2020高考文数(新课标版)教学案第2章第6节对数与对数函数

1、1第六节 对数与对数函数考纲传真1理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用 2 理解对数函数的概1念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为 2,10，的对数函 数的图象.3.体会对数函数是一类重要的函数模型 4 了解指数函数 y= ax（a0,且 a 1）与对数函数 y= logax（a0，且 a 1）互为反函数.1.对数概念如果 ax= N（a0，且 a 1），那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x=loggN，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数，logaN 叫做对数式性质对数式与指数式的互化：ax

2、= N? logaN= xIoga1 = 0， logaa= 1， alogaN= N运算法则loga(M N) = logaM + logaNa0,且 aM1，M0，N0MlogaN = logaM logaNlogaMn= nlogaM(n R)换底公式换底公式：logab=logca(a0，且 a 1; c0，且CM1; b0)2.对数函数的定义、图象与性质定义函数 y= logax（a0，且 aM1）叫做对数函数图象a10vav1J尸如卧11胡课刖知识全通关夯实基础扫除盲点211:尸侖3图象特征在 y 轴右侧，过定点(1,0)当 x 逐渐增大时，图象是上升的当 x 逐渐增大时，图象是下

3、降的性质定义域(0,+)值域R性质单调性在(0, +)上是增函数在(0,+x)上是减函数函数值变化规律当 x= 1 时，y=0当 x1 时，y0;当 Ovxv1 时，yv0当 x 1 时，yv0；当 Ovxv1 时，y03.反函数指数函数 y= ax(a0,且 a 1)与对数函数 y= logax(a0,且 a 1)互为反函数，它们的图象关于直线 y=x对称.常用结论1. 换底公式的两个重要结论1(1)logab=lOgba；(2) lOgamb = mlOgab.其中 a0 且 a 1, b0 且 1, m, n R.2. 对数函数的图象与底数大小的关系如图，作直线 y= 1,则该直线与四个

4、函数图象交点的横坐标为相应的底数,故 Ovcvdv1vavb.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.基础自测41. (思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“V”，错误的打“x”)2(1) log2x = 2log2x.()(2) 当 x 1 时，logax 0.()(3) 函数 y= lg(x+ 3)+ lg(x-3)与 y= lg(x+ 3)(x 3)的定义域相同.()对数函数 y= logax(a0，且 a 1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1),a, i，函数图象不在第二、三象限.()答案x x x Vii2.已知 a= 23，b= log23，c= log

5、lg，则()A.abcB.acbC.cbaD.cab1-3011D -0va=2v2=1,b=log2vlog21=0,c=log13bglqh1,c a b.3.已知函数 y= loga（x+ c）（a，c 为常数，其中 a0，a 1）的图象如图所示,则下列结论成立的是（）A.a1，c1B.a1,0vcv1C.0vav1，c1D.0vav1,0vcv1D 由图象可知 y= loga（x+ c）的图象是由 y= logax 的图象向左平移 c 个单位 得到的，其中 Ovcv1.再根据单调性可知 Ovav1.54.（教材改编）若 loga；v1（a0,且 a 1），贝U实数 a 的取值范围是（）

6、A. 0,3B . （1，+）6当 a 1 时，loga4 1.即实数 a 的取值范围是 0, 4U(1,+).1log435计算： 2log510+ log54 =_, 2=_ .23 2log510+ log54= log5102冷=2,因为 Iog43 =舟也彳=log23,所以 2log43=2log2 3=3.对数式的化简与求值21. (lg 2)2+ lg 2 lg50 + lg 25 =_ .2原式二 lg 2(lg 2 + lg 50) + lg 25 = 2lg 2 + 2lg 5 = 2.log23+ log432. 2 =_ .甘亠log23 log43log3厂33 原

7、式=22= 3 2= 3.3.log343.log23 log38+ (p3)=_.log325 原式=3log23 log32 + 3= 3 + 2 = 5.a b1 14设 2 = 5b= m,且一 += 2,贝 U m=a b-Jl0 v2a=5b=m, /a=log2m,b=log5m,1 1 1 1a+b= log2m+log5m=logm2+logm5=logm10=2C. 0,(1,+x)当 Ovav1 时,3logaRVlogaa=1,3 Ovav4；课堂题型全突破考点全面方法简洁7 m= 10.8规律方法对数运算的一般思路1 将真数化为底数的指数幕的形式进行化简；2 将同底对

8、数的和、差、倍合并；3 利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；4 利用常用对数中的 lg 2+ lg 5 = 1.对数函数的图象及应用【例 1】(1)(2019 大连模拟)函数 y= lg|x1|的图象是()D( 2, 2)函数 y= loga(x 2) + 2 恒过定点 P,则点 P 的坐标为_.(1)A(2)B(3)(3,2)(1)函数 y= lg|x 1|的图象可由函数 y= lg|x|的图象向右平移 1 个单位得到，故选 A.X1x构造函数 f(x) = 4 和 g(x) = logax，要使 0vx 1 时不满足条件；当 0vav1 时

9、，画出两个函数在 0，1上的图象，可知只需 f 舟vg |，即 2vloga，贝Ua(3) 由 x 2=1 得 x= 3,当 x= 3 时，y= 2,则点 P 的坐标为(3,2).规律方法对数函数图象的识别及应用1 在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点 与坐标轴的交点、最高点、最低点等排除不符合要求的选项2 一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形 结合法求解.跟踪练习 函数 f(x)= logaX|+ 1(OVav1)的图象大致为()函数 y= log2(x+ 1)的图象恒过定点 P,则点 P 的坐标为_ .(3)若不等式(x 1)2 3vlo

10、gax 在 x (1,2)内恒成立，则实数 a 的取值范围为 恒成1(2019 厦门模拟)当 0vx0 时，g(x)的图象，然后根据 g(x) 的图10立，只需 fl(x) =(X1)2在(1,2)上的图象在 f2(x)= logax 图象的下方即可.当 0a 1 时，如图所示，要使 x (1,2)时，f1(x)=(x 1)2的图象在 f2(x) = logax 的图象下方，只需 f1(2)f2(2),即(2 1)21 , 所 以 1 a bcB.bacC.cabD.cba设 a= Iog3n,b= log/3, c= log2，贝 U a, b, c 的大小关系为()A.abcB.acbC.

11、bacD.bca(1)B (2)A (1)a= Iog29Iog23= log23,3, b= 1 + Iog2_7= Iog22 7, c=12+ Iog213= Iog226,因为函数 y= Iog2x 在(0, +)上是增函数，且 2 73 3 26,所以象关于 y 轴对称画出 xv0 时 g(x)的图象，最后由函数 g(x)的图象向上整体平 移一个单位即得 f(x)的图象，结合图象知选 A.3 由 x+ 1 = 1 得 x= 0,当 x= 0 时，y= 0,则点 P 的坐标为(0,0).设 f1(x)= (x 1)2, f2(x) = logax，要使当 x (1,2)时，不等式(x

12、1)2vlogax11bac,故选 B.(2) b=Iog23=og23*,c=Iog32=Iog32c,又 a=Iog3nIog33 =1, b=Iog23 bc,故选 A.?考法 2 解对数不等式【例 3】(1)(2018 江苏高考)函数 f(x)= f( a),则实数 a 的取值范围是(1) 2，+)(2)( 1,0)U(1 , +)由题意知，Iog2x 1 0，即Iog2x Iog22.解得 x 2,即函数 f(x)的定义域为2,+ %).(2) 由题意，得a0,.Iog2a Iog2a 或 订匚二 -J： ： ：，- .:a0,av0,即或解得 a 1 或一 1vav0.Iog2a

13、0Iog2 a?考法 3 复合函数的单调性、值域或最值【例 4】 函数 f(x)二 Iog1 (x2+ 4x+ 5)的单调递增区间为 _值域2为_(2,5) 2log13,+x)由x2+4x+50,解得一 1vxv5.2二次函数 y= x2+ 4x+ 5 的对称轴为 x= 2.由复合函数单调性可得函数 f(x) =Iog1( x2+ 4x+ 5)的单调递增区间为(2,5).又一 x2+ 4x+ 5= (x 2)2+ 9log9= 2logj3，即函数 f(x)的值域为2logj3,+).2 2 2规律方法1比较对数值的大小的方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数

14、为 同一字母，则需对底数进行分类讨论.13(2) 若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较.(3) 若底数与真数都不同，则常借助 1,0 等中间量进行比较.2解对数不等式的类型及方法(1) 形如 logaX logab 的不等式，借助 y= logax 的单调性求解，如果 a 的取值 不确定，需分 a 1 与 Ovav1 两种情况讨论.(2) 形如 logaxb 的不等式，需先将 b 化为以 a 为底的对数式的形式再进行 求解.3.解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤求出函菠的宦义域判斷对软函数的底敗与1的关系，分OA1与0叱显VL.两种情况判断內毘函教和外斥馬数的

15、单调性.运用婕合歯 数“网増异减”的原则判断函数的单调性14跟踪练习(1)(2018 天津高考)已知 a= log32，b =143，c= logj5，贝 q a，b，c 的大小关系为()A. abcB.bacC. cbaD. cabJ2_x,xlog3log33= 1 ，又；315v4 = 1,因此 cab,故选 D.(2) 当 x 1 时，21-%0,所以 OWx 1 时，1 logzxw2,1解得 x2，所以 x 1.综上可知 x0.(3) 令函数 g(x) = x 2ax+ 1 + a= (xa) + 1 + a a，对称轴为 x= a,要使g1)0,函数在(x,1上递减，则有 ia1,a 1,2).ZHEN丁 1. (2016 全国卷I)若 a b 0,0vcv1，则()A.logacvlogbcB.logcavlogcbc . ca bC.avbD.ccB v0vcv1,当 a b 1 时，logaclogbc, A 项错误;v0vcv1,y= logcx 在(0,+)上单调递减，又 ab0,-logcav