曲线与方程知识点导学

1、曲线与方程知识点导学江苏省 韩文美在高中数学中，教师应当向学生渗透、强化并要求其掌握的主要的数学思想有：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想及运动变换思想等。不是所有的章节和内容都能把这些相关的数学思想自然地溶到教学过程中去，而由于“曲线与方程”这一节在高中数学教材中的特殊地位，它把高中数学中的解析几何和代数这两个单科知识紧紧地联系在一起，为此能把以上数学思想溶纳进去大半，这不能不引起我们教学和学习的高度重视。几何，原始的展现是形；解析几何，主要体现用数学研究形。为此，这一节教材中的“数形结合”应是所涉及到数学思想中最主要的一个，尽管侧重于用“数”研究“形”，同时对学生要求

2、用“形”来研究“数”，解决某些代数问题起到了有益的启迪。由于曲线C中有很多的代数中函数的图象，曲线C是点按某种规律运动而成的，所以在这一节的教学中应对函数与方程思想、运动变换思想也加以足够的重视。由此，“曲线与方程”这一节的重要性可想而知，下面就三个方面加以分析。一、点、坐标、曲线与方程的关系坐标系建立以后，平面上的点M与实数对建立了一一对应关系，点的运动形成了曲线C；与之对应的实数对的变化，就形成了方程。即这样，在曲线与方程之间就形成了某种对应关系。这种对应关系表现为：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线

3、叫做方程的曲线（图形）。曲线与方程建立了上述严格的对应关系后，两者就成为同一关系的两种不同表达形式。曲线的性质完全地反映在它的方程上；方程的性质又反映在它的曲线上。所以，我们就可以通过方程来研究曲线，也可以利用曲线来研究方程，这就是解析几何处理问题的基本思想数与形的统一。二、求曲线方程的五个基本步骤（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线C上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件的点M的集合；（3）用坐标表示条件，列出方程；（4）化方程为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线C上的点。以上五个步骤简记为：“设点、列式、代换、化简、证明”。求曲线方程时，一般（2）、（5）可以

4、省略。但要注意化简前后方程的解集的统一性。三、探求曲线的方程的注意点1、求曲线的方程要注意的问题（1）适当建立坐标系。坐标系建立得适当，可使运算过程简单，所得的方程也比较简单，否则会大大增加运算的繁杂与难度。在实际解题过程中，应充分利用图形的几何特性。如中心对称图形，可利用它的对称中心作为坐标原点；轴对称图形，可以利用它的对称轴为坐标轴；条件中若有直角，可考虑将直角的两直角边作为坐标轴等。（2）条件列出方程。根据曲线上的点所满足的条件列出方程是最重要的一环。应认真分析题设条件，综合利用平面几何的知识，列出几何等式，再利用解析几何的一些相关概念、公式、性质、定理等将几何等式坐标化，便得曲线的方程

5、，还要将所得方程化简，使求得的方程是最简单的形式。（3）证明。还应证明上面所求得的方程就是曲线的方程。课本上说“一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）（即证明）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明”。不能由此得“不需要证明”的印象，而仅仅是在同解变形的前提下，不要求证明。若化简过程不是方程的同解变形，就必须注意在变形过程中是产生了增根还是减根，并在所得的方程中加以删除或补充，此时也可不必写出证明过程。2、在求解曲线的方程时经常会出现的问题是产生多解或是漏解的错误，在实际求解过程中要注意：（1）注意动点所满足的某些隐含条件；（2）注意方程变形的同解性；（3）注意图形可能的不同位

6、置或字母系数可能取不同值时的讨论等。3、求曲线的方程与求轨迹是有不同要求和区别的。若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，在何处等，即图形的形状、位置、大小都要加以说明、讨论等。四、实例分析以下举几个实例加以分析，有别于课本给出的其他例题。例1、下列哪组方程表示相同的曲线（ ）A与 B与C与 D与分析：（A）和（D）中都是因为的取值范围不同，（B）中因为两个表达式不同，所以只有（C）是相同的，即所表示的曲线也相同。所以选（C）。例2、方程表示的曲线是（ ）A一条直线和一双曲线 B两条直线 C两个点 D以上答案都不对分析：由方程可得：解得：或，即表示的曲线是两个点，即选（C）。例3、设曲线C的方程为，直线的方程为，点P的坐标为，那么（ ）A点P在曲线C上，但不在直线上B点P不在曲线C上，但在直线上C点P既在曲线C上，又在直线上D点P既不在曲线C上，又不在直线上分析：把点P的坐标为代入曲线C得：，代入直线得：，所以点P不在曲线C上，但在直线上，即选（B）。例4、两曲线与交于两点，此两点间的距离是（ ）A小于 B等于 C等于2 D大于2分析：联立可得：或那么此两点间的距离为：，即选（B）。例5、设ABC的周长是