3.1随机向量的分布ppt课件

1、1 随机向量的分布 二维随机变量 联合分布函数 联合分布律 联合概率密度返回主目录设 E 是一个随机试验，它的样本空间是 =e，设 X=X(e) 和 Y=Y(e) 是定义在 上的随机变量。由它们构成的一个向量 (X, Y) ，叫做二维随机向量，或二维随机变量。eX(e)Y(e)1 随机向量的分布定义定义返回主目录注注 意意 事事 项项维随机向量；二维随机变量也称为二我们应把二维随机变量 YXYX，系的；之间是有联与看作一个整体，因为YX作平面上的随机点可看，量在几何上，二维随机变YX1 随机向量的分布返回主目录二维随机变量的例子二维随机变量的例子身体状况，令考察某地区成年男子的高；：该地区成年

2、男子的身X就是一个二维随机变量，则YX：对一目标进行射击，令重：该地区成年男子的体Y距离；：弹着点与目标的水平X距离；：弹着点与目标的垂直Y就是一个二维随机变量，则YX1 随机向量的分布返回主目录二维随机变量的例子二维随机变量的例子，令：考察某地区的气候状况：该地区的温度；X就是一个二维随机变量，则YX，令：考察某钢厂钢材的质量：该地区的湿度Y：钢材的含碳量；X：钢材的含硫量；Y就是一个二维随机变量，则YX1 随机向量的分布返回主目录，实数则对于任意一对是一个二维随机变量，设yxYX.的分布函数，变量为二维随机的函数我们称此函数，是YXyxyYxXPyxF，1 随机向量的分布定定 义义返回主目

3、录二元分布函数的几何意义二元分布函数的几何意义概率点的无穷矩形中的为右上顶，落在以，点表示平面上的随机，意义是：二元分布函数的几何yxYXyxFyo(x, y)(X, Y )1 随机向量的分布返回主目录一个重要的公式一个重要的公式，设：2121yyxx则2121yXyxXxP，1222yxFyxF，1121yxFyxF，yxox1x2y1y2(X, Y )(x2 , y2)(x2 , y1)(x1 , y2)(x1 , y1)1 随机向量的分布分布函数具有以下的基本性质： F (x , y )是变量 x , y 的不减函数，即对于任意固定的 y , 当 x1 x2时，对于任意固定的 x , 当

4、 y1 y2时，);,(),(21yxFyxF);,(),(21yxFyxF 对于任意固定的 Y , 对于任意固定的 X , , 1),(0yxF; 0),( yF; 0),(xF. 1),(; 0),(FF1 随机向量的分布2)1)且返回主目录 . 0),(),(),(),(21111222yxFyxFyxFyxF3) F (x , y )=F(x+0,y), F (x , y )=F(x ,y+0), 即 F (x , y )关于 x 右连续，关于 y 也右连续.yxox1x2y1y2(X, Y )(x2 , y2)(x2 , y1)(x1 , y2)(x1 , y1)1 随机向量的分布4

5、)说说 明明上述四条性质是二维随机变量分布函数的最基本的性质，即任何二维随机变量的分布函数都具有这四条性质；更进一步地，我们还可以证明：如果某一二元函数具有这四条性质，那么，它一定是某一二维随机变量的分布函数证明略）1 随机向量的分布返回主目录n n 维随机变量维随机变量是其样本空间，是一个随机试验，设E nieeXXii，21个随机变量是该样本空间上的n则称 eeXeXeXXXXnn，2121维随机变量上的为样本空间n1 随机向量的分布返回主目录n n维随机变量的分布函数维随机变量的分布函数，维实数组意一维随机变量，则对于任是一个，设nnxxxnnXXX21211 随机向量的分布维随机变量我

6、们称此函数为nnXXX，21nxxxF，21nnxXxXxXP，2211分布函数。的联合分布函数。简称返回主目录二维离散型随机变量二维离散型随机变量1 随机向量的分布为二维离散型随机变量，个，则称无穷的取值是有限个或可列，若二维随机变量YXYX二维离散型随机变量，设YX的取值为X，ixxx21的取值为Y，jyyy21则称，21jiyYxXPPjiij的（联合）分布律，为二维离散型随机变量YX二维离散型随机变量的联合分布律二维离散型随机变量的联合分布律下表表示的联合分布律也可以由， YXYX1y2yjy1x11p12pjp12x21p22pjp2ix1 ip2ipijp1 随机向量的分布返回主目

7、录二维离散型随机变量联合分布律的性质二维离散型随机变量联合分布律的性质：性质 10jiijyYxXPp，有1jiijp，：性质 2，对任意的21jiji1 随机向量的分布返回主目录例例 1的三个盒子中，编号为将两个球等可能地放入321的联合分布律，试求YX；，的可能取值为210X解：号盒中的球数；：放入令：1X号盒中的球数：放入2Y，的可能取值为210Y00YXP，912311 随机向量的分布返回主目录例例 1续）续）9223210YXP，20YXP，2319101YXP，2329211YXP，2329221YXP， P01 随机向量的分布02YXP，2319122YXP， P012YXP，

8、P0返回主目录例例 1 1续）续）的联合分布律为，由此得YX1 随机向量的分布 Y X012091929119292029100例例 2 2次，令：将一枚均匀的硬币掷3的联合分布律，试求YX数；次抛掷中正面出现的次： 3X；，的可能取值为3210X解：，的可能取值为31Y次数之差的绝对值与反面出现次抛掷中正面出现次数： 3Y1 随机向量的分布返回主目录例例 2 2续）续）；010YXP，30YXP，；8111YXP，；83；031YXP，12YXP，；83；032YXP，；013YXP，8133YXP，的联合分布律为，由此得随机变量YX1 随机向量的分布返回主目录例例 2续）续） X Y012

9、3108383038100811 随机向量的分布返回主目录边缘分布的定义边缘分布的定义的边缘分布，关于二维随机变量或者的分布为或者也有分布我们称或者，分量是一维随机变量，因此或者则它的分量是一个二维随机变量，如果YXYXYXYXYXYX边缘分布也称为边沿分布或边际分布已知联合分布函数求边缘分布函数的分布函数为，则分量，的分布函数为，设二维随机变量XyxFYX返回主目录 ，xFyxFYxXPxXPxFyXlim已知联合分布律求边缘分布律下表表示的边缘分布律也可以由以及YX YX1y2yjy ip1x11p12pjp1 1p2x21p22pjp2 2pix1 ip2ipijp ipjp1 p2 p

10、jp返回主目录由题意知，X=i，Y=j的取值情况是：i=1,2,3,4，且是等可能的；然后 j 取不大于 i 的正整数。由乘法公式求得 ( X,Y ) 的分布律。., 4 , 3 , 2 , 1,411|,ijiiiXPiXjYPjYiXP其中1 随机向量的分布设随机变量 X 在 1,2,3,4四个数中等可能地取值，另一个随机变量 Y 在1X 中等可能地取一整数值。试求 ( X,Y ) 的联合分布律，与X及Y各自的边缘分布律。例例 3 3解：解：返回主目录例 3续） YX1234 ip141000412818100413121121121041416116116116141jp48254813

11、4874832 边缘分布返回主目录例：布律律及它们各自的边缘分二等品数的联合分布件产品中的一等品数与的情况下，分别计算取出不放回场合这两种合，次试在有放回场取出一件，共抽取现从这批产品中每次，三等品占占，二等品件，其中一等品占一批产品共55%20%50%3050例 3续），的取值都是与54321, 0YX在有放回场合下，若5 ji0jYiXP ，有，若5 jijYiXP ，有jijijiji52 . 05 . 03 . 0!5!5的边缘分布律为、的联合分布律及，得YXYX2 边缘分布返回主目录例 3续） Y X012345 ip00.000320.004000.020000.050000.06

12、2500.031250.1680710.002400.024000.090000.150000.0937500.3601520.007200.054000.135000.11250000.308730.010800.054000.067500000.132340.008100.0202500000.0283550.00243000000.00243jp0.031250.156250.31250.31250.156250.031252 边缘分布返回主目录例 3续）在不放回场合下，若5 ji0jYiXP ，有，若5 jijYiXP ，有5505102515CCCCjiji的边缘分布律为、的联合分布

13、律及，得YXYX2 边缘分布返回主目录例 3续） Y X012345 ip00.00010.00250.01700.04880.05970.02500.153110.00150.02120.09560.16280.089600.370720.00590.05580.14870.1140000.324430.00970.05370.06440000.127840.00640.016100000.022550.0014000000.0014jp0.0250.14930.32570.32560.14930.0252 边缘分布返回主目录二维离散型随机变量的联合分布函数二维离散型随机变量的联合分布函数，

14、21jiyYxXPPjiij二维离散型随机变量，设YX分布律为联合其)(的联合分布函数为，则YXyyxxijjipyxF，1 随机向量的分布返回主目录对于二维随机变量 ( X,Y ) 分布函数 F (x , y )，如果存在非负函数 f (x , y )，使得对于任意的 x，y有： yxdudvvufyxF,),(),(则称 ( X,Y ) 是连续型的二维随机变量，函数 f (x , y )称为二维随机变量 ( X,Y )的概率密度，或称为 X 和 Y 的联合概率密度。 二维连续型随机变量二维连续型随机变量1 随机向量的分布返回主目录按定义，概率密度 f (x , y ) 具有以下性质：;0)

15、,(10yxf;1),(),(20 Fdxdyyxf).,(),(),(),(320yxfyxyxFyxyxf连续，则有在点若1 随机向量的分布 40 设 G 是平面上的一个区域，点 ( X,Y )落在 G 内 的概率为：GdxdyyxfGYXP.),(),(返回主目录 在几何上 z = f (x , y) 表示空间的一个曲面，上式即表示 P(X,Y)G的值等于以 G 为底，以曲面 z = f (x , y)为顶的柱体体积1 随机向量的分布返回主目录例例 4 4的密度函数为，设二维随机变量YX；常数求c解：，得由密度函数的性质其它，022222RyxyxRcyxf的概率内落入圆，求RrryxY

16、X02221 随机向量的分布返回主目录例例 4 4续）续） dxdyyxf，122222RyxdxdyyxRc，得，作极坐标变换sincosyxdRcdR0201cR 331所以，33Rc1 随机向量的分布返回主目录例例 4 4续）续）222ryxYXP，2222233ryxdxdyyxRR，得，作极坐标变换sincosyxdRdRr02033RrRr321322222ryxdxdyyxf，222ryxYXP，1 随机向量的分布返回主目录例例 5 5的密度函数为，设二维随机变量YX；常数求c解：由密度函数的性质，得其它，00043yxceyxfyx的联合分布函数；，求YX，求2010YXP1

17、随机向量的分布返回主目录例例 5 5续）续） dxdyyxf，1 0043dxdyecyxdyedxecyx040312c所以，12c1 随机向量的分布xy0, 0yx；，0yxF时，或当00yxyxF，)2(yYxXP，返回主目录例例 5 5续）续）时，且当00yxyxF，dvedueyvxu040312 xydudvvuf，yYxXP， xyvududve004312yxee4311其它，所以，0001143yxeeyxFyx1 随机向量的分布返回主目录例例 5 5续）续）dyedxeyx204103122010yxdxdyyxf， 10204312dxdyeyx8311ee，2010YXP1 随机向量的分布返回主目录例例 6 612Oxy1度函数为的密，设二维随机变量YX其它，02010312yxxyxyxf试求概率1YXP解：积分区域如图所示，1 随机向量的分布x+y=1x=1y=2返回主目录例例 6 6续）续）1023213465dxxxx1yxdxdyyxf，1021231xdyxyxdx72651YXP1 随机向量的分布12Oxy1x+y=1x=1y=2返回主目录二维均匀分布二维均匀分布的密度函数为，如果二维随机变量YXAD其面积为是平面上的有界区域，设上的均匀分布服从区域，则称二维随机变量DYXDyxDy