OA)(21性质2：非齐次方程组1的一个解与其导出组的一个解的和是 非齐次方程组1的解。OABA,BA)(2.非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的通解特解，是非齐次方程组的一个设rnrnkkk2211出组的基础解系，是其导rn,21则非齐次方程组1的通解为定理：定理：).(,21Arrkkkrn为任意常数，推论：推论：）有惟一解；时，方程组（ 1)()()(nArAri）有无穷多解，其时，方程组（ 1)()()(nArArii通解为rnrnkkk2211）无解。时，方程组（ 1)()()(ArAriii

12、27403212321321321xxxxxxxxx例1：求解方程组201174132121A221310310121021000310121023000310501023000310501有解)()(ArAr23353231xxxx同解方程组为k , 03x2321xxT)0 , 2 , 3(特解为 , 13x3521xx所以 基础解系为T) 1 , 3 , 5(通解为323135xxxx例2：求方程组的通解2/132130432143214321xxxxxxxxxxxx2/110321131111111A2/11021004200111102/1000002100111102/12/100

13、0021001011同解方程组为2/122/143421xxxxx042 xx2/131xxT)0, 2/1, 0, 2/1 (特解为有解)()(ArAr10,0142xx21,0131xx434212xxxxxT)0 , 0 , 1 , 1 (1T) 1 , 2 , 0 , 1 (2基础解系为：2211kk通解为非齐次方程组的求解步骤非齐次方程组的求解步骤;)()(. 1断是否有解以判与化为梯形阵；从而求出，并将写出ArArAA同解方程组；自由未知量，并写出未知量与化为行最简形，确定真在有解时，进一步将A. 2通解。写出，以求出基础解系；并；再给自由未知量取值解而求出特求出真未知量的值，从先

14、令自由未知量为零，. 3如何确定？如何确定？ 注意什么？注意什么？含参数的方程组含参数的方程组在求解方程组之前，要先确定参数值。这是准则。而参数值的确定，要依据有解的条件即：)()(ArAr一般而言，有两种方法确定参数值。 一种是行列式法，另一种是初等变换法。求其解。无穷多解？并在有解时无解？有惟一解？为何值时，方程组例1554212. 1321321321xxxxxaxxaxxa解：5541112aaA5541112aaA251045410aaa452aa54, 10aaA时，方程组有惟一解。且541aa补充补充时，方程组为1a1554212321321321xxxxxxxxx不再是含参数的

15、方程组了。时，方程组为54a15542541542321321321xxxxxxxxx不再是含参数的方程组了。有解？为何值时，方程组例43214321432132130. 2xxxxxxxxxxxx10321131111111A102100420011112/12/10000021001111，方程组有解。时，)()(21ArAr问题：此题能用行列式法求解吗？问题：此题能用行列式法求解吗？不能！不能！两个关于方程组的问题：两个关于方程组的问题：的通解。，求），（，），（是它的三个特解，且，的秩为的系数矩阵设四元非齐次方程组BAXABAXTT432154323. 1321321由题设，基础解系只

16、含一个解向量，可取为，），（），（TTT)6 , 5 , 4 , 3(432154322)(221.1k通解为（详见参考书第82页。）.), 3 , 1 (,)3 , 2 , 1 , 1 (,)4 , 1 , 2 , 1 (,)5 , 0 , 3 , 1 (. 2321TTTTba设线性表示？表示式为？，能用取何值时）（321,1ba线性表示？，不能用取何值时）（321,2ba332211xxx设AXxxx321321),(321321,345210123111),(xxxXA是否有解的问题。组线性表示转化为方程，能用取何值时AXba321,（详见参考书第82页。）向量组的正交性向量组的正交性

17、一、向量的内积：1.定义1：设有向量),(2, 1naaa),(2, 1nbbb）。，的内积，记为（与称为向量nnbababa2211），（nnbababa2211Ti），（)()(，（），（ii）（，）（kkkiii,)(,)(）（，）（,)(,)(iv），（)(v222221naaa2.向量的单位化111为单位向量。1二、向量的夹角：自学。三、向量的正交性：1.定义2.正交。与则称向量），若（, 02.定义3.即满足两两正交，维非零向量个如果mnm,21)( , 0jiji），（简称为正交组。为正交向量组,21m).1 , 0 , 0(,),0 , 1 , 0(),0 , 0 , 1 (2

18、1neee为正交向量组。也称为单位正交组或标准正交组。3.正交向量组的性质正交向量组的性质线性无关。则为正交向量组设mm,2121定理定理:回忆:如何证明一组向量线性无关?则称向量组证:Okkkmm2211设0),(),(2211Okkkimmi0),(),(),(2211mimiikkk则为正交向量组,21m)( , 0jiji），（0),(iiik00),(,iiiikO即由于( i =1,2,m )为线性无关向量组。m,21问题问题:线性无关的向量组是否为正交组线性无关的向量组是否为正交组?不是不是 !) 1 , 0 , 0(),1 , 0 , 1 (21反例：四、向量组的正交规范化：为线性无关向量组，令公式：设m,211111222），（），（11222231111333），（），（），（），（111122221111mmmmmmmmm），（），（），（），（），（），（等价；与mmi,)(2121为正交组。mii,)(21正交向量组。为单位化，即得到单位再将m,21五、正交矩阵：1.定义4：阶正交矩阵。为，则称满足阶方阵若nAEAAAnT2.性质：. 1)( AnAi阶正交矩阵为若也是正交矩阵。与阶正交矩阵为若1)(AAnAiiT也是正交矩阵。与阶正交矩阵为若BAABnBAiii,)(3.正交矩阵的