大一下学期高等数学期中考试试卷及答案

1、大一第二学期高等数学期中考试试卷一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。1、已知球面的一条直径的两个端点为(2，-3，5和(4，1，-3，则该球面的方程为_2、 函数u =ln(x 在点A (1,0,1处沿点A 指向点B (3,-2, 2 方向的方向导数为3、曲面z =x 2+y 2与平面2x +4y -z =0平行的切平面方程为 4、(x , y (0,0lim (1-cos(x 2+y 2sin xy (x +y e2222x 2+y 2= 2z 5、设二元函数z =xy +x y ，则=_ x y 3二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，

2、每道小题3分）。以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。1、旋转曲面x 2-y 2-z 2=1是（ ）x z （A ）O 坐标面上的双曲线绕Ox 轴旋转而成；（B ）xOy 坐标面上的双曲线绕Oz 轴旋转而成；（C ）xOy 坐标面上的椭圆绕Oz 轴旋转而成；x z （D ）O 坐标面上的椭圆绕Ox 轴旋转而成2、微分方程y ''+y =2x cos x +3x 2的一个特解应具有形式（ ） 其中a 1, b 1, a 2, b 2, d 1, d 2, d 3都是待定常数.(A.x (a 1x +b 1 cos x +x (a 2x

3、 +b 2 sin x +d 1x ;(B.x (a 1x +b 1 cos x +x (a 2x +b 2 sin x +d 1x(C.x (a 1x +b 1(a 2cos x +b 2sin x +d 1x222+d 2x +d 3; 2+d 2x +d 3; (D.x (a 1x +b 1(cosx +sin x +d 1x +d 2x +d 33、已知直线L :x -22=y +1z 与平面:x +2y - z =4, 则 （ ） =2-2(A.L 在内; (B.L 与不相交;(C.L 与正交; (D.L 与斜交.4、下列说法正确的是（ ）(A 两向量a 与b 平行的充要条件是存在唯

4、一的实数，使得b =a ；2z 2z (B 二元函数z =f (x , y 的两个二阶偏导数2, 2在区域D 内连续，则在该区x y域内两个二阶混合偏导必相等；(C 二元函数z =f (x , y 的两个偏导数在点(x 0, y 0处连续是函数在该点可微的充分条件；(D 二元函数z =f (x , y 的两个偏导数在点(x 0, y 0处连续是函数在该点可微 的必要条件.2z 5、设z =f (2x +y , x -2y , 且f C （即函数具有连续的二阶连续偏导数），则=x y 2（ ）(A2f 11-2f 22-3f 12; (B2f 11+f 22+3f 12;(C2f 11+f 22

5、+5f 12; (D2f 11-2f 22-f 12.三、计算题（本大题共29分）1、（本题13分）计算下列微分方程的通解。(1（6分）y '=1+x +y +xy22(2（7分）y ''-3y '+2y =xe 2x2、（本题8分）设z =uv 2+t cos u ，u =e t ，v =ln t ，求全导数dz 。 dt3、（本题8分）求函数f (x , y =e 2x x +y 2+2y 的极值。(四、应用题（本题8分）1、某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为x 台和y 台，成本函数为c (x , ，若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何y =x 2+

6、2y 2-xy （万元）安排生产使其总成本最少？最小成本为多少？五、综合题（本大题共21分）y z x z +=1-=11、（本题10分）已知直线l 1：b c ，l 2：a c ，求过l 1且平行于l 2的x =0y =0平面方程2、（本题11分）设函数f (x , y , z =ln x +ln y +3ln z 在球面x 2+y 2+z 25=R (2x >0, y >0上求一点, z >0 ，使函数f (x , y , z 取到最大值六、证明题（本题共12分）1、设函数u =x k F z , x y ，其中k 是常数，函数F 具有连续的一阶偏导数试x y x 证明:

7、xu u u z +y +z =kx k F , x y z x第二学期高等数学期中考试试卷答案一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）1. 、 (x -3+(y +1+(z -1=21 2222、1 23、2x +4y -z -5=04、5、2y +3x ； 2二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分） 1（A ）2（B ）3（C ）4（C ）5（A ）三、计算题（本大题共29分）1、（1）解：将原微分方程进行分离变量，得：d y =(1+x d x 21+y上式两端积分得 ò 即 ： dy x2 = arctan y = ( 1 + x d x

8、= x + +c ò 2 1+ y2 x2 + c 其中 c 为任意常数 2 arctany = x + （2）解：题设方程对应的齐次方程的特征方程为 r 2 - 3r + 2 = 0, 特征根为 r1 = 1, r2 = 2, 于是，该齐次方程的通解为 Y = C1x + C2e2 x , 因 l = 2 是特征方程的单 根 ， 故 可 设 题 设 方 程 的 特 解 ： y* = x(b0 x + b1 e2 x . 代 入 题 设 方 程 , 得 2b0 x + b1 + 2b0 = x, 比较等式两端同次幂的系数,得 b0 = 1 , b1 = -1, 2 于是，求得题没方程

9、的一个特解 y* = x( x - 1e 2 x . 从而，所求题设方程的通解为 y = C1e x + C2e2 x + x( x - 1e2 x . 1 2 1 2 2、解： ¶z ¶ = uv 2 + t cos u = v 2 - t sin u ， ¶u ¶u ¶z ¶ ¶z = uv 2 + t cos u = 2uv ， = cos u ¶v ¶v ¶t ( ) ( ) 依复合函数求导法则，全导数为 dz ¶z du ¶z dv ¶z dt = 

10、15; + × + × dt ¶u dt ¶v dt ¶t dt 1 = v2 - t s i n u e t + 2uv × + c o s u ×1 t 2 = ln 2 t - t sin e t e t + e t ln t + c o s et t ( ) ( ) 2x 2 ì ï f x ( x, y ) = e 2 x + 2 y + 4 y + 1 = 0 æ1 ö 3 、解：解方程组 í ，得驻点 ç ,-1÷ 。由于 2x è

11、2 ø ï î f y ( x, y ) = e (2 y + 2) = 0 ( ) A = f xx (x, y ) = 4e 2 x x + y 2 + 2 y + 1 ，B = f xy (xy) = 4e 2 x ( y + 1)，C = f yy (x, y ) = 2e 2 x æ1 ö æ1 ö A = 2e > 0 ， B = 0， C = 2e ， AC - B 2 = 4e 2 ， 在点 ç ,-1÷ 处， 所以函数在点 ç ,-1÷ è2 

12、8; è2 ø e æ1 ö 处取得极小值，极小值为 f ç ,-1÷ = - 。 2 è2 ø ( ) 四、应用题（本题 8 分） 1、解：即求成本函数 c(x, y ) 在条件 x + y = 8 下的最小值 构造辅助函数 解方程组 F (x, y ) = x 2 + 2 y 2 - xy + l ( x + y - 8 ì Fx¢ = 2 x - y + l = 0 ï í Fy¢ = - x + 4 y + l = 0 ï F¢ = x

13、+ y -8 = 0 î l 解得 l = -7, x = 5, y = 3 这唯一的一组解，即为所求，当这两种型号的机床分别生产 5 台和 3 台时，总 成本最小，最小成本为： c(5, 3 = 52 + 2 ´ 32 - 5 ´ 3 = 28 （万） 五、综合题（本大题共 21 分） 1、解：直线 l1 与 l 2 的方向向量分别为 r ì 1 1ü 1 1ü ì s1 = í0， ， ý ´ 1， 0， 0 = í0， ， - ý ， b cþ c b

14、4; î î r ì1 1ü 1ü ì1 s2 = í ， 0， - ý ´ 0， 1， 0 = í ， 0， ý ， cþ aþ îa îc r r r ì1 1 1ü 作 n = s1 ´ s2 = í ， - ， - 2 ý ， bc c þ î ca r ì1 1 1ü ， 0， c) ，则过点 P1 且以 n = í ， - ， - 2

15、ý 为法向 取直线 l1 上的一点 P 1 (0 bc c þ î ca x y z 量的平面 - - + 1 = 0 ， a b c 就是过 l1 且平行于 l 2 的平面方程 2、解：设球面上点为 ( x, y, z 令 L( x, y, z, l = ln x + ln y + 3ln z + l( x2 + y 2 + z 2 - 5R2 ， Lx = 1 1 1 + 2l x = 0, Ly = + 2l y = 0, Lz = + 2l z = 0, Ll = x 2 + y 2 + z 2 - 5R 2 = 0 x y 3z z2 ， 代入最后式子得

16、 x = y = R, z = 3R 由题意得 3 由前三个式子得 x 2 = y 2 = f ( x, y, z 在球面上的最大值一定存在，因此唯一的稳定点 ( R, R, 3R 就是最大 值点，最大值为 f ( R, R, 3R = ln(3 3R5 六、证明题（本题共 12 分）1、证明： ¶u æz = kx k -1 F ç , ¶x èx æz = kx k -1 F ç , èx yö æz k ÷ + x F1¢ç , xø èx

17、 y öæ z ö æz k ÷ç - 2 ÷ + x F2¢ç , x øè x ø èx yö æz k -2 ÷ - yx F2¢ç , xø èx yö ÷ xø yö ÷ xø y öæ y ö ÷ç - ÷ x øè x 2 ø y

18、46; æz k -2 ÷ - zx F1¢ç , xø èx ¶u æz = x k F2¢ç , ¶y èx yö 1 æz k -1 ÷ × = x F2¢ç , xø x èx ¶u æz = x k F1¢ç , ¶z èx yö 1 æz k -1 ÷ × = x F1¢ç , xø x èx yö ÷ xø 所以， x ¶u ¶u ¶u +y +z ¶x ¶y ¶z é æz = x × êkx k -1 F ç , èx ë yö æz k -2 ÷ - zx F1¢ç , xø èx yö æz k