第章 多元微积分ppt课件

1、第第1212章章 多元函数微积分多元函数微积分 第一节第一节 多元函数的极限及连续性多元函数的极限及连续性 第二节第二节 偏导数偏导数 第三节第三节 全微分全微分第四节第四节 多元复合函数微分法及偏导数多元复合函数微分法及偏导数 的几何应用的几何应用第五节第五节 多元函数的极值多元函数的极值第一节第一节 多元函数的极限及连续性多元函数的极限及连续性一、多元函数一、多元函数二、二元函数的极限与连续性二、二元函数的极限与连续性 1.实例分析实例分析 例例 1 1 设设矩矩形形的的边边长长分分别别 x和和 y，则则矩矩形形的的面面积积 S为为 xyS . 在在此此，当当 x和和 y每每取取定定一一组

2、组值值时时，就就有有一一确确定定的的面面积积值值S即即S依依赖赖于于 x和和 y的的变变化化而而变变化化 例例 2 2 具具有有一一定定质质量量的的理理想想气气体体，其其体体积积为为 V，压压强强为为 P，热热力力学学温温度度 T 之之间间具具有有下下面面依依赖赖关关系系VRTP （R是是常常数数）. 在在这这一一问问题题中中有有三三个个变变量量 P，V，T，当当 V 和和 T 每每取取定定为为一一组组值值时时，按按照照上上面面的的关关系系，就就有有一一确确定定的的压压强强 P 第一节第一节 多元函数的极限及连续性多元函数的极限及连续性一、多元函数一、多元函数 二元函数的定义二元函数的定义 定

3、义定义 1 1 (二元函数二元函数) 设有三个变量设有三个变量 , x y和和 , z如果如果当变量当变量 , x y在它们的变化范围在它们的变化范围 D中任意取定一对值时，中任意取定一对值时，变量变量 z 按照一定的对应规律都有惟一确定的值与它们按照一定的对应规律都有惟一确定的值与它们对应，则称对应，则称 z为变量为变量 , x y的二元函数，记为的二元函数，记为),(yxfz ，其中其中 x与与 y称为自变量，函数称为自变量，函数 z也叫因变量自变量也叫因变量自变量 x与与 y的变化范围的变化范围 D称为函数称为函数 z的定义域的定义域 区域的概念：由一条或几条光滑曲线所围成的具有连区域的

4、概念：由一条或几条光滑曲线所围成的具有连通性通性(如果一块部分平面内任意两点均可用完全属于此部如果一块部分平面内任意两点均可用完全属于此部分平面的折线连结起来， 这样的部分平面称为具有连通性分平面的折线连结起来， 这样的部分平面称为具有连通性)的部分平面，这样的部分平面称为区域围成区域的曲线的部分平面，这样的部分平面称为区域围成区域的曲线称为区域的边界，边界上的点称为边界点，包括边界在内称为区域的边界，边界上的点称为边界点，包括边界在内的区域称为闭域，不包括边界在内的区域称为开域的区域称为闭域，不包括边界在内的区域称为开域 如如果果一一个个区区域域D内内任任意意两两点点之之间间的的距距离离都都

5、不不超超过过某某一一常常数数M，则则称称D为为有有界界区区域域，否否则则称称 D为为无无界界区区域域 常常见见区区域域有有矩矩形形域域：dycbxa, 圆圆域域:).0()()(22020yyxx 圆圆域域22020)()( | ),(yyxxyx一一般般称称为为平平面面上上点点),(000yxP的的 邻邻域域， 而而称称不不包包含含点点 0P的的邻邻域域为为无无心心邻邻域域 二元函数的定义域通常是由平面上一条或几条光滑二元函数的定义域通常是由平面上一条或几条光滑曲线所围成平面区域曲线所围成平面区域 .二元函数定义域的求法与一元函二元函数定义域的求法与一元函数类似，就是找使函数有意义的自变量的

6、范围，其定义数类似，就是找使函数有意义的自变量的范围，其定义域的图形一般由平面曲线围成域的图形一般由平面曲线围成 例例 4 4 求求二二元元函函数数222yxaz的的定定义义域域 解解 由根式函数的定义容易知道，该函数的定义域由根式函数的定义容易知道，该函数的定义域为满足为满足222ayx的的, yx即定义域为即定义域为 222| ),(ayxyxD. 这里这里D在在xOy面上表示一个以原点为圆心，面上表示一个以原点为圆心，a 为半为半径的圆域它为有界闭区域（如下图所示）径的圆域它为有界闭区域（如下图所示）. O 2 2 2 a y x y x a a 例例 5 5 求求二二元元函函数数)ln

7、(yxz的的定定义义域域 解解 自变量自变量yx,所取的值必须满足不等式所取的值必须满足不等式0 yx, 即定义域为即定义域为 0| ),(yxyxD. 点集点集D在在xOy面上表示一个在直线上方的半平面面上表示一个在直线上方的半平面(不不包含边界包含边界0 yx)，如下图所示，此时如下图所示，此时 D 为无界开区域为无界开区域 O y x 例例 6 6 求求二二元元函函数数1)9ln(2222yxyxz的的定定义义域域 解解 这这个个函函数数是是由由)9ln(22yx 和和122 yx两两部部分分构构成成，所所以以要要使使函函数数 z有有意意义义，yx,必必须须同同时时满满足足 , 01,

8、092222yxyx 即即9122yx,函函数数定定义义域域为为 .91 | ),(22yxyxD点点集集 D 在在xOy平平面面上上表表示示以以原原点点为为圆圆 心心，半半径径为为 3 的的圆圆与与以以原原点点为为 圆圆心心的的单单位位圆圆所所围围成成的的圆圆环环 域域(包包含含边边界界曲曲线线内内圆圆122 yx， 但但不不包包含含边边界界曲曲线线外外圆圆922 yx) (如如右右图图所所示示) x O 1 3 y 2.二元函数的几何表示二元函数的几何表示 把自变量把自变量yx,及因变量及因变量 z 当作空间点的直角坐标， 先在当作空间点的直角坐标， 先在xOy平面内作出函数平面内作出函数

9、),(yxfz 的定义域的定义域 D (如下图如下图)，再，再过过 D 域中的任一点域中的任一点),(yxM作垂直于作垂直于xOy平面的有向线段平面的有向线段MP， 使， 使P点的竖坐标为与点的竖坐标为与),(yx对应的函数值对应的函数值 z 当当 M 点在点在D中变动时， 对应的中变动时， 对应的 P点的轨迹就是函数点的轨迹就是函数),(yxfz 的几何的几何图形，它通常是一张曲面，而其定义域图形，它通常是一张曲面，而其定义域 D就是此曲面在就是此曲面在 xOy平面上的投影平面上的投影 y x z O X Y M D P 例例 7 7 作作二二元元函函数数yxz1的的图图形形 解解 二二元元

10、函函数数yxz1的的图图形形是是空空间间一一平平面面，其其图图形形如如下下图图所所示示 x y z O z=1-x-y 例例 8 8 作作二二元元函函数数22yxz的的图图形形 解解 此此函函数数的的定定义义域域为为xOy面面上上任任意意点点且且 0z，即即曲曲面面上上的的点点都都在在xOy面面上上方方其其图图形形为为旋旋转转抛抛物物面面，如如下下图图所所示示 z 2 2 y x z x y O 例例 9 9 作二元函数作二元函数222yxRz)0(R的图形的图形 解解 此此二二元元函函数数的的定定义义域域为为222Ryx，即即 xOy坐坐标标面面上上的的以以O为为圆圆心心，R为为半半径径的的

11、圆圆，且且Rz 0其其图图形形为为上上半半圆圆周周，如如下下图图所所示示 y x z R R R O 1. 二元函数的极限二元函数的极限 定义定义 2 2 设二元函数设二元函数),(yxfz ， 如果当点如果当点 ),(yx以任以任意方式趋向点意方式趋向点),(00yx时，时，),(yxf总趋向于一个确定的常数总趋向于一个确定的常数A，那么就称，那么就称A是二元函数是二元函数),(yxf当当 ),(yx ),(00yx时的时的极限，记为极限，记为 Ayxfyxyx),(lim),(),(00或或Ayxfyyxx),(lim00. 同同一一元元函函数数的的极极限限一一样样， 二二元元函函数数的的

12、极极限限也也有有类类似似的的四四则则运运算算法法则则 二、二元函数的极限与连续性二、二元函数的极限与连续性2 2. . 二二元元函函数数的的连连续续性性 定义定义 3 3 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(000yxP的某邻域内的某邻域内有定义，如果有定义，如果 ),(),(lim0000yxfyxfyyxx 则称二元函数则称二元函数),(yxfz 在点在点),(000yxP处连续如果处连续如果),(yxf在区域在区域 D 内的每一点都连续内的每一点都连续,则称则称),(yxf在区域在区域 D上连续上连续 若若令令yyyxxx00,，则则式式 ),(),(lim0000yxfyxfyy

13、xx, 可可写写成成0),(),(lim000000yxfyyxxfyx. 即即 0lim00zyx. 这这里里z为为函函数数),(yxf在在点点),(00yx处处的的全全增增量量，即即 ),(),(0000yxfyyxxfz. 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点0P),(00yx处不连续， 则称点处不连续， 则称点0P),(00yx为函数为函数),(yxf的不连续点或间断点的不连续点或间断点 同同一一元元函函数数一一样样， 二二元元连连续续函函数数的的和和、 差差、 积积、 商商(分分母母不不等等于于零零)及及复复合合函函数数仍仍是是连连续续函函数数 由由此此还还可可得得“多多元元初初

14、等等函函数数在在其其定定义义域域内内连连续续” 思思考考题题 1. 将将二二元元函函数数与与一一元元函函数数的的极极限限、连连续续概概念念相相比比较较，说说明明二二者者之之间间的的区区别别 2. 若二元函数若二元函数),(yxfz 在区域在区域 D内分别对内分别对yx,都连续，试问都连续，试问),(yxfz 在区域在区域 D上是否必定连续上是否必定连续? 第二节第二节 偏导数偏导数 一、一、 偏导数偏导数 二、二、 高阶偏导数高阶偏导数引例引例 一定量的理想气体的压强一定量的理想气体的压强 P，体积，体积 V，热力学，热力学温度温度 T 三者之间的关系为三者之间的关系为 VRTP ( (R 为

15、常量为常量) ). . 当温度不变时（等温过程） ，压强当温度不变时（等温过程） ，压强 P 关于体积关于体积 V 的变的变变变化率就是化率就是 2ddVRTVPT常数常数, , 这种形式的变化率称为二元函数的偏导数这种形式的变化率称为二元函数的偏导数 第二节第二节 偏导数偏导数 一、一、 偏导数偏导数1 1. .偏偏导导数数的的定定义义 定义定义 设函数设函数 ),(yxfz 在点在点),(00yx的某一邻域内有的某一邻域内有 定义，当定义，当 y固定在固定在 0y而而 x在在 0 x处有改变量处有改变量 x时相应地函数时相应地函数有改变量有改变量),(),(0000yxfyxxf如果极限如

16、果极限 xyxfyxxfx),(),(lim00000 存在，则称此极限为函数存在，则称此极限为函数),(yxfz 在点在点),(00yx处对处对 x 的偏的偏 导数，记为导数，记为 ),(,00000000yxfzxfxzxyyxxxyyxxyyxx或或. . 类似地，当类似地，当 x固定在固定在 0 x，而，而 y在在 0y处有改变量处有改变量 y，如果极限如果极限yyxfyyxfy),(),(lim00000存在，则称此极限为函存在，则称此极限为函数数),(yxfz 在点（在点（x0，y0）处对）处对 y的偏导数，记为的偏导数，记为 ),(,00000000yxfzyfyzyyyxxyy

17、yxxyyxx或或. . 如如果果函函数数),(yxfz 在在区区域域 D内内每每一一点点 ),(yx处处对对 x的的偏偏导导数数都都存存在在，且且这这个个偏偏导导数数仍仍是是 , x y的的函函数数，称称),(,yxfzxfxzxx或或为为函函数数),(yxfz 对对自自变变量量 x的的偏偏导导数数. . 类类似似地地，可可以以定定义义函函数数),(yxfz 对对自自变变量量 y的的偏偏导导数数，记记为为 ),(,yxfzyfyzyy或或. . 偏偏导导数数的的求求法法： 从从偏偏导导数数的的定定义义可可以以看看到到，偏偏导导数数的的实实质质就就是是把把一一个个自自变变量量固固定定， 而而将

18、将二二元元函函数数),(yxfz 看看成成是是另另一一个个自自变变量量的的一一元元函函数数的的导导数数因因此此，求求二二元元函函数数的的偏偏导导数数, ,只只须须用用一一元元函函数数的的微微分分法法， 把把一一个个自自变变量量暂暂时时视视为为常常量量，而而对对另另一一个个自自变变量量进进行行一一元元函函数数求求导导即即可可 例例 1 1 求求yxzsin2的的偏偏导导数数 解解 把把 y看看作作常常量量对对 x求求导导数数, ,得得yxxzsin2 把把 x看看作作常常量量对对 y求求导导数数，得得yxyzcos2 例例 2 2 求求yzxzxzy,的的偏偏导导数数 解解 对对 x求求导导时时

19、，把把 y看看作作常常量量对对 x求求导导，得得1yyxxz. . 对对 y求求导导时时，把把 x看看作作常常量量对对 y求求导导，得得xxyzyln 例例 3 3 求求)1ln(22yxz在点在点(1(1，2)2)处的偏导数处的偏导数 解解 偏导数偏导数 2212yxxxz，2212yxyyz, , 在在(1(1，2)2)处的偏导数就是偏导数在处的偏导数就是偏导数在(1(1，2)2)处的值，处的值，所以所以 31)2, 1(xz，.32)2, 1(yz 例例 4 4 设设),(yxf= =)ln(e22arctanyxxy，求求)0 , 1 (xf 解解 如如果果先先求求偏偏导导数数),(y

20、xfx，运运算算是是比比较较繁繁杂杂的的，但但是是若若先先把把函函数数中中的的 y固固定定在在0y，则则有有 xxfln2)0 ,(，从从而而 )0 ,(xfx= = x2，)0 , 1 (xf2 例例 5 5 求求22yxuzxy的的偏偏导导数数 解解 把把 y和和 z暂时看作常量对暂时看作常量对 x求导，得求导，得xu=22yxxzy 把 把 z 和和 x 暂时看作常量对暂时看作常量对 y求导， 得求导， 得yu22yxyzx 把 把 x 和和 y暂时看作常量对暂时看作常量对 z 求导， 得求导， 得zu2zxy 例例 6 6 设设理理想想气气体体状状态态方方程程为为RRTPV(为为常常数

21、数)，证证明明:VPTVPT1. 证证 因因为为PVRT，所所以以VP2VRT 又又 VPRT，所所以以TVPR 同同样样由由 TRPV，所所以以PTRV 因因此此, VPTVPT )(2VRTPRRV1PVRT 2 2偏偏导导数数的的几几何何意意义义 从从偏偏导导数数的的定定义义可可知知，二二元元函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx处处 对对 x 的的 偏偏 导导 数数xf),(00yx， 就就 是是 一一 元元 函函 数数),(0yxfz 在在 0 x处处 的的 导导 数数 xdd),(0yxf0 xx 设设 0M),(,(0000yxfyx为为曲曲面面),(yxfz 上上的的一

22、一点点，过过 0M作作平平 面面 0yy， 这这 个个 平平 面面 在在 曲曲 面面 上上 截截 得得 一一 曲曲 线线0),(yyyxfz 由由 一一 元元 函函 数数 的的 导导 数数 的的 几几 何何 意意 义义 可可 知知0d),(d0 xxxyxf. .即即),(00yxfx就就是是这这条条曲曲线线 xC在在点点 0M处处的的切切线线0MxT对对 x 轴轴的的斜斜率率，即即 00(,)tanxfxy. 同同理理，),(00yxfy是是曲曲面面),(yxfz 与与平平面面0 xx 的的交交线线yC在在点点0M处处的的切切线线0MyT对对 y 轴轴的的斜斜率率，即即 tan),(00yx

23、fy. . x y z 0 M x C y T x T y C 0 x 0 y O 图形如下所示图形如下所示:对于二元函数对于二元函数),(yxfz 的两个偏导数的两个偏导数 xz，yz，一般说来，它们仍然是自变量一般说来，它们仍然是自变量 , x y的函数如果的函数如果 xz，yz的偏导数存在，可以继续对的偏导数存在，可以继续对 x或或 y求偏导数，则称求偏导数，则称这两个偏导数的偏导数为函数这两个偏导数的偏导数为函数),(yxfz 的二阶偏数 这的二阶偏数 这 样的二阶偏导数共有四个，分别表示为样的二阶偏导数共有四个，分别表示为 ),()(22yxfxzxzxxx, , ),()(2yxf

24、yxzxzyxy, , ),()(2yxfxyzyzxyx, , ),()(22yxfyzyzyyy. . 二、二、 高阶偏导数高阶偏导数其其中中第第二二、第第三三两两个个偏偏导导数数称称为为混混合合偏偏导导数数它它们们求求偏偏导导数数的的先先后后次次序序不不同同，前前者者是是先先对对 x后后对对 y求求导导，后后者者是是先先对对y后后对对x求求导导类类似似地地可可以以定定义义三三阶阶、四四阶阶、n阶阶偏偏导导数数二二阶阶及及二二阶阶以以上上的的偏偏导导数数都都称称为为高高阶阶偏偏导导数数 例例 8 8 设函数设函数,3323yxyxz求它的二阶偏导数求它的二阶偏导数 解解 函数的一阶偏导数为

25、函数的一阶偏导数为 3263xyyxxz，2239yxxyz, , 二阶偏导数为二阶偏导数为 22xz)(xzx )63(32xyyxx366yxy, , yxz2)(xzy )63(32xyyxy= =22183xyx , , xyz2)(yzx )9(223yxxx= =22183xyx , , 22yz)(yzy )9(223yxxy218xy. . 从从上上例例看看到到，3333yxyxz的的两两个个二二阶阶偏偏导导数数是是相相等等的的，但但这这个个结结论论并并不不是是对对任任意意可可求求二二阶阶偏偏导导数数的的二二元元函函数数都都成成立立，不不过过当当两两个个二二阶阶混混合合偏偏导导

26、数数满满足足如如下下条条件件时时，结结论论就就成成立立 定定理理 若若),(yxfz 的的两两个个二二阶阶混混合合偏偏导导数数在在点点),(yx连连续续，则则在在该该点点有有 yxz2xyz2. . 对对于于三三元元以以上上函函数数也也可可以以类类似似地地定定义义高高阶阶偏偏导导数数，而而且且在在偏偏导导数数连连续续时时， 混混合合偏偏导导数数也也与与求求偏偏导导的的次次序序无无关关 例例 9 9 证明证明),(txTbxtabsine2满足热传导方程满足热传导方程22xTatT，其中，其中 a为正常数，为正常数， b为任意常数为任意常数 证明证明 因为因为 tTbxabtabsine22,

27、, xTbxbtabcose2, , 22xTbxbtabsine22, , 所以所以 22xTabxabtabsine22tT. . 思思 考考 题题 1 1. . 与与一一元元函函数数比比较较，说说明明二二元元函函数数连连续续、偏偏导导之之间间的的关关系系 2 2. . 若若22yxz，试试求求xz11yx, ,且且说说明明其其几几何何意意义义 第三节第三节 全微分全微分 一、全微分的定义一、全微分的定义 二、全微分在近似计算中的应用二、全微分在近似计算中的应用一一元元函函数数的的微微分分概概念念回回顾顾 如 果 一 元 函 数如 果 一 元 函 数)(xfy 在 点在 点 x处 的 改

28、变 量处 的 改 变 量)()(xfxxfy， 可以表示为关于， 可以表示为关于 x的线性函数与的线性函数与一个比一个比x的高阶无穷小之和，即的高阶无穷小之和，即 )()(xfxxfyA)( xox. . 其中其中 A 与与 x无关， 仅与无关， 仅与 x有关，有关，)( xo 是当是当 x0时比时比x高阶的无穷小，则称一元函数高阶的无穷小，则称一元函数)(xfy 在在 x可可微，并称微，并称 xA是是)(xfy 在点在点 x处的微分，记为处的微分，记为ydxA，且有若且有若)(xf可导则可导则 )(xfA 第三节第三节 全微分全微分 一、全微分的定义一、全微分的定义定定义义 设有二元函数设有

29、二元函数),(yxfz ，如果在点，如果在点 ),(yx处，函数的全增量处，函数的全增量),(),(yxfyyxxfz可以表可以表示为关于示为关于x，y的线性函数与一个比的线性函数与一个比22)()(yx高阶的无穷小之和，即高阶的无穷小之和，即 )(),(),(oyBxAyxfyyxxfz. . 其中，其中，BA,与与x，y无关，只与无关，只与yx,有关，有关，)(o是是当当0时比时比高阶的无穷小， 则称二元函数高阶的无穷小， 则称二元函数),(yxfz 在点在点),(yx处可微，并称处可微，并称yBxA是是),(yxfz 在点在点 ),(yx处的全微分，记作处的全微分，记作 yBxAzd.

30、. 定定理理 1 1 若若),(yxfz 在在点点),(yx处处可可微微， 则则它它在在该该点点一一定定连连续续 证证 因因为为),(yxfz 在在点点),(yx处处可可微微，即即 )(),(),(oyBxAyxfyyxxfz, , 所所以以当当0 x，0y时时，有有0z，即即),(yxfz 在在该该点点连连续续 定 理定 理 2 2 若若),(yxfz 在 点在 点),(yx处 可 微 ， 则处 可 微 ， 则),(yxfz 在点在点),(yx处的两个偏导数存在， 且处的两个偏导数存在， 且 A xz，Byz 证证 因为因为),(yxfz 在点在点),(yx处可微，有处可微，有 ),(),(

31、yxfyyxxfz )(oyBxA, 若若令令上上式式中中的的y0，则则 )(),(),(xoxAyxfyxxfz, , 所所以以xyxfyxxfx),(),(lim0 AxxoxAx)(lim0, , 即即xzA，类类似似地地可可证证Byz 一一般般地地，记记xxd，yyd，则则函函数数),(yxfz 的的全全微微分分可可写写成成 yyzxxzzddd. . 定定理理 3 3 ( (可可微微的的充充分分条条件件) ) 若若),(yxfz 在在点点),(yx处处的的两两个个偏偏导导数数连连续续， 则则),(yxfz 在在该该点点一一定定可可微微 全微分的概念也可以推广到三元或更多元的函全微分的

32、概念也可以推广到三元或更多元的函数例如若三元函数数例如若三元函数),(zyxfu 具有连续偏导数，则具有连续偏导数，则其全微分的表达式为其全微分的表达式为 zzuyyuxxuudddd. . 例例 1 1 求求函函数数22yxz 在在点点( (2 2， - -1 1) )处处， 当当02. 0 x，01. 0y时时的的全全增增量量与与全全微微分分 解解 由由定定义义知知，全全增增量量 1624. 0) 1(2)01. 01()02. 02(2222z. . 函函数数22yxz 的的两两个个偏偏导导数数 22xyxz，yxyz22. . 因因为为它它们们都都是是连连续续的的， 所所以以全全微微分

33、分是是存存在在的的， 于于是是所所求求在在点点( (2 2，- -1 1) )处处的的全全微微分分为为 0.16(-0.01)(-8) 02. 04dz. . 例例 2 2 求求)sin(eyxzx全微分全微分 解解 因因为为)cos(e)sin(eyxyxxzxx e cos()xzxyy 所所以以yyzxxzzddd yyxxyxyxxxd)cos(ed)cos()sin(e 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(yx处可微，则函数的全增处可微，则函数的全增量与全微分之差是一个比量与全微分之差是一个比 高阶的无穷小，因此当高阶的无穷小，因此当 x与与 y都较小时， 全增量可以近似地用全

34、微分代替，都较小时， 全增量可以近似地用全微分代替，即即 yyxfxyxfzzyx),(),(d. . 又因为又因为),(),(yxfyyxxfz, ,所以有所以有 (,)( , )( , )( , )xyf xx yyf x yfx yxfx yy. . 二、全微分在近似计算中的应用二、全微分在近似计算中的应用例例 3 3 一一圆圆柱柱形形的的铁铁罐罐，内内半半径径为为cm5, ,内内高高为为cm12，壁壁厚厚均均为为cm2 . 0，估估计计制制作作这这个个铁铁罐罐所所需需材材料料的的体体积积大大约约是是多多少少( (包包括括上上、下下底底) )? ? 解解 圆柱体体积圆柱体体积,2hrV

35、这个铁罐所需材料的体是这个铁罐所需材料的体是 hrhhrrV22)()(. . 因为因为rcm2 . 0，hcm4 . 0都比较小，所以可用全微分近都比较小，所以可用全微分近似代替全增量，即似代替全增量，即 2ddd2d dVVVVrhrh rrhrh )dd2(hrrhr 所以所以 )4 . 052 . 024(54 . 02, 012, 5hrhrV)cm(8 .106343 故所需材料的体积大约是故所需材料的体积大约是8 .106)cm(3 例例 4 4 利利用用全全微微分分近近似似计计算算03. 2)98. 0(的的值值 解解 设函数设函数),(yxfz yx，则要计算的数值就是函，则

36、要计算的数值就是函数在数在,98. 0 xxyy03. 2的函数值的函数值)03. 2 ,98. 0(f 取取2, 1yx，x= =- -0 0. .0202，y=0=0. .0303由公式由公式 yyxfxyxfyxfyyxxfyx),(),(),(),(, , 得得)03. 02 ,02. 01 ()03. 2 ,98. 0( ff )03. 0)(2 , 1 ()02. 0)(2 , 1 ()2 , 1 (yxfff, , 因为因为 2)2 , 1 (,),(, 1)2 , 1 (1xyxfyxyxff, , 0)2 , 1 (,ln),(yyyfxxyxf, , 所以所以 96. 00

37、3. 00)02. 0(21)98. 0(03. 2. . 思思考考题题 1 1. . 偏偏导导数数、全全微微分分与与连连续续偏偏导导数数三三者者之之间间关关系系如如何何? ? 2 2. . 举举例例说说明明如如何何利利用用微微分分形形式式不不变变性性求求全全微微分分 一、复合函数微分法一、复合函数微分法 二、隐函数的微分法二、隐函数的微分法 三、偏导数的几何应用三、偏导数的几何应用 第四节第四节 多元复合函数微分法及多元复合函数微分法及 偏导数的几何应用偏导数的几何应用第四节第四节 多元复合函数微分法及多元复合函数微分法及偏导数的几何应用偏导数的几何应用 设 函 数设 函 数),(vufz

38、， 而， 而vu,都 是都 是yx,的 函 数的 函 数),(yxu),(yxv，于是，于是),(),(yxyxfz是是 yx,的的函 数 ， 称 函 数函 数 ， 称 函 数),(),(yxyxfz为为),(vufz 与与),(yxu),(yxv的复合函数的复合函数 为了更清楚地表示这些变量为了更清楚地表示这些变量之间的关系，可用图表示，见右图之间的关系，可用图表示，见右图,其中线段表示所连的两个变量有其中线段表示所连的两个变量有关系其中关系其中yx,是自变量，而是自变量，而 vu,是中间变量是中间变量 z u x y y 一、复合函数微分法一、复合函数微分法定定理理 1 设设),(yxu)

39、,(yxv在在点点),(yx处处有有偏偏导导数数，),(vufz 在在相相应应,(u ) v有有连连续续偏偏导导数数，则则复复合合函函数数),(),(yxyxfz在在点点),(yx处处有有偏偏导导数数，且且 xzuzxuvzxv, , yzuzyuvzyv. . 证证 证第一个等式如下：证第一个等式如下： 设自变量设自变量x有一个改变量有一个改变量x，则，则vu,有改变量有改变量 ),(),(yxyxxu, , ),(),(yxyxxv. 函数函数),(vufz 在相应点在相应点),(vu的全增量（它也是关于的全增量（它也是关于变量变量 x 的改变量）是的改变量）是ufz(),(),vufvv

40、u已知已知),(vufz 在点在点),(vu有连续的偏导数， 根据上节定理有连续的偏导数， 根据上节定理 3 知，知， ),(vufz 在点在点),(vu处可微，即处可微，即 )(),(),(ovvzuuzvufvvuufz. 其其中中22)()(vu，上上式式两两边边同同除除以以x，得得 xzxuuzvzxvxo)(, 当当0 x时，时，xuxu，xvxv(因为因为 vu,在点在点),(yx的偏导数存在的偏导数存在)， 而， 而xvuoxoxo22)()()()()(, 其中其中 2222()()uvuvxxx (0 x), 于是于是 0)()()()(22xvuoxo(0 x), 所以，当

41、所以，当0 x时，时，0)(xo 因此，当因此，当0 x 时，时，式的两边取极限，即得式的两边取极限，即得 xzxuuzxvvz. 同理可证同理可证 yzyuuzyvvz. 例例 1 1 求求函函数数vuzcose，xyu ，)ln(yxv的的偏偏导导数数xz，yz 解解 因为因为 uzvucosevcos，vz)sin(ecosvuvu, xuy，, xyuyxxv1，yxyv1, 所以所以 xzxuuzxvvzcos=euvyxvuvysincos )cos(ln(eyxxyyxyxxyyxy)sin(ln()cos(ln(. yzyuuzyvvz )cos(ln(eyxxyyxyxxyy

42、xx)sin(ln()cos(ln(. 几几种种类类型型复复合合函函数数求求导导公公式式: ) 1 (设设)(u,v,wfz 而而)u(x,yu ，),(yxvv ，),(yxww (见下图见下图)在在),(yx有偏导数，有偏导数， )(u,v,wfz 在在相 应 的相 应 的)(u,v,w处 有 连 续 偏 导 数 ， 则 复 合 函 数处 有 连 续 偏 导 数 ， 则 复 合 函 数( ( , ) ()()zf u x y ,v x,y ,w x,y在在),(yx处有偏导数，且处有偏导数，且 xzxuuzxvvzxwwz, yzyuuzyvvzywwz. z u v w x y )2(设

43、设)(xu，)(xv，)(xww 在点在点 x处可导，处可导， ),(wvufy 在相应点在相应点),(wvu处有连续偏导数，则复合处有连续偏导数，则复合函数函数)(),(),(xwxxy(见下图见下图)在点在点 x处可导，且处可导，且 xwwyxvvyxuuyxydddddddd, 此公式的左端也称为全导数此公式的左端也称为全导数 x y u v w （ 3 ） 设） 设),(yxu在 点在 点),(yx处 有 偏 导 数 ，处 有 偏 导 数 ，( , )zf u x在相应点在相应点),(xu处有连续偏导数，则复合函数处有连续偏导数，则复合函数xyxfz),(见下图见下图)在点在点),(y

44、x处有偏导数，且处有偏导数，且 yuufyzxfxuufxz,. z u x x y 例例 2 2 设设),(22xyyxfz，求求 xz，yz 解解 令令22yxu，xyv ，则，则),(vufz 所以所以 xzxvvzxuuzvzyuzx 2, yzyvvzyuuzvzxuzy 2. z u v x xzddddzuzvuxvx xxxxuxuvcossin2coscos)sin(2232. 解解 见见右右图图 例例 3 3 设设2d,cos ,sin .dzzu v ux vxx求. 例例 4 4 设设xyyxxyfz,，求求 xz，yz 解解 xzxyyxxyfx, xyyxyf,xy

45、yxfxxy, xyyxyf,221,1,xyxyyxfyxyyxfxy xyyxyf,xyyxfxyxyyxxf,221. 上式中的上式中的1f，2f分别表示分别表示xyyxf,对第一、第二个对第一、第二个中间变量，即中间变量，即 yx和和 xy的偏导数的偏导数 定理定理 2 2 （隐函数存在定理）（隐函数存在定理） 设函数设函数),(zyxF在在点点0P),(000zyx的某个邻域内连续且有连续的偏导数的某个邻域内连续且有连续的偏导数),(zyxFx，),(zyxFy，),(zyxFz，又，又0),(000zyxF，0),(000zyxFz， 则存在惟一的函数， 则存在惟一的函数),(yx

46、fz 在在),(00yx的某个邻域内是单值连续的，并满足方程的某个邻域内是单值连续的，并满足方程0),(zyxF，即即 0),(,(yxfyxF . 而且而且),(000yxfz ， 同时， 同时),(yxfz 在此邻域内有连在此邻域内有连续的偏导数续的偏导数 二、隐函数的微分法二、隐函数的微分法隐隐函函数数的的微微分分法法 例例 1 设设0),(yxF确确定定了了 y是是 x的的函函数数 )(xyy ，且且),(yxFx，),(yxFy存存在在及及0),(00yxFy，试试求求 xydd 解解 因为因为0)(,(xyxF,所以，此式两端对所以，此式两端对 x 求导得求导得 0ddxyyFxx

47、xF ,即即 0ddxyFFyx. 所以所以 ),(),(ddyxFyxFxyyx此式称为一元隐函数的此式称为一元隐函数的求导公式求导公式 例例 2 2. .设设函函数数二二元元函函数数),(yxzz 为为方方程程0),(zyxF所所 确确定定的的 隐隐函函数数 ，且且有有连连 续续的的 偏偏导导数数),(zyxFx，),(zyxFy，),(zyxFz，试试求求 xz及及 yz 解解 因为因为0),(,(yxzyxF，所以此式两端对，所以此式两端对 x 求求导得导得 0 xzzFxF, 所以所以 zFxFxz. 同理可得同理可得 zFxFyz. 更一般地，若已知由方程更一般地，若已知由方程,(

48、21xxF0),uxn确定确定了了u是是,21xxnx,的函数，且的函数，且kxF(, 2 , 1k),nuF存在存在且且0uF，则，则有有 kuxuFxFk(, 2 , 1k)n. 例例 3 3 求求由由方方程程e0zxyz所所确确定定的的隐隐函函数数),(yxzz 的的两两个个偏偏导导数数xz，yz 解一解一 因为因为e0zxyz确定了函数确定了函数),(yxzz ，所，所以方程两边对以方程两边对 x 求导得求导得 e0zzzyzxyxx, 所以所以 xzezyzxy. 类似可得类似可得yzxyxzze 解解二二 令令),(zyxFxyzze 因因为为yzFx，xzFy ， xyFzz e

49、, 于于是是由由例例 2 得得 xzzxFFezyzxy, yzzyFFezxzxy. 空间曲线的切线：空间曲线的切线： 如果点如果点 0P),(000zyx， P),(zyx为曲线为曲线 )(trr )( t上的两个点， 则割线上的两个点， 则割线PP0的极的极限限0PP 即称为该曲线在即称为该曲线在 0P点的切线点的切线 设空间曲线设空间曲线的参数方程为的参数方程为)(),(),(tzztyytxx t. 1 1. . 空空间间曲曲线线的的切切线线及及法法平平面面 割割线线0P P的的方方向向向向量量 0000,P Pxxyyzz, 割割线线0P P的的方方程程为为 000000XxYyZ

50、zxxyyzz, 三、偏导数的几何应用三、偏导数的几何应用各各分分母母除除以以0tt 得得 000000000ttzzzZttyyyYttxxxX, 这这里里0t和和 t 分分别别是是0P点点 P和和所所对对应应的的参参数数值值若若函函数数在在点点0t的的导导数数)(0tx，)(0ty，)(0tz均均不不为为零零，则则当当0tt 时时，割割线线PP0的的极极限限(即即曲曲线线在在点点0P的的切切线线)方方程程为为 )( )( )( 000000tzzZtyyYtxxX. 式式为为曲曲线线也也就就是是曲曲线线)(trr 在在点点 0P处处的的切切线线方方程程其其方方向向向向量量)(),(),(0

51、00tztytx也也就就是是该该曲曲线线在在点点0M)(),(),(000tztytx处处的的切切向向量量 曲线的法平面：通过切点曲线的法平面：通过切点0P垂直于切线的每一条直垂直于切线的每一条直线都叫做曲线在点线都叫做曲线在点0P处的法线，这些法线所在的平面称处的法线，这些法线所在的平面称为曲线在点为曲线在点0P处的法平面曲线在点处的法平面曲线在点0P处的切向量即处的切向量即为该点法平面的法向量因此，曲线在该点的法平面为该点法平面的法向量因此，曲线在该点的法平面方程为方程为 0)()()(000000zztzyytyxxtx. 例例 1 11 1 求求螺螺旋旋线线tztytx,sin,cos

52、在在点点)0 , 0 , 1 (的的切切线线及及法法平平面面的的方方程程 解解 曲 线曲 线 tztytx,sin,cos 的 向 量 形 式 为的 向 量 形 式 为kjirtttsincos, 其切向量为其切向量为 kjirtttcossin)(, 又因为对应于曲线上的点又因为对应于曲线上的点)0 , 0 , 1 (0M，所以，所以 kjir0)0(, 因此，在点因此，在点(1，0，0)处的切线方程为处的切线方程为 ,1010,01zyx 即即 ., 1zyx 在点在点(1，0，0)处的法平面方程为处的法平面方程为 0)0(1)0(1) 1(0zyx, 即即 0 zy. 2 2. . 曲曲

53、面面的的切切平平面面与与法法线线 曲面的切平面：曲面的切平面：通过曲面通过曲面上一点上一点),(0000zyxM，在曲面上可以作无穷多条曲线，若每条曲线在点在曲面上可以作无穷多条曲线，若每条曲线在点),(0000zyxM处都有一条切线，且可证明这些切线都在处都有一条切线，且可证明这些切线都在同一平面上，称该平面为曲面同一平面上，称该平面为曲面在点在点),(0000zyxM处的处的切平面切平面 曲曲面面的的切切平平面面方方程程: : 设曲面设曲面的方程为的方程为0), ,(zyxF, ),(0000zyxM是是曲面曲面上的一点， 曲线上的一点， 曲线 L是曲面是曲面上通过点上通过点 0M的一条的

54、一条曲线假设曲线曲线假设曲线 L的参数方程为的参数方程为 ).(),(),(tzztyytxx 且设且设0tt 对应于点对应于点),(0000zyxM，并设曲线，并设曲线 L在点在点 0M处的切向量处的切向量 )(),(),(000tztytxs, 不为零向量由于曲线不为零向量由于曲线 L在曲面在曲面上，所以，有上，所以，有 0)(),(),(tztytxF, 上式两边对上式两边对 t求导，得求导，得0dd0tttF, 即即 )(),(0000txzyxFx)(),(0000tyzyxFy0)(),(0000tzzyxFz, 将上式写成向量的点积形式为将上式写成向量的点积形式为 ),(000z

55、yxFx，),(000zyxFy，),(000zyxFz0s. 这说明向量这说明向量 n=),(000zyxFx，),(000zyxFy，),(000zyxFz 是与曲面是与曲面上过点上过点),(0000zyxM的曲线的曲线 L 的切线垂直的向的切线垂直的向量量. 由由于于L为为曲曲面面上上过过点点),(0000zyxM的的任任一一条条曲曲线线所所以以，向向量量 n 与与曲曲面面上上过过点点0M的的所所有有曲曲线线的的切切线线均均垂垂直直 这这说说明明 n 为为曲曲面面在在点点0M处处的的切切平平面面的的法法向向量量(见见下下图图)以以后后把把 n=),(000zyxFx，),(000zyxF

56、y，),(000zyxFz 称称为为曲曲面面：),(zyxF在在点点),(0000zyxM处处的的法法向向量量 L O x y z 0 M n 根据以上讨论，曲面根据以上讨论，曲面在点在点 0M处的切平面，就是处的切平面，就是过点过点0M且与法向量且与法向量 n 垂直的平面因此，切平面方程为垂直的平面因此，切平面方程为 )(,(0000 xxzyxFx)(,(0000yyzyxFy 0)(,(0000zzzyxFz. 曲面的法线： 过点曲面的法线： 过点),(0000zyxM与切平面垂直的直线与切平面垂直的直线称为曲面称为曲面在点在点0M处的法线处的法线. 曲面的曲面的法线方程：法线方程： )

57、,(0000zyxFxxx),(0000zyxFyyy),(0000zyxFzzz. 例例 12 12 球面球面222zyx=14 在点在点 (1，2，3)处的切处的切平面及法线方程平面及法线方程 解解 令令),(zyxF14222zyx，则，则 xFx2，yFy2，zFz2, 于是，该球面在点于是，该球面在点)3 , 2 , 1 (处的法向量为处的法向量为 6 , 4 , 22 ,2 ,2)3 , 2, 1(zyxn, 所以在点所以在点)3 , 2 , 1 (处，此球面的切平面方程为处，此球面的切平面方程为 0)3(6)2(4) 1(2zyx, 即即 01432zyx. 法线方程为法线方程为

58、 634221zyx, 即即 332211zyx. 思考题思考题 1在在求求复复合合函函数数的的偏偏导导数数时时，需需要要注注意意什什么么？求求由由可可 微微 函函 数数),(uxfz ，),(yxu而而 得得 的的 复复 合合 函函 数数),(,(yxxfz的的偏偏导导数数，并并说说明明其其符符号号的的含含义义 2求隐函数偏导数常用方法有几种求隐函数偏导数常用方法有几种?举例说明举例说明 一、多元函数的极值一、多元函数的极值 二、二元函数的最大值与最小值二、二元函数的最大值与最小值 三、条件极值三、条件极值 第五节第五节 多元函数的极值多元函数的极值第第五五节节 多多元元函函数数的的极极值值

59、 定定义义 设设函函数数),(yxfz 在在点点),(000yxP的的某某个个邻邻域域内内有有定定义义，如如果果对对于于此此邻邻域域内内任任何何异异于于),(000yxP的的点点),(0yxP，都都有有),(yxf),(00yxf (或或),(yxf),(00yxf成成立立， 则则称称函函数数),(yxf在在点点),(00yxP取取得得极极大大值值(或或极极小小值值) ),(00yxf，极极大大值值与与极极小小值值统统称称为为极极值值，使使函函数数获获得得极极值值的的点点),(00yxP称称为为极极值值点点 例例 1 1 函函数数),(yxf122yx在在点点)0 , 0(取取得得极极小小值值

60、1，因因为为当当0, 0yx，时时 ),(yxf122yx1=)0 , 0(f， 这这一一函函数数的的图图形形就就是是下下页页左左图图中中的的曲曲面面，在在此此曲曲面面上上) 1, 0 , 0(点点低低于于周周围围的的点点 一、多元函数的极值一、多元函数的极值O x y z x y z 1 1 O例例 2 2 函函数数221yxz在在点点)0 , 0(处处取取得得极极大大值值)0 , 0(f=1，因因为为在在点点)0 , 0(附附近近任任意意),(yx，有有 ),(yxf1122yx)0 , 0(f 其其函函数数图图形形为为上上半半球球面面（见见右右上上图图） ，显显然然) 1, 0 , 0(