第3讲 因式分解(竞赛班)答案

1、第三讲 因式分解 11第三讲 因式分解因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法，分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法【例1】将12x4+8分解因式正确的是（）A、12（x416）B、12（x2+4）（x24）C、12（x2+4）（x+2）（x2）D、12（x2+2）（x22）2考点：因式分解-运用公式法。分析：先提取公因式12，然后套用公式a2b2=（a+b）（ab），再进一步分解因式解答：解：12x4+8，=12（x416），=12（x24）（x2+4），=12（x2）（x+2）（x2+4）故选C点评：本题考查了用公式法进行因式分解的能力，进行因

2、式分解时，若一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再套用公式进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止【例2】 20、分解因式：（x3）（x1）+1考点：因式分解-运用公式法。专题：常规题型。分析：先根据多项式的乘法整理成多项式的一般形式，然后再利用完全平方公式进行因式分解解答：解：（x3）（x1）+1=x24x+3+1=x24x+4=（x2）2点评：本题考查了利用完全平方公式分解因式，先利用多项式的乘法整理成多项式的一般形式是解题的关键【例3】分解因式x42x2+1.解：x42x2+1=（x21）2=（x1）（x+1）2=（x1）2（x+1）2.【例4】多项式x2yy2z+z2xx2

3、z+y2x+z2y2xyz因式分解后的结果是（）A、（yz）（x+y）（xz）B、（yz）（xy）（x+z）C、（y+z）（x一y）（x+z）D、（y十z）（x+y）（x一z）考点：因式分解-分组分解法。分析：原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式（yz）x2+（z2+y22yz）x+z2yy2z，再运用提取公因式法和十字相乘法分解因式解答：解：x2yy2z+z2xx2z+y2x+z2y2xyz=（yz）x2+（z2+y22yz）x+z2yy2z=（yz）x2+（yz）2xyz（yz）=（yz）x2+（yz）xyz=（yz）（x+y）（x

4、z）故选A点评：本题考查了用分组分解法进行因式分解，难点是将原式重新整理成关于x的二次三项式，改变其结构，寻找分解的突破口【例5】分解因式：（x2+3x）22（x2+3x）8=（x+1）（x+2）（x1）（x+4）考点：因式分解-十字相乘法等。分析：将（x2+3x）看做一个整体，用十字相乘法来分解，对分解后的两个多项式再运用十字相乘法进一步分解解答：解：（x2+3x）22（x2+3x）8=（x2+3x）4（x2+3x）+2=（x2+3x4）（x2+3x+2=（x+1）（x+2）（x1）（x+4）点评：同学们要明白对于十字相乘法中x、a、b对于代数式，仍然成立【例6】分解因式：x（x2）（x+3

5、）（x+1）+8=x+2）（x1）（x2+x4）考点：因式分解-十字相乘法等。专题：因式分解。分析：分别把（x2）和（x+3）、x和（x+1）相乘，然后变为（x2+x6）（x2+x），接着把x2+x作为一个整体因式分解，然后即可求解解答：解：x（x2）（x+3）（x+1）+8=（x2）（x+3）x（x+1）+8=（x2+x6）（x2+x）+8=（x2+x）26（x2+x）+8=（x2+x2）（x2+x4）=（x+2）（x1）（x2+x4）故答案为：（x+2）（x1）（x2+x4）点评：此题主要考查了利用分组分解法分解因式，解题的时候重新分组做乘法，同时也注意利用整体思想解决问题【例7】分解因式

6、：（x4+x24）（x4+x2+3）+10=（x4+x2+1）（x2+2）（x+1）（x1）考点：因式分解-十字相乘法等；因式分解-运用公式法。专题：换元法。分析：首先利用换元，令x4+x2=y，然后根据十字相乘法进行因式分解，最后再将x4+x2=y，代入进行还原，得出结果解答：解：令x4+x2=y，原式=（y4）（y+3）+10=y2y2=（y+1）（y2）将x4+x2=y代入，所以原式=（x4+x2+1）（x4+x22）=（x4+x2+1）（x2+2）（x21）=（x4+x2+1）（x2+2）（x+1）（x1）故答案为为（x4+x2+1）（x2+2）（x+1）（x1）点评：本题综合考查了十

7、字相乘法和换元法，做这类题必须要记得还原回去，不能得出的结果为（y+1）（y2）【例8】（1）完成下列配方问题：x2+2px+1=x2+2px+（p2）+（1p2）=（x+p）2+（1p2）（2）分解因式：a2b2+4a+2b+3的结果是（a+b+1）（ab+3）考点：配方法的应用。专题：配方法。分析：（1）由于二次项系数为1，那么组成完全平方式的第三项应是第二项系数的一半，最后的结果应和原来的代数式相等；（2）题中有4a，2b，应为完全平方式的第二项，整理为两个完全平方式的差的形式，进而用平方差公式展开即可解答：解：（1）x2+2px+1=x2+2px+（p2）+（1p2）=（x+p）2+（

8、 1p2）；故答案为p2；1p2；p；1p2；（2）a2b2+4a+2b+3，=（a2+4a+4）（b22b+1），=（a+2）2（b1）2，=（a+2+b1）（a+2b+1），=（a+b+1）（ab+3）故答案为：（a+b+1）（ab+3）点评：本题考查了配方法的应用，把所给代数式整理为有完全平方式子的形式是解决问题的突破点；用到的知识点为a2±2ab+b2=（a±b）2【例9】a4+4分解因式的结果是（）A、（a2+2a2）（a22a+2）B、（a2+2a2）（a22a2）C、（a2+2a+2）（a22a2）D、（a2+2a+2）（a22a+2）考点：因式分解-十字相乘

9、法等。分析：先将a4+4变为a4+4+4a24a2，再将a4+4+4a2看为一个整体，用完全平方公式分解，原式=（a2+2）24a2，再利用平方差公式分解解答：解：a4+4=a4+4+4a24a2=（a2+2）24a2=（a22a+2）（a2+2a+2）故选D点评：在因式分解中，为能够运用平方差公式、完全平方公式，因而可以通过减去一项或再加上相同的项来解决【例10】如果x2x1是x3+bx2+1的一个因式，则b的值为（）A、2B、1C、0D、2考点：因式分解的意义。专题：因式分解。分析：由题意x2x1是ax3+bx2+1的一个因式，可得x3+bx2+1=（x2x1）（x+c）将右边展开，然后根

10、据系数相等，求出b值解答：解：x2x1是x3+bx2+1的一个因式，x3+bx2+1=（x2x1）（x+c）=x3+（c1）x2（c+1）xcc1=b，c+1=0，c=1，b=2，故选A点评：此题主要考查因式分解的意义，要注意因式分解的一般步骤：如果一个多项式各项有公因式，一般应先提取公因式；如果一个多项式各项没有公因式，一般应思考运用公式、十字相乘法；如果多项式有两项应思考用平方差公式，如果多项式有三项应思考用公式法或用十字相乘法； 如果多项式超过三项应思考用完全平方公式法；分解因式时必须要分解到不能再分解为止训练题1.将多项式x42x23分解因式，结果正确的是（）A、（x2+3）（x21）

11、 B、（x2+1）（x23）C、（x2+3）（x1）（x+1）D、（x2+1）（x3）（x+3）考点：因式分解-十字相乘法等；因式分解-运用公式法。专题：常规题型。分析：因为3×1=3，3+1=2，所以利用十字相乘法分解因式即可，但一定要分解到不能分解为止解答：解：x42x23=（x2+3）（x21）=（x2+3）（x1）（x+1）故选C点评：本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，本题需要进行两次因式分解，分解因式一定要彻底2.分解因式xy22xy+2y4=（y2）（xy+2）考点：因式分解-分组分解法。分析：此题

12、需要两两分组，即一二项一组，三四项一组，分别提公因式，即可得到公因式（y2），则问题得解解答：解：xy22xy+2y4，=（xy22xy）+（2y4），=xy（y2）+2（y2），=（y2）（xy+2）故答案为：（y2）（xy+2）点评：本题考查了分组分解法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组注意将此题一二项一组，三四项一组分为两组，再提公因式分解即可3.分解因式：4（ab）2+16（a+b）2考点：提公因式法与公式法的综合运用。分析：先提公因式4，再对余下的多项式利用平方差公式分解，将ab和a+b看作一个整体解答：解：4（ab）2+16（a+b）2，=4（ab）24（a+b）2，=4（a

13、b）2（a+b）（ab）+2（a+b），=4（ab2a2b）（ab+2a+2b），=4（a+3b）（3a+b）点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，计算时要注意整体思想的利用和运算符号的处理4.4x24xy2+4y3=（2x+y3）（2xy+1）考点：因式分解-分组分解法。专题：计算题。分析：首先把3变为14，多项式变为（4x24x+1）（y24y+4），然后利用公式法分解因式，接着利用提取公因式法分解因式即可求解解答：解：原式=（4x24x+1）+（y24y+4）=（2x1）2（

14、y2）2=（2x1+y2）（2x1y+2）=（2x+y3）（2xy+1）故答案为：（2x+y3）（2xy+1）点评：此题主要考查了利用分组分解法分解因式，其中直接分组分解困难，由式子的特点易想到完全平方式，关键是将常数项拆成几个数的代数和，以便凑配5.分解因式：4x29y2+12y4=（2x3y+2）（2x+3y2）考点：因式分解-分组分解法。分析：当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解本题中有y的二次项，y的一次项，有常数项所以要考虑9y2+12y4为一组，利用完全平方公式分解因式，再与第一项利用平方差公式继续分解因式解答：解：4x29y2+12y4，=4x2（9y212y+4

15、），=（2x）2（3y2）2，=（2x3y+2）（2x+3y2）点评：本题考查用分组分解法进行因式分解难点是采用两两分组还是三一分组比如本题有y的二次项，y的一次项，有常数项，所以首要考虑的就是三一分组6.分解因式：（x2+x+1）（x2+x+2）12=（x2+x+5）（x2+x2）考点：因式分解-十字相乘法等。专题：计算题；整体思想。分析：可以把x2+x看成整体，相乘以后，再因式分解解答：解：原式=（x2+x）2+3（x2+x）10=（x2+x+5）（x2+x2）故答案为：（x2+x+5）（x2+x2）点评：此题考查用十字相乘法进行因式分解，注意整体思想的应用7. 2（x+1）2+3（x1）

16、分解因式的结果为（x+1）（2x1）考点：因式分解-提公因式法。专题：计算题。分析：此题可运用提取公因式法分解因式，首先把+3（x1）提取1为：3（x+1），再提取（x+1）即可解答：解：原式=2（x+1）23（x+1）=（x+1）（2x+23）=（x+1）（2x1）故答案为：（x+1）（2x1）点评：此题考查的是因式分解提取公因式法，关键是两次运用提取公因式进行因式分解8. 分解因式x2+ax+b，甲看错了a值，分解的结果是（x3）（x+2），乙看错了b值，分解的结果是（x2）（x3），那么x2+ax+b分解因式正确的结果应该是（x+1）（x6）考点：因式分解的意义。专题：计算题；因式分解。

17、分析：根据已知分解因式x2+ax+b，甲看错了a值，分解的结果是（x3）（x+2），可得出b的值，再根据乙看错了b值，分解的结果是（x2）（x3），可求出a的值，进而因式分解即可解答：解：分解因式x2+ax+b，甲看错了a值，分解的结果是（x3）（x+2），（x3）（x+2）=x2x6，b=6，乙看错了b值，分解的结果是（x2）（x3），（x2）（x3）=x25x+6，a=5，x2+ax+b=x25x6=（x+1）（x6）故答案为：（x+1）（x6）点评：此题主要考查了因式分解的意义，根据已知分别得出a，b的值是解决问题的关键9. 分解因式：（x21）（x+3）（x+5）+12=（x2+4x3

18、）（x2+4x+1）考点：因式分解-分组分解法。专题：因式分解。分析：首先把x21利用平方差公式变为（x1）（x+1），然后分别把（x1）和（x+5）、（x+1）和（x+3）相乘，然后变为（x2+4x5）（x2+4x+3），接着把x2+4x作为一个整体因式分解，然后即可求解解答：解：（x21）（x+3）（x+5）+12=（x1）（x+1）（x+3）（x+5）+12=（x2+4x5）（x2+4x+3）+12=（x2+4x）22（x2+4x）15+12=（x2+4x）22（x2+4x）3=（x2+4x3）（x2+4x+1）故答案为：（x2+4x3）（x2+4x+1）点评：此题主要考查了利用分组分解

19、法分解因式，解题的时候首先把x21分解因式，然后重新分组做乘法，同时也注意利用整体思想解决问题10. 已知多项式2x2+3xy2y2x+8y6可以分解为（x+2y+m）（2xy+n）的形式，那么m3+1n21的值是m=2，n=3考点：因式分解的意义。专题：计算题；因式分解。分析：由题意多项式2x2+3xy2y2x+8y6可以分解为（x+2y+m）（2xy+n）的形式，将整式（x+2y+m）（2xy+n）相乘，然后根据系数相等求出m和n，从而求解解答：解：多项式2x2+3xy2y2x+8y6可以分解为（x+2y+m）（2xy+n）的形式，（x+2y+m）（2xy+n）=2x2+3xy2y2+（2

20、m+n）x+（2nm）y=2x2+3xy2y2x+8y6=2x2+3xy2y2x+8y6，2m+n=1，2nm=8，mn=6，解得m=2，n=3，m3+1n21=8+191=78，故答案为：78点评：此题主要考查因式分解的意义，紧扣因式分解的定义，是一道基础题11. 已知x2+2x+5是x4+ax2+b的一个因式，求a+b的值考点：因式分解的应用；因式分解的意义。专题：待定系数法。分析：假设x4+ax2+b分解后的因式为（x2+2x+5）（x2+mx+n），将该式展开与x4+ax2+b关于x的各次项系数对应相等，列出等式组即可解得m、n、a、b的值，那么a+b最终得解解答：解：设x4+ax2+

21、b=（x2+2x+5）（x2+mx+n）=x4+（2+m）x3+（2m+n+5）x2+（5m+2n）x+5n比较对应项系数得&2+m=0&2m+n+5=a&5m+2n=0&5n=b解得m=2、n=5、a=6、b=25a+b=31点评：本题考查因式分解的应用、因式分解的意义解决本题的关键是采用待定系数法，假设分解后的因式，比较x的对应项系数，即可求解12. 把下列各式分解因式：（1）a4+64b4；（2）x4+x2y2+y4；（3）x2+（1+x）2+（x+x2）2；（4）（ca）24（bc）（ab）；（5）x39x+8；（6）x3+2x25x6考点：提公因式法与

22、公式法的综合运用；因式分解-分组分解法；因式分解-十字相乘法等。专题：计算题。分析：（1）先对所给多项式进行变形，a4+64b4=a4+64b4+16a2b216a2b2，前三项是完全平方式，然后先套用公式a2±2ab+b2=（a±b）2进行变形，再套用公式a2b2=（a+b）（ab），进一步分解因式（2）先对所给多项式进行变形，x4+x2y2+y4=x4+2x2y2+y4x2y2，然后先套用公式a2±2ab+b2=（a±b）2进行变形，再套用公式a2b2=（a+b）（ab），进一步分解因式（3）先对所给多项式进行变形，x2+（1+x）2+（x+x2）2

23、=1+2（x+x2）+（x+x2）2，将x+x2看作一个整体，套用公式a2±2ab+b2=（a±b）2进行进一步因式分解即可（4）设bc=x，ab=y，则ca=（x+y），则原式变为：（ca）24（bc）（ab）=（x+y）24xy，再进一步变形分解因式即可（5）应用拆项法，将原式变形为：x39x+8=x3x8x+8，然后分组分解（6）先将原式变形，x3+2x25x6=x3+x2+x2+x6x6，然后分组分解解答：解：（1）a4+64b4=a4+64b4+16a2b216a2b2=（a2+8b2）2（4ab）2=（a2+8b24ab）（a2+8b2+4ab）；（2）x4+x2y2+y4；=x4+2x2y2+y4x2